2024-2025学年广东省广州市高二上学期第二次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省广州市高二上学期第二次月考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．32．设，为复数，且，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．若，则 D．3．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则点到原点距离的最小值为（）A．1 B．2 C． D．4．若，则（

）A． B．C．45 D．5．已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知A，，三点不共线，点不在平面内，，若A，，，四点共面，则的最大值为（）A． B． C．1 D．27．已知实数，满足，则的最大值为（）A． B． C． D．128．已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，点P满足．则（

）A．点P的轨迹为双曲线 B．直线上存在满足题意的点PC．满足的点P共有0个 D．的周长的取值范围是10．下列四个命题中，正确的是（）A．要唯一确定圆，只需给出圆上三点B．要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线C．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点D．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（

）A．双曲线的渐近线方程为B．点的坐标为C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4三、填空题（本大题共3小题）12．已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是.13．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为．14．已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.16．在中，内角、、的对边分别为、、，且.(1)求的值；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围.17．如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)证明：平面平面；(2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比．18．已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，.作：，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定.(1)分别根据下列已知条件求；①，；②，；(2)若向量，求证：；(3)记，，，且满足，，，求的最大值.

答案1．【正确答案】D【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，即在上恒成立，即在上恒成立，记，，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数可取的最小值是．故选：D.2．【正确答案】C【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】设，，对于A，因为，所以，且，所以，故A正确；对于B，因为，，，则，，所以，故B正确；对于C，若，例如，，满足，但，，即，故C错误；对于D，因为，所以，，所以，故D正确.故选C.3．【正确答案】B【详解】圆,设圆心,圆的半径为，因为过点与圆相切的两条直线切点分别为，两条切线的夹角为，则，所以，又因为，所以，所以，设点Px,y，可得，即得，设，则点到原点距离，当时，点到原点距离最小值为.故选：B.

4．【正确答案】B【详解】因为且，将代入得：，，，所以.由，，可得.因为，又，所以，由，可得.将，代入可得：.故选：B.5．【正确答案】B【详解】设等边三角形内切圆的半径为，则，则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为.设等边三角形外接圆半径为，则，所以，设是等边三角形的中心，是的中点，连接，则，，是球表面上一点，则，，（同向是为，反向时为），所以，所以的取值范围是.故选：B6．【正确答案】B【详解】因为A，，，四点共面，所以，则，又，所以，当且仅当时取“＝”.故选：B.7．【正确答案】C【详解】令，则，由，得，整理得，，因为存在实数满足等式，所以，解得，则的最大值为，此时，.故选：C.8．【正确答案】B【详解】由题意得，，由椭圆定义得，故，∵，，∴，∴与相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即椭圆的离心率为.故选：B.9．【正确答案】BCD【详解】因为，，所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支，所以，故，所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误；联立，解得（舍去），所以直线上存在满足题意的点，故B正确；双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离，所以满足的点共有0个，故C正确；因为即左焦点，而，因为，所以，所以的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立，所以的周长的取值范围是，故D正确.故选：BCD.10．【正确答案】ABD【详解】对于A：根据三角形的外接圆的唯一性可知：A正确；对于B：根据抛物线的定义可知：给出焦点和准线即可确定抛物线，故B正确；对于C：给出两点不能确定椭圆，例如给定长轴顶点，此时椭圆有无数个，故C错误；对于D：因为中心为坐标原点，若给出一条渐近线和一个焦点，可以求出a,b,c，且可以确定焦点位置，即可得双曲线方程，可以确定双曲线，故D正确；故选：ABD.11．【正确答案】CD【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项错误；对于B项，设，则，整理可得.又，所以，所以有，由于，所以，解得，所以点的坐标为，故B项错误；对于C项，如图，，且满足所以直线的方程为，联立化简得，由于，即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点.又是的中点，所以，故C项正确；对于D项，，当且仅当，即时，等号成立.所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.故选：CD.12．【正确答案】/【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接，则，又，所以，在中，由余弦定理得，则，即，所以.故13．【正确答案】【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒可得，即，所以，由得．当且仅当取等号.故答案为.14．【正确答案】4【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，∵平面平面，∴点到面的距离为点到直线的距离∴由抛物线的定义可知：，易知，∴，,设是平面的其中一个法向量，则，令，得，平面的法向量为，又，则到平面的距离，所以的最小值为，∵点分别为的中点且，，∴，所以三棱锥的体积的最小值：．故4.15．【正确答案】(1)，2.4h(2).【详解】（1）由，解得.因为，所以中位数在内，设中位数为x，则，得，即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，所以这2人来自不同分组的概率为.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理可得.（2）因为，，则，由正弦定理可得，所以，，因为为锐角三角形，则，解得，所以，，则，故.即的取值范围是.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题设得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且，又是正三角形，故.则中，，又，所以，故.而且都在面，故面，而面，所以平面ACD⊥平面ABC.

（2）设，，结合（1）结论，以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，易知平面的法向量为，设，由，可得，得，设面的法向量为，则，取，得，所以，因为二面角的正切值为，则，又，解得，所以，所以到底面的距离与到底面的距离之比为，所以四面体与四面体的体积之比.

18．【正确答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程；（2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程．【详解】（1），，所以，因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以椭圆方程为．（2）如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以，.，，因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，，，，点O到直线l的距离，所以，当且仅当，即m2＝3，因为m＞0，所以时，取得最大值为，因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△