专题01 集合及其运算（考点清单+知识导图+ 11个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单01集合及其运算（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】元素与集合1元素与集合的关系(1)属于(belongto)：如果是集合的元素，就说属于，记作.(2)不属于(notbelongto)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.2集合元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【清单02】集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．注用列举法表示集合时注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开．②集合中的元素必须是明确的．③集合中的元素不能重复．④集合中的元素可以是任何事物．（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．（4）（韦恩图法）：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。【清单03】子集一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：【清单04】真子集的含义如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：【清单05】并集一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作（读作：并）.记作：.并集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言【清单06】交集一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.交集的性质：,,,,.高频性质：若.图形语言【清单07】全集与补集全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作，即.补集的性质：,,.【考点题型一】辨别元素与集合，集合与集合的关系【解题方法】元素与集合关系：属于（）和不属于（）两个关系集合与集合关系：包含；真包含；相等关系。【例1】（24-25高一上·重庆长寿·期中）给出下列关系，其中正确的个数为（

）①；②；③；④，A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合是16和24的公约数，则8．【考点题型二】根据元素与集合的关系求参数【解题方法】紧抓属于（）和不属于（）两个关系，同时注意回代检查集合元素的互异性【例2】（24-25高一上·北京·期中）若，则实数x的值为.【变式2-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）设集合，若，则（

）A．1 B．2 C．1或4 D．4【变式2-2】（24-25高一上·吉林通化·期中）若，则.【考点题型三】根据集合中元素的个数求参数【解题方法】分类讨论+判别法【例3】（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为.【变式3-1】（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式3-2】（24-25高一上·河南·期中）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则.【考点题型四】列举法和描述法【解题方法】抓住描述法的一般元素和共同特征【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合可以用列举法表示为.【变式4-1】（24-25高一上·四川成都·期中）用列举法可将集合表示为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为．【考点题型五】子集（真子集）问题【例5-1】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（

）A．126 B．128 C．130 D．132【变式5-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）集合的真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【变式5-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）满足的集合的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点题型六】根据集合关系求参数（重点题型）【解题方法】数轴法，列举法，特别注意不要忽视空集【例6-1】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是.【例6-2】（多选）（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（

）A．3 B． C．3.5 D．6【变式6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．0,2 D．【变式6-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则．【变式6-3】（24-25高一上·广东·期中）已知集合，，若，则的取值集合为.【考点题型七】集合的综合运算【解题方法】并交补定义，请特别注意区分交集（）并集（）符合的区别【例7-1】（24-25高一上·重庆·期中）若全集，集合，则（）A． B． C． D．【例7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）设全集，已知集合，集合.求：(1)，；(2).【变式7-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【变式7-3】（24-25高三上·北京朝阳·期中）设集合，集合，则（

）A． B．C． D．【考点题型八】根据集合的运算结果求参数【解题方法】根据集合运算结果，推出包含关系，借助数轴或通过列举求参数【例8-1】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知：，(1)，求a的取值范围；(2)，求a的取值范围．【例8-2】（24-25高一上·北京·期中）记全集，集合，.(1)若，求，；(2)若，求a的取值范围；(3)若，求a的取值范围.【变式8-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）设集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.【变式8-2】（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，.(1)当时，求，，；(2)若，求的取值范围.【变式8-3】（24-25高一上·天津河北·期中）已知全集，集合，或x≥4.(1)若，求，；(2)若，且，求实数的取值范围.【考点题型九】实际问题中的集合问题【解题方法】利用图解【例9】（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（

）人.A．3 B．9 C．19 D．14【变式9-1】（多选）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）某高中为了迎接元旦的到来，在元旦前一周举办了主题为“迎元旦，向未来”的趣味运动会，其中共有20名同学参加拔河､四人足球､羽毛球三个项目，其中有12人参加拔河，有10人参加四人足球，有8人参加羽毛球，拔河和四人足球都参加的有3人，拔河和羽毛球都参加的有4人，四人足球和羽毛球都参加的有5人，则（

）A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加拔河的有6人C．只参加四人足球的有4人 D．只参加羽毛球的有1人【变式9-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为人．优秀合格合计语文202848英语301848【变式9-3】（24-25高一上·重庆·期中）某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买张车票．【考点题型十】集合中的新定义题（选填题）【例10】（24-25高一上·湖南长沙·期中）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”.已知集合，则的“小和数”为，的“大和数”为.【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（

）A．0对 B．2对 C．3对 D．4对【变式10-2】（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）我们将集合S的子集为元素的集合称为S的一个子集族.例如集合有3个子集族：.若集合B中有3个元素，则B的不同子集族有（

）A．128个 B．127个 C．256个 D．255个【变式10-3】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，定义集合A，B之间的运算“*”，，则集合【考点题型十一】集合中的新定义题（解答题）【例11-1】（24-25高一上·北京·期中）对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．(1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）；(2)，判断是否能“任意双拆”，并证明；(3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值.【例11-2】（24-25高一上·上海·期中）已知非空实数集满足：若，则;若，则.(1)若，直接写出中一定包含的元素；(2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求；(3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值.【变式11-1】（24-25高一上·浙江·期中）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质.(1)试判断集合，是否具有性质？并说明理由；(2)若集合，证明A不可能具有性质；(3)若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值.【变式11-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，对于，，定义A与B的差为；A与B之间的距离为．(1)设，求；(2)证明：对，有，且；(3)证明：对，，，三个数中至少有一个是偶数．提升训练一、单选题1．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·福建漳州·期中）设全集是实数集，则阴影部分所表示的集合是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满，则集合的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（

）A．12 B．15 C．31 D．326．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合，则的非空真子集的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（23-24高一下·云南昆明·期中）设集合，若，则的取值范围（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（

）A．0 B．3 C． D．3，09．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（

）A．集合中至多有2个元素B．集合中至多有3个元素C．集合中有且仅有4个元素D．集合中至少有5个元素二、多选题10．（24-25高一上·福建漳州·期中）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（

）A．23 B．68 C．128 D．23311．（24-25高一上·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（

）A．，B．，C．，，，则D．，12．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c满足，则符合要求的集合P个数是.14．（24-25高