2024-2025学年山东省青岛市高三上学期12月月考数学调研检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期12月月考数学调研检测试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．在复平面内，复数满足，则的虚部为（

）A． B．C．3 D．3．若双曲线满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．2 D．35．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．8．已知向量，，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知x、y都是正数，则（

）A． B．若，则的最大值为2C．的最大值为 D．10．已知函数（，，）的部分图象如图，则（

）A．B．C．在上单调递减D．将的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），最后将纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到图象，则为正弦曲线11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和三、填空题12．已知，则.13．已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为.14．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为.四、解答题15．的内角的对边分别为，，，已知．(1)若，，求的面积；(2)若角为钝角，求的取值范围．16．设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．17．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

(1)求的方程；(2)证明：直线恒过定点；(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.19．已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．(1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；(2)求函数的零点；(3)解关于的不等式：2024-2025学年山东省青岛市高三上学期12月月考数学调研检测试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【正确答案】B【难度】0.94【知识点】交集的概念及运算【分析】根据集合交集的基本运算即可得出结果.【详解】由集合即可得.故选：B2．在复平面内，复数满足，则的虚部为（

）A． B．C．3 D．【正确答案】D【难度】0.85【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算【分析】由，化简得到求解.【详解】解：因为复数满足，所以，所以的虚部为-3，故选：D3．若双曲线满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【难度】0.94【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据离心率公式计算可得答案.【详解】由，得，即.故选：C.4．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（

）A． B． C．2 D．3【正确答案】C【难度】0.85【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由为等差数列，则，，，，解得或（舍去）.故选：C.5．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】C【难度】0.85【知识点】充要条件的证明、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案.【详解】是增函数，又，，又是增函数，则，故充分性成立；是增函数，，，又是增函数，，故必要性成立.即“”是“”的充要条件.故选.6．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【难度】0.85【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案.【详解】四棱锥的体积，得，直线与平面所成角的正弦值为，故选：B.7．设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．【正确答案】D【难度】0.85【知识点】比较零点的大小关系【分析】当时，f1=0，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；若，则，所以时，，即；若，则，所以时，，即.综上所述，，故选：D.8．已知向量，，，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【难度】0.85【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可.【详解】因为，，所以四边形为直角梯形.，，，则面积，故选：B.二、多选题9．已知x、y都是正数，则（

）A． B．若，则的最大值为2C．的最大值为 D．【正确答案】BC【难度】0.85【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D.【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：BC10．已知函数（，，）的部分图象如图，则（

）A．B．C．在上单调递减D．将的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），最后将纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到图象，则为正弦曲线【正确答案】BCD【难度】0.65【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项判断得解.【详解】观察图象得，，由，得，又，且在的单调增区间内，则，由，得，解得，而的最小正周期满足，即，则，解得，因此，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，当时，，正弦函数在上单调递减，因此在上单调递减，C正确；对于D，将的图象向右平移个单位，得的图象，因此图象对应的解析式为，为正弦曲线，D正确.故选：BCD11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和【正确答案】BCD【难度】0.65【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的面积问题【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD.【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，则的最大、最小值分别为和，当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.故选：BCD三、填空题12．已知，则.【正确答案】【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式【分析】，代入数据计算得到答案.【详解】.故选：D13．已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为. 【正确答案】【难度】0.65三棱锥，以为底，到平面的距离为高，得到三棱锥在两两垂直时体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积.【详解】三棱锥，以为底，到平面的距离为高，则可知平面时，到平面的距离最大为，底面为等腰三角形，，当时，的面积最大，即，当两两垂直时，三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所求球的体积为.故选：A.本题考查求三棱锥的体积，求三棱锥外接球的体积，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.14．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为.【正确答案】【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，根据题意可知两圆的圆心距为，所以的最大值为，故四、解答题15．的内角的对边分别为，，，已知．(1)若，，求的面积；(2)若角为钝角，求的取值范围．【正确答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得面积；（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合角B的范围运算求解.【详解】（1）因为，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因为，则有，因，，则，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积．（2）由正弦定理，可得，且，代入化简得：．因为钝角，故由，可得，则，，即，故的取值范围是16．设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【正确答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即，当时都满足上式，所以．（2）因为，所以，，两式相减得，，，即，．17．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.65【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、求二面角【分析】（1）取中点，连结，，根据条件，得到，利用线面平行的判断定理，即可证明结果；（2）法一：过作于点，取中点，连结，，根据条件，利用几何关系可得为二面角的平面角，再利用余弦定理，即可求解；法二，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解；【详解】（1）取中点，连结，∵，，，，∴，，∴为平行四边形，∴，又面，面，所以面.（2）法一：过作于点，易知圆台底面，∵，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，∴，，又，∴，，又，则，所以，又由，可得，，取中点，连结，，所以，则为二面角的平面角，又易知，，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为法二：如图，以为坐标原点，和垂直的直线为轴，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，由法一知，，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.若以，，为，，轴建立坐标系，则，所以，，，同理可求得平面的法向量为；平面的法向量为，则.18．已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

(1)求的方程；(2)证明：直线恒过定点；(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.4【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.【详解】（1）右顶点，解得.

（2）设Ax1,联立，得则，即..以为直径的圆经过点即，化简得当时，直线经过点，不符条件，舍去..直线必过定点.（3）由（2）知.,为中点，，代入得.由得.方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.19．已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．(1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；(2)求函数的零点；(3)解关于的不等式：【正确答案】(1)；证明见解析(2)，(3)答案见解析【难度】0.4【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求函数零点或方程根的个数、函数新定义【分析】由条件类比得到，然后证明即可；化简可得：，即，解得或，然后回代求解即可；原不等式可化为，对的范围讨论可求．【详解】（1）由条件类比得到，证明如下：因为，，所