第08讲 正多边形与圆-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（苏科版）

第08讲正多边形与圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【基础知识】正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【考点剖析】一．正多边形和圆（共12小题）1．（2022春•海珠区校级月考）中心角为45°的正n边形的边数n等于（）A．12 B．10 C．8 D．62．（2021秋•滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2021秋•南开区期末）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（）A． B．R C．2R D．6R4．（2021秋•咸宁月考）如图，正五边形ABCDE，连接对角线AC，BD，设AC与BD相交于O．（1）求证：AO＝CD；（2）判断四边形AODE的形状，并说明理由．5．（2020秋•河东区校级月考）如果圆的内接正六边形的边长为6cm，求其外接圆的半径．6．（2022春•浦东新区校级期中）已知一个正多边形的中心角为45°，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类数（全等的三角形为同一类）是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022春•思明区校级月考）如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PMN：S△PBM的值为（）A． B．1 C． D．8．（2022春•福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是．9．（2022春•浦东新区校级期中）如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是平方分米．10．（2021春•新华区期末）一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°．（1）若a＝6，求b的值；（2）若b＝30，求a的值．11．（2020秋•定西期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，，求证：BM＝CM．12．（2020秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形的中心角∠COD的度数是（）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2022•达拉特旗一模）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（）A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm23．（2022•德城区模拟）将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的△ABC，点D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（）A．BD⊥AC B．AD＝AB C．∠ADB＝60° D．AD＝DB4．（2022•天府新区模拟）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为2cm，则圆形螺帽的面积是（）A．8cm2 B．16cm2 C．8πcm2 D．16πcm25．（2022•成华区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧上，则∠P的度数为（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（2022•宜兴市一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（）A．108° B．129° C．130° D．144°7．（2022•蚌埠二模）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且MN∥BC．在点M从E移向D（与D不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变 B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大 C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大 D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小二．填空题（共6小题）8．（2022•和平区一模）已知圆的周长是6π，则该圆的内接正三角形的边心距是．9．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为．10．（2022•西山区一模）如图，五边形DEFGH是边长为1的正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D作⊙O的切线，与GH，FE的延长线交分别于点B和C，延长HG，EF相交于点A，连接GD，DF，下列结论正确的是．①∠HDE＝108°；②△ABC为等腰三角形；③四边形AGDF为菱形；④△ABC的周长为．11．（2022•徐州一模）如图，AF是正五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠CAF＝°．12．（2022•石家庄一模）如图所示，在正四边形、正五边形中，相邻两条对角线的夹角分别为α4，α5，则α5为°，以此类推，正n边形相邻两条对角线的较大夹角为°．13．（2022•北仑区二模）如图，在正六边形ABCDEF内取一点O，作⊙O与边DE，EF相切，并经过点B，已知⊙O的半经为，则正六边形的边长为．三．解答题（共5小题）14．（2021秋•信都区期末）已知正六边形ABCDEF的中心为O，半径OA＝6．（1）求正六边形的边长；（2）以A为圆心，AF为半径画弧BF，求．15．（2021秋•昌邑区校级期末）已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R、边心距r6、面积S6．16．（2021秋•新荣区月考）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形ABCD内接于⊙O，则有．任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为．（2）如图2，正五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝2，求对角线BD的长．17．（2021秋•许昌月考）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．（1）求证