【模块2】（方程（组）与不等式（组））学生版

模块二方程（组）与不等式（组）

第一讲一次方程（组）及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：方程的相关概念及等式的性质

1、方程的相关概念

含有未知数的叫做方程;使方程左右两边的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）

基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.

基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.

性质3：如果ab，那么ba（对称性）

性质4：如果ab，bc，那么ac（传递性）

知识点2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有个未知数(元)，并且未知数的次数都是，等号两边都是整式，这

样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。

温馨提示

形如axb0(其中a，b为常数，且a0)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。

2、解一元一次方程的一般步骤

1x4x1若未知数的系数有分母，则要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的两边都乘以各分母的最小公

倍数。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括号，则先去小括号，再去中

去括号：33x8x26

括号，最后去大括号。若去括号时括号前

去括号

移项：8x3x263是负号，去掉括号后，括号内的各项均

合并同类项：11x11要。

系数化为1：

x1把含有未知数的项移到等式的一边，其他

移项项移到另一边。一般把含的项移到

注：本题中去分母时，方程右侧的-1等式左边。移项要改变符号。

易漏乘最小公倍数；移项时易忘变

合并同类项把方程化成axb（a0）的形式。

号。

方程两边同未知数的系数，得到方

系数化为1

程的解。

知识点3：二元一次方程（组）及其解法

1、二元一次方程（组）定义

定义方程的解解的情况

二元一次含有个未知数，并且所含未使二元一次方程两边的值的两有无数组解

方程知数的项的次数都是1的方程。个未知数的值。

二元一次把具有相同未知数的两个二元一一般地，二元一次方程组的两个方程只有一组公共解

方程组次方程合在一起。的 叫做二元一次方程组的解。

2、二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另

一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以

使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，

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化二元一次方程组为一元一次方程。

消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）

一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简

单。

当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关

系时，选择加减消元法较简单。

注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。

知识点4：*三元一次方程组

1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的

次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.解三元一次方程组的基本思路

三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

知识点5：一次方程（组）的实际应用

1、列一次方程(组)解应用题的步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；

设：设关键未知数；

列：根据题中的等量关系，列方程(组)；

解：解方程(组)；

验：检验所解答案是否符合题意；

答：规范作答，注意单位名称。

2、常见的关系式

基本关系式:路程=速度×时间.

行程问题相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.

追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路

程.

储蓄问题本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.

利润

销售问题总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.

成本

分配问题总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.

工程问题工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增长率问

已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.

题

数字问题十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c

直击中考胜券在握

1．（四川省南充市2019年中考数学试题）关于x的一元一次方程2xa2m4的解为x1，则am的值为（）

A．9B．8C．5D．4

11

2．解一元一次方程(x1)1x时，去分母正确的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

2xy3①

3．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）解方程组时，若将①-②可得（）

2x3y4②

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A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

xya1

4．若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，则a的值为（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

2

5．已知5xy3xy10，则（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

6．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

7．（2021·四川南充·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，

设每个肉粽x元，则可列方程为（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

8．（2021·黑龙江·中考真题）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180

元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种

奖品每件10元，则购买方案有（）

A．5种B．6种C．7种D．8种

9．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）

A．3种B．4种C．5种D．6种

10．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱

购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用

完的情况下，有多少种购买方案（）

A．12种B．15种C．16种D．14种

11．（2021·广东·深圳中学八年级期中）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲

得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如

2

果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人

3

各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

1

12．（2021·湖南怀化·中考真题）定义ab2a，则方程3x42的解为（）

b

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1234

A．xB．xC．xD．x

5555

13．（2020·四川南充·中考真题）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那

么最多可以购买钢笔_______支．

14．（2021·山东泰安·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得

甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半

2

的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持

3

钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．

2x3y5a

15．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组满足xy0，则a的取值

x4y2a3

范围是____．

3xmy5x1

16．（山东省滨州市2018年中考数学试题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程组的解是_______．

2(ab)n(ab)6

1016

17．（2021·广东·九年级专题练习）已知a2b，3a4b，则ab的值为_________．

33

ab(ab)

．（浙江浙江七年级期中）对于实数，，定义运算※：a※，例如2※3，因为，

182021··ab“”2223

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y满足方程组，则x※y____．

2xy29

3xy4

19．（2021·江苏苏州·中考真题）解方程组：.

x2y3

20．（2021·四川·石室中学八年级期中）解方程组：

x2y10

（1）；

y2x

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

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ax23y103xy2

21．（广东省2020年中考数学试题）已知关于x，y的方程组与的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2axb0的解．试判断该三角形

的形状，并说明理由．

22．（2021·陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售

10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．

23．（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，

并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校

后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金

额．

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24．（2021·贵州安顺·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动

的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如

下表：

产品展板宣传册横幅

11

制作一件产品所需时间（小时）1

52

制作一件产品所获利润（元）20310

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．

25．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5

辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．

（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满

载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指

出哪种运输方案费用最少．

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模块二方程（组）与不等式（组）

第二讲一元二次方程及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：一元二次方程及其解法

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次项的系数；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意实数，且a0。

一元二次方程的解法

解法适用情况方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接开平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知识点2：一元二次方程根的判别式

0方程实数根

一元二次方程ax2bxc0

0方程实数根

（a0）的判别式=b24ac

0方程实数根

易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。

如：已知关于x的一元二次方程ax23x10有两个实数根,求a的取值范围.

知识点3：一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的两个实数根，那么xx，xx

1212a12a

知识点4：一元二次方程的应用

实际数量-基准数量

（1）增长率=100%

基准数量

基准数量-降低后达到数量

（2）降低率=100%

变化率问题基准数量

（3）设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增

n

长后的量,则a1mb；当m为平均下降率,b为下降后的

n

量时,a1mb

本息和=本金+利息

利率问题

利息=本金×利率×期数

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毛利润=销售总额-进货总额

纯利润=销售总额-进货总额-其他费用

销售利润问题利润率=利润÷成本×100%

销售总额=售价×销量

进货总额=进价×进货数量

若共有n个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛

单循环问题nn1

场

2

直击中考胜券在握

1．（2021·临沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

2．（2021·丽水中考）用配方法解方程x24x10时，配方结果正确的是（）

A．(x2)25B．(x2)23C．(x2)25D．(x2)23

3．（2021·聊城中考）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）

A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2

．（眉山中考）已知一元二次方程2的两根为，，则2的值为（）

42021·x3x10x1x2x15x12x2

A．7B．3C．2D．5

5．（2021·台州中考）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m＞2B．m＜2C．m＞4D．m＜4

6．（2021·福建三元·九年级期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成

了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几

何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是

多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（）

A．x2＋（x＋6）2＝102B．x2＋（x＋6）2＝12

C．x2＋（x﹣6）2＝102D．x2＋（x﹣6）2＝12

7．（2021·烟台中考）已知关于x的一元二次方程x2mnxmn0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，

则这个方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

8．（2020·江苏如皋·八年级期末）某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业．据统计，该省目前5G基站

的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到

17.34万座．按照计划，设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均率为x，根据题意列方程，得

（）

A．6（1+x）2＝17.34B．17.34（1+x）2＝6

C．6（1﹣x）2＝17.34D．17.34（1﹣x）2＝6

2

9．（2020·龙东中考）已知关于x的一元二次方程标kx2k1xk20有两个不相等的实数根，则实数k

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的取值范围是（）

11

A．kB．k

44

11

C．k且k0D．k且k0

44

10．（2021·内蒙古·呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角

剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸

盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）

A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600B．（30﹣x）（40﹣x）＝600

C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600

11．（2021·湖北天门·九年级期中）已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x

的一元二次方程x2﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于()

A．7B．7或6C．6或﹣7D．6

2021

22

12．（2021·南充中考）已知方程x2021x10的两根分别为x1，x2，则x1的值为（）

x2

A．1B．1C．2021D．2021

13．（2021·上海中考）若一元二次方程2x23xc0无实数根，则c的取值范围为_________．

14．（2022·全国·九年级专题练习）已知m是一元二次方程x2x60的一个根，则代数式m2m的值等于______．

2

15．（2022·全国·九年级专题练习）设x1,x2是关于x的方程x3xk0的两个根，且x12x2，则k_______．

22

2

16．（2021·随州中考）已知关于x的方程xk4x4k0（k0）的两实数根为x1，x2，若3，则

x1x2

k______．

22+2

17．（2021·四川龙泉驿·九年级期中）已知一元二次方程x3x10的两个根分别是x1,x2，则x1x2x1x2的值为

_______．

11

18．（2021·全国·九年级单元测试）关于x的方程22有两个实数根,．且1．则

x2mxmm0

m_______．

mnn1

19．已知m22m10,n22n10，且mn1，则的值为___________．

n

20．（2021·河南西峡·九年级期中）“杂交水稻之父”——袁隆平先生率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻

亩产700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产1008公斤的目标．如果第二阶段、第三阶段水稻亩产量的增长率

相同，则这两年的平均亩产增长率为_______．

21．（2021·襄阳二模）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛

程计划共计持续7天，每天安排4场比赛．则比赛组织者共邀请了______支球队；

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22．（2021·阜宁一模）据美国约翰斯霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据实时统计系统，截至美国东部时间3

月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万．已知有一人患了新冠肺炎，经

过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了__________人．

23．（2021·兰州中考）解方程：x2+4x﹣1=0．

24．（2021·齐齐哈尔中考）解方程：x(x7)8(7x)．

25．（2021·辽宁台安·九年级期中）按照要求解方程：

（1）x2﹣2x﹣8＝0（配方法）；（2）5x2﹣3x＝x+1（公式法）．

26．（2021·北京中考）已知关于x的一元二次方程x24mx3m20．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．

27．（2021·菏泽中考）列方程（组）解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种

水果的销售价为每千克多少元？

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2

28．（2021·嘉兴中考）小敏与小霞两位同学解方程3x3x3的过程如下框：

小霞：

小敏：

2

移项，得3x3x30，

两边同除以x3，得

提取公因式，得x33x30．

3x3，

则x30或3x30，

则x6．

解得x13，x20．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

29.（2021·山西中考）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图

所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．

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30．（2021·宜昌中考）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方

式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采

用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．

（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？

（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了m%，漫灌试验田的面积减少了

2m%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了m%．经测算，

9

今年的灌溉用水量比去年减少m%，求m的值．

5

（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30

元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，

请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？

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模块二方程（组）与不等式（组）

第三讲分式方程及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：分式方程的相关概念

定义：中含有未知数的方程叫做分式方程。

“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别。

增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，使方程中的，这样的根叫方

程的增根。

知识点2：解分式方程

基本去分母，化分式方程为整式方程。

x3

例：1思路

x1x21

一般①方程两边同时乘以各分式的，化

解：最简公分母：x1x1

步骤为整式方程；

xx1x213②解整式方程；

x2xx213③检验，把整式方程的解代入最简公分母，

x2看计算结果是否为0，若结果不为0，说明

检验：当x2时，x1x10此解是原分式方程的解；若为0，则为增根，

原分式方程无解。

所以原分式方程的解为x2

验根方法一：利用方程解的定义，直接代回原方

方法程检验；

知识点3：分式方程的实际应用方法二：把整式方程的解代入最简公分母，

1、列分式方程解应用题的一般步骤看计算结果是否为0。

审：审清题意，分清题中的已知量、未

知量，搞清等量关系。

设：设出未知数。

列：根据题中的等量关系，列出分式方程。

解：解分式方程

验：既要检验所得的解是否适合分式方程，又要检验是否符合实际问题。

答：完整作答（包括单位）

2、常见模型及关系式

行程问题路程

基本关系式：=时间

速度

常用关系式：（注意统一单位）

同一路程同一路程同一路程同一路程

=时间差；=时间差

甲的速度乙的速度慢速快速

工作总量

工程问题基本关系式：=工作时间

工作效率

常用关系式：

工作总量工作总量甲工作总量乙工作总量

=时间差=时间差

原工作效率改进后工作效率甲工作效率乙工作效率

总价

销售问题基本关系式：=数量

单价

总销售金额总销售金额

常用关系式：=数量差

变化后单价原单价

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直击中考胜券在握

12

1．（2021·广东广州·中考真题）方程的解为（）

x3x

A．x6B．x2C．x2D．x6

2x2

2．（2021·湖北大冶·八年级期末）解分式方程3时，去分母后变形正确的是（）

x11x

A．2x23x1B．2x23x1

C．2x23D．2x23x1

2x1

3．（2021·四川成都·中考真题）分式方程1的解为（）

x33x

A．x2B．x2C．x1D．x1

mx

4．（2021·巴中中考）关于x的分式方程30有解，则实数m应满足的条件是（）

2x

A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2

5．（2021·湖北十堰·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间

比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

400450450400400450450400

A．1B．1C．50D．5

xx50x50xxx1x1x

xm

6．（2022·全国·九年级专题练习）若关于x的分式方程3有增根，则m的值是（）

x2x2

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

10x3k27

7．（2021·安徽霍邱·七年级期末）已知关于x的分式方程3的解满足2＜x＜5，则k的取值范围

3xx3

是（）

A．﹣7＜k＜14B．﹣7＜k＜14且k≠0C．﹣14＜k＜7且k≠0D．﹣14＜k＜7

2

,ab

ab

8．（2021·北京·九年级专题练习）定义运算“※”：a※b，如果5※x2，那么x的值为（）

b

,ab

ba

10

A．4B．4或10C．10D．4或

3

x1

9．（2021·海南·中考真题）分式方程0的解是____．

x2

2xmx1

10．（2021·湖北荆州·中考真题）若关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为_____________．

x22x

11．（2021·辽宁本溪·中考真题）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学

校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖

品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．

2xa2xa

12．（2021·四川达州·中考真题）若分式方程4的解为整数，则整数a___________．

x1x1

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x2m

13．（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）已知关于x的方程2m无解，则m的值是___．

x22x

2x

14．（2021·江苏南京·中考真题）解方程1．

x1x1

x13

15．（2021·陕西·中考真题）解方程：1．

x1x21

312

16．（2021·广东·深圳中学八年级期中）解方程：.．