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文档简介

习题课一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用

第十章重积分的计算及应用欢迎加入湘潭大学期末考试复习资料库研发工作室QQ群：928812498班级集体复印复习资料超级便宜！！拒绝高价垄断！！！请各班学委/班长先联系群主哦！一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:

面、线、点)3.掌握确定积分限的方法—累次积分法练习P1822(3)2(3).计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:

利用极坐标原式P182解答提示:二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号练习题P1821(2),4答案提示:(见下页)

4.利用扩展积分域进行计算1(2).则提示:如图,由对称性知在上是关于y的奇函数在上是关于

x

的偶函数A证明:提示:

左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P1814.例1.计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)

利用对称性.围成.(2)

积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例2.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例3.求抛物线所围区域

D的面积A.解:如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,例4.交换积分顺序计算解.

积分域如图.三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),立体体积第四节一、立体体积二、曲面的面积重积分的应用

第十章欢迎加入湘潭大学考试资料群：579654451一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为例1.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例2.求曲面分析:

第一步:求切平面

方程;第二步:求

与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为在点例2.求曲面故它与曲面的交线在

xoy

面上的投影为(记所围域为D)有例3.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:

设由对称性可知机动目录上页下页返回结束二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xOy

面上投影为则出的面积A.例4.计算半径为a

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