高等数学第十一章练习题学习资料

对弧长的曲线积分及其对面积的曲面积分一.填空题设厶为直线段丁=兀(05兀52),则卜"於=设D为一可求面积的有界闭区域，z=/(x,y)满足(学)2+(叟)2=1,若曲oxdyTOC\o"1-5"\h\z面z二/(x,y)((x,y)ED)的面积为V2,那么D的面积为 .设工：兀2+屮+z?二亍(°>°)，则甘sinJ/+》,2+¥dS= .设工为曲面片z=牡2+y2(0<z<l),piijJJ(z2-x2-y2+l)dS= .二.单项选择题1.设L为从0(0,0)到A(3,2)的直线段，则］(兀+y)ds「3 2 二.单项选择题1.设L为从0(0,0)到A(3,2)的直线段，则］(兀+y)ds「3 2 ,(A)j(X+—X)6L¥;(B)49(h+y)Ji+細.2.设P(x,y\Q(x,y)为连续函数，厶为从A(0,l)经B(l,l)到C(l,2)的折线，则j[P(x,y)+Q(x,y)]d$= ()J；P{xX)dx+[2(1,y)dy；[P(l,y皿+J；0(兀,l)dy；Jjpgi)+Q{x^]dx+]【P(1,y)+0(1, •r23(C)\^-y^y)dy: (D)2,3。"'2(A)(C)(D)(B)j'P(l,y)dx+J-Q{x^)dy；平面x+"y—z+l=0被柱面x2+/=4割下部分的面积为( )(A)2龙； (B)4龙； (C)6龙； (D)8兀.设工为曲面z=2-x2-/位于xOy平面上方部分，则j\dS= ( )J^jjVl+4r2dr； (B)J："d0j()J1+4尸rdr；(C)「d&「2Jl+4%； (D)「d&LJl+4宀Jo J0 J0Jo

5.设I为球而5.设I为球而Z：x2+/+z2=a2(a>0)位于兀Oy平面上方部分，纭为工位于第一卦限部分，则()xdS=zdS；xdS；(A)JJ(C)jjzdS=4JJ(B)JjydS=4JJxdS；S Li(D)JjxzdS=4JJxzdS.

s z,三.计算下列对弧长的曲线积分1.£(X+4y)ds,其中厶为由直线y=2x与抛物线y=x2所围成区域的整个边界.2.£(x2+y2)ds,其中厶为圆周x2+y2=2y.3.护宀其中厶为圆周x2+y2=1,直线y=^3x及兀轴在第一像限内所圉成的扇形的整个边界.4.lx2ds,其中厶为球面x24-y24-z2=tz2与平面x+y+z二0的交线.四.计算下列对面积的曲面积分1.甘(F+y2)〃S,其中工为由圆柱面x24-y2=1与平面z=0及z=l所围立体的整个边界曲面.2.JJ(/+y2+z)dS,其中工为锥面Z= 被柱面扌+尸”割下的部分.3.JJz〃S,其屮工为曲面z=|u2+y2)介于平面z=0与z=2Z间的部分.z 2对坐标的曲线积分一.填空题设D为平^xoy上顺时针方向的简单闭曲线厶所围成的平而区域，且TOC\o"1-5"\h\z£(3x+y)dx+(4兀+2y)dy=-9,则D的而积为 .己知质点M在力F=xi+yj+zk的作用下从A(0,0,0)沿直线段运动到5(1,2,3)，则力戶所作的功用= .已知在全平面上积分Pdx+Qdy与路径无关，且j/Pdx+Qdy=3x2y-4x+5y,那么积分 >Pdx+Qdy= .22设厶为逆时针方向的椭圆卡+牙二1,则£xdy-2ydx= .设曲线积分\LXy^dx^yf{x)dy与路径无关，其中/(兀)具有连续导数，且/(0)=1，则/(%)= •二.单项选择题1•已知(兀+与)必：为某函数的全微分,则。等于 ( )(A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.设G为一个平面单连通区域，在G上具有一阶连续偏导数，则积分(、、dP_dQ(A)乔Pdy-Qdx与路径无关的充分必要条件是 ((、、dP_dQ(A)乔(B)dxdy(D)兰“塑dydx(A)0；(C)l\B(}y\dxx3.设厶为圆周x=Jl-F(A)0；(C)l\B(}y\dxx()(B)2打)，1必+)，如(D)2fy3dx.JBC设厶为y=x[i\y\clx+\x\dy.其屮厶是以[i\y\clx+\x\dy.其屮厶是以A(l,0),B(0,l),C(—l,0)为顶点的三角形的正向边界曲线.C^-ydx= ()3lf+y(A)0； (B)兀； (C)2兀； (D)5.设逆时针方向的简单闭曲线厶所围区域的面积为S,S=( )(A)£xdy-ydx； (B)丄£xdy-ydx:(C)-^xdy: (D)£ydx.三•计算下列对坐标的曲线积分1.f(x+y2)tZr+ydy,其中厶为曲线y=sinx上从原点(0,0)到i5(—,1)的一2段弧.3.；(x3.；(x2+y2)2，其中厶为正向圆周x2+r=2.4.£(2y-y2+2yx)dx+(x2+2x+y2siny)dy,其小厶是由A(-l,l)沿抛物线y=x2到点B(l,l)的一段.f(2ex-y)dx-2eydy，其中厶为从A(3,l)沿曲线(%-2)2+(y-l)2=1的上JL半周到点B(l,l),再沿直线y=兀到点0(0,0)的一段曲线.6』缶学'其中厶为正向圆周(iw—2心).四.综合题1.函数e(x,y)有一阶连续偏导数，曲线枳分\2xydx+Q^y)dy与路径无关，且对任意'有鳥Jg) t对任意'有鳥2xydx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).(o、o)2.已知积分/=£y3dx+(3兀一疋)dy,其中L为x2+y2=R2(R>0)的正向.⑴求/?为何值时,/=0; (2)求I的最大值.3•已知力场F=yzi+zx/+xyk,将质点从原点沿直线移到曲面%2a2z%2a2z2二1的第一卦限部分上的哪-点作功最大？求出此最大功.五•证明题1.证明(eAcosy+2xy2)dx+(2x2y-exsiny)dy是某个二元函数w=u(x,y)的全微分,并求出u(x,y).2.己知D:0<x< <y<7T,厶为D的正向边界，试证(1)^xesiny(1)^xesinydy-ye-sinxdx=^xe-sinydy-yes]nxclx对坐标的曲面积分一.填空题设为为光滑的闭曲面，V为》所围成的空间区域的体积，COSQ,COS0,COS7为TOC\o"1-5"\h\zL的外法线的方向余弦，则甘(xcosg+ycos0+zcosy)dS= .设比二J兀2+),+f,则div(gradu)|(|22)= .工为锥面z=厶+2(0351)的下侧，则曲面积分JJxdydz+ydzdx+zcbcdy= .z设工为曲z=x2+/(0<z<l)的上侧，将对坐标的曲面积分JjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdyzTOC\o"1-5"\h\z化成对面积的曲面积分为 •—>―> —>―>—>—>—>—>—>设A=xi+y zk=x2i+k贝Jrot{AxB)= .二•单项选择题1.设工为立方体-R5x5R,-R5y5R,-R5z5R的内切球而的外侧，则甘x3dydz+y^dzdx+z'dxdy-1Q Z：(A)—ttR5: (B)—7tR、； (C)4加?§； (D)2tiR'.5 52.设工是旋转抛物面z=x2+yl(0<z<1)的下侧，£\\,是xoy平面上圆域x2+y2<1,则jjzdxcly=(B)-jj2x(x2+y2)dxdy(B)-jj2x(x2+y2)dxdy；(D)- +y2)dxdy.疋的外侧，则#举±坯皱=()Z3•设工是球面F+y2+z2(C) +y2)dxdy3•设工是球面F+y2+z2(A)-^?2； (B)-7TR\ (C)-7TR3; (D)-7[R\3 3 3 3TOC\o"1-5"\h\z~> 一一_ ~~》已知向量场F=xjjx(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中工是由曲线2 _Z=jjx(8y+\)dydz+2(1-y2)dzdx-4yzdxdy,其中工是由曲线2 _Z= (0<y<l)^z轴旋转一周所成的曲面，法向量与z轴正向夹角恒小于兰.兀=0 2(A)y； (B)2y； (C)-2y； (D)0.下述论断屮正确的是 ( )(A)散度将数量函数变为向量函数；(B)旋度将数量函数变为向量函数；散度将向量函数变为向量函数；(D)旋度将向量函数变为向量函数.三.计算下列对坐标的曲面积分1.(打：2心如其中S为圆锥面z=“+犷(°<z<!)的上侧.2.jjx3dydz+y3dzdx+z3dxd