【学案】《6.1-基本立体图形（一）》

高中数学精选资源2/2§1基本立体图形LLL1．1构成空间几何体的基本元素LLL1．2简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课程内容标准学科素养凝练1．认识棱柱、棱锥、棱台等几何体的结构特征．2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.通过学习简单多面体的结构特征，提升数学抽象及直观想象素养.1．多面体的概念有些几何体是由平面多边形围成的，称为多面体.这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．2．棱柱的结构特征定义两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱．图形及表示eq\a\vs4\al(如图可记作：棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′)相关概念底面：两个互相平行的面．侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与底面的公共顶点．对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线．分类直棱柱：侧面平行四边形都是矩形的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；斜棱柱：其他的棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、……3．棱锥的结构特征定义其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体称为棱锥．图形及表示eq\a\vs4\al(如图可记作：棱锥S­ABCD)相关概念底面：多边形面．侧面：有公共顶点的各个三角形面．侧棱：相邻两个侧面的公共边．顶点：各侧面的公共点．高：顶点到底面的距离．斜高：正棱锥中各侧面等腰三角形底边上的高．分类正棱锥：底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上；按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……4．棱台的结构特征定义用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．图形及表示eq\a\vs4\al(如图可记作：棱台ABCD­A′B′C′D′)相关概念上底面：原棱锥的截面．下底面：原棱锥的底面．侧面：其余各面．侧棱：相邻两个侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点．高：上底面、下底面之间的距离．分类正棱台：由正棱锥截得的棱台为正棱台；由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)多面体的面都是平的，多面体没有曲面．(√)(2)三棱锥也叫四面体．(√)(3)棱锥的侧棱长都相等．(×)(4)棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点．(√)2．(教材P198练习1改编)下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形B[由棱台的结构特征知，B正确．]3．下列几何体中棱柱有()A．5个 B．4个C．3个 D．2个D[由棱柱的定义知，①③为棱柱．]探究一棱柱的结构特征[知能解读]棱柱的结构特征(1)两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．解(1)长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与平面A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M­CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1­DCND1．[变式]若用一个平面去截本例中的四棱柱，能截出三棱锥吗？解如图，几何体B­A1B1C1就是三棱锥．[方法总结]在判断是否是棱柱时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．[训练1]根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)该几何体是六棱柱．探究二棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．①②[①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．][方法总结]判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[训练2]如图，三棱台A′B′C′­ABC截去三棱锥A′­ABC后剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱台 D．四棱柱B[剩余部分是四棱锥A′­BB′C′C．]探究三多面体的侧面展开图在一长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两个端点)．解题流程：第一步泛读题目明确待求结论：沿长方体表面从P到Q的最小距离．第二步精读题目挖掘已知条件：长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c．第三步建立联系寻找解题思路：利用长方体的侧面展开图求解，注意分情况进行讨论．第四步书写过程规范养成习惯．解将长方体展开，有三种情况(如图)．d1＝eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，d2＝eq\r(c2＋a＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，d3＝eq\r(b2＋a＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac)，因为a>b>c，故dmin＝d1＝eq\r(a2＋b＋c2)．[方法总结]多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．[训练3]如图所示，已知三棱锥P­ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？解把三棱锥P­ABC的侧面沿