现代控制理论-第九章-现代控制理论-控制系统的数学模型

第一节状态空间表达式第九章状态空间分析法

“三域”模型及其相互关系对控制系统的分析（根轨迹法和频率响应法），都以传递函数或频率特性的形式来描述控制系统。方法的局限性：传递函数只描述系统输出与输入间的关系，不涉及到系统内部状态的信息，因而这种描述不完整；传递函数的概念主要适用零初始条件于单输入单输出系统。无法表示时变系统，非线性系统以及非零初始条件的线性定常系统。以传函方法表示控制系统，有时达不到系统最优性能。状态空间表达式：

通过输入，状态变量和输出来描述系统；

通过将高阶微分方程或传递函数改写成一阶微分方程组，即系统的状态方程。状态方程可以用向量和矩阵的形式来表示，使模型简单，易于计算，分析。9.1.1线性系统的数学描述系统描述中常用的基本概念系统的外部描述传递函数

系统的内部描述状态空间描述一、状态、状态变量和状态空间解：以作为中间变量，列写该回路的微分方程

求解这个微分方程组，出现两个积分常数。它们由初始条件状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。（或完全表征系统运动状态的最小一组变量。）和就可以表征这个电路的行为。若将和视为一组信息量，则这样一组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变量均是该电路的状态变量。状态:表征系统运动的信息和行为。如果知道这些变量在任意时刻t0的值以及t≧t0的系统的输入，便能完整地确定系统在时刻t的状态。这样一组最小的变量称为系统的状态变量。这里所说的“完整”是指系统所有可能的运动情况都能表示出来；所谓“最小”既是变量的个数最少。一个系统有几个储能元件，就有几个状态变量。补充：

定义2

设α1，α2，…，αm是一组n维向量，如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则称向量组α1，α2，…，αm线性相关(linearlydependent)；否则，称向量组α1，α2，…，αm

线性无关。定义1

设α1，α2，…，αm

，β是一组n维向量，若存在m个实数k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm

，则称β可以由α1，α2，…，αm线性表示(linearrepresentation)。或称α1，α2，…，αm线性表示(lineargenerate)β。状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。例如t1时刻的状态，在状态空间中的表示为二、状态空间表达式这个方程组描述了系统状态变量和输入量之间的关系，称为电路的状态方程。这个方程组描述了系统状态变量和输出量之间的关系，称为电路的输出方程。一般情况：其中，线性定常连续系统的状态图：三、状态变量的选取视研究的问题性质和输入特性而定。

对一个物理系统而言，通常可选择系统中反映独立储能元件状态的特征量为状态变量。例如电路中电容两端的电压，流过电感的电流，机械系统中的速度和位置（转角）均可作为系统的状态变量。状态变量的选取不唯一。状态变量的数目是唯一的。四、状态空间表达式的建立举例例1求图示机械系统的状态空间表达式外力

位移

牛顿力学定律令---弹性系数阻尼系数动态方程如下状态空间表达式为：

例2求图示RLC电路系统的状态空间表达式

为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵—向量的形式为：

令为状态向量则：9.1.2线性定常连续系统的状态空间表达式1.由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项选取：状态空间表达式：例

设

求系统状态空间表达式。

解：选

则：

状态空间表达式为2.系统输入量中含有导数项如果单输入—单输出系统的微分方程为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导数项，可以选择如下的一组状态变量。

设，选取：为了用状态空间分析系统，对于已知由传递函数（或微分方程）描述的系统，就需要先将它们转变为相应的动态防城，且不改变系统的输入—输出特性，这样求得的动态方程称为系统的一个状态空间实现。动态方程多种不同形式，实现的方法也多种，这里介绍最常见的四种标准实现：能控标准形实现，能观标准形实现对角标准形实现，约当标准形实现

2.由传递函数列写动态方程（状态空间表达式）

设单输入/输出系统的传递函数：

其中，。为传递函数的一般形式。传递函数中存在着有零、极点对消和没有零、极点对消情况。这里所讨论的实现是没有零、极点对消的情况，据此求得的动态方程，其状态变量数量少，相应矩阵的维数也最小。若构成硬件系统时，所需积分器的个数也最少，故这种实现有最小实现之称。（一）能控标准形实现1传递函数无零点矩阵特点说明p336图9-5传递函数无零点时的能控标准形状态图例9-3已知一系统的传递函数为试写出能控标准形的状态空间表达式。2传递函数有零点（1）串联分解的形式dy(s)y2(s)y1(s)

选取状态变量则状态方程为：输出方程为：写成向量-矩阵形式为：例9-4已知一系统的传递函数为试写出能控标准形的状态空间表达式。(二)能观标准形实现

写成向量-矩阵形式为：图9-8能观标准形状态图（三）对角标准形实现

并联分解（对角标准形）把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式只含单实极点，设可分解为：其中为系统的单实极点则：其中：

为极点的留数a.选取状态变量:将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将代入：展开：

特点：传函极点全1

对应极点的留数

b.选取状态变量:

状态变量图（并联结构）

对角标准形(a)对角标准形(b)例9-5已知一系统的传递函数为试写出对角标准形的状态空间表达式。（四）约当标准形实现当

含重实极点为了简单起见，设T(s)只有r重极点，则传递函数的部分式展开式为：.状态空间表达式..

其中.状态变量图例9-6已知一系统的传递函数为试写出约当标准形的状态空间表达式。例：设系统传递函数为：试求其状态空间表达式。解：分母三重极点用部分分式为：

状态空间表达式3由动态方程求系统的传递函数矩阵定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系传递函数矩阵（简称传递矩阵）表达式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：则系统传递矩阵表达式为：例9-6已知系统的动态方程式为求系统的传递函数矩阵。

9.2线性变换前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。

一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的电路），因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。

状态变量的不同选取状态向量的线性变换（或坐标变换）

1.系统状态的线性变换目的：便于揭示系统特性及分析计算且不会改变系统的性质如果是一组由个状态变量构成的维状态向量，则的线性组合也完全可以作为一组新的状态变量，构成新的状态向量，在与之间存在如下的非奇异线性变换关系：或其中是非奇异变换矩阵于是有：虽然状态变量和状态表达式不同，但和都是描述同一系统动态行为的描述。设线性常定系统的状态空间表达为令则其中例：设系统的状态空间表达式为：取变换矩阵则

取变换矩阵则