湖南省岳阳市汩罗市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

湖南省岳阳市汩罗市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷注意事项：1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.4.本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟.一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1.下列说法正确的是（）A.无理数是无限小数，无限小数是无理数 B.是无理数C.实数包括正实数和负实数 D.带根号的数都是无理数2.已知，，下列说法正确的是（）A. B.C. D.3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.5.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表，根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）甲乙丙丁1691691681686.05.05.019.5A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.下列命题中，判断错误的是（）A.所有定理都有逆命题B.对顶角相等的逆命题是真命题C.两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行D.假命题逆命题不一定是假命题7.如图，在正方形中，点分别在上，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（）A. B. C. D.8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A. B. C. D.9.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.10.如图所示，一个长为，宽为大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（）A B. C. D.二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上）11.若x是最小的正整数，y是最小的非负整数，则代数式________．12.若与互为相反数，则_____________________．13.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．14.已知抛物线开口向下，那么的取值范围是_______．15.某商品标价元，现在打折出售仍可获利，则这件商品的进价是_____元．16.如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为____________m．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，≈1.41）．17.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．18.如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_________．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19.计算：．20.先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．21.如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）点M在x轴上，若，求点M的坐标．22.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x（分）频数（人）频率根据所给信息，解答下列问题：（1）_______，_______；（2）补全频数分布直方图；（3）这名学生成绩的中位数会落在_______分数段；（4）若成绩在分以上（包括分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中成绩是“优”等的约有多少人？23.某学校复印任务原来由甲复印社承包，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：x(页)1002004001000…y(元)4080160400…(1)根据表格信息写出y与x之间的关系式；(2)现在乙复印社表示：若学校每月先付200元的承包费，则可按每页0.15元收费．乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)之间的关系式为_______________；(3)若学校每月复印页数在1200页左右，应选择哪个复印社？24.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】25.如图，为的直径，点为圆周上一点，的延长线交的切线于点，的延长线交的切线于点．（1）若，求的度数；（2）证明：；（3）若，，求的长．26.如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点，点是直线上方的抛物线上一动点.（1）求二次函数的表达式；（2）连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点坐标；（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

湖南省岳阳市汩罗市2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试卷注意事项：1.本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚.3.答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回.4.本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟.一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）1.下列说法正确的是（）A.无理数是无限小数，无限小数是无理数 B.是无理数C.实数包括正实数和负实数 D.带根号的数都是无理数【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了实数的分类以及无理数的定义，根据实数的分类以及无理数的定义一一判断即可．【详解】解：A．无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故该选项不符合题意；B．是无理数，正确，故该选项符合题意；C．实数分为正实数．负实数和零，原说法错误，故该选项不符合题意；D．带根号的数不一定都是无理数，例如，，2是有理数，原说法错误，故该选项不符合题意；故选：B．2.已知，，下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．根据即可得到答案．【详解】解：∵，∴，故选：D．3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此即可求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．5.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表，根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）甲乙丙丁1691691681686.05.05.019.5A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】本题考查数据的平均数与方差的意义，解题的关键是理解两者所代表的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数与方差的意义解答即可．【详解】解：甲、乙的平均数比丙、丁大，应从甲和乙中选，甲的方差比乙的大，乙的成绩较好且状态稳定，应选的是乙．故选：B．6.下列命题中，判断错误的是（）A.所有定理都有逆命题B.对顶角相等的逆命题是真命题C.两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行D.假命题的逆命题不一定是假命题【答案】B【解析】【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．【详解】解：、所有定理都有逆命题，正确，本选项不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，本选项符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，本选项不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，因此原说法正确，不符合题意．故选：B．7.如图，在正方形中，点分别在上，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出正方形的面积，再由比例求出空白部分的面积，通过证明△BCE≌△CDF可求解S△BCH，∠BHC=90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH+CH的长，即可求出△BCG的周长﹒【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=CD=AB=4，∠BCE=∠CDF=90°，∴S正方形ABCD=16．∵S阴影：S正方形ABCD=3：4，∴S阴影=×16=12，∴S空白=16-12=4．在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴S△BCH=S四边形EDFH=2，∠HBC=∠DCF．∵∠DCF+∠HCB=90°，∴∠HBC+∠HCB=90°，∴∠BHC=90°，∴BH2+CH2=BC2=16，BH•CH=4，∴(BH+CH)2=BH2+CH2+2BH•CH=16+2×4=24，∴BH+CH=2，∴△BCH的周长为BH+CH+BC=2+4，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，完全平方公式的变形求值及面积的和差相关知识，关键是证明两个三角形全等，得到△BCH面积．8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题侧重考查探究规律，乘方的知识，找准规律是解决此题的关键．在七进制中，可以表示为．【详解】解：∵由图可得图中的数字是，∴根据七进制的规律可知，孩子自出生后的天数为．故选：C．9.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了一个“以绳量木”的问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文为：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺：将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设绳子的长度为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺”，可得出木头的长度是或尺，结合木头的长度不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：∵用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺，∴木头的长度是尺；∵将绳子对折后去量，绳子比木头短1尺，∴木头的长度是尺，∴根据题意得可列出方程，即．故选A．10.如图所示，一个长为，宽为的大长方形中放入①号长为，宽为的长方形和②号边长为的正方形，若已知两个阴影部分周长的差，则下列结论可求出的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先利用代数式表示出两阴影部分的周长，再利用整式的加减运算表示出两个阴影部分周长的差，然后利用已知两个阴影部分周长的差可对各选项进行判断．【详解】解：∵左边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，右边的阴影部分为长方形，其长为，宽为，∴两个阴影部分周长的差为，∴当已知两个阴影部分周长的差时，可求出．故选：C二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分，请将正确答案写在答题卡相应的横线上）11.若x是最小的正整数，y是最小的非负整数，则代数式________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查正整数、非负整数以及有理数的计算，根据最小的正整数x是1，最小的非负整数y是0，由此代入代数式计算即可．【详解】解：由题意得，，∴．故答案：．12.若与互为相反数，则_____________________．【答案】

【解析】【分析】先因式分解，然后根据相反数的定义得出，整体代入即可求解．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解的应用，相反数的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．13.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．【答案】9【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可．【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根，，解得：，故答案为：．14.已知抛物线开口向下，那么的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决此题的关键．根据二次函数图象开口向下求出，再计算求解即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，解得：，故答案为：．15.某商品标价元，现在打折出售仍可获利，则这件商品的进价是_____元．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件商品的进价是元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设这件商品的进价是元，由题意得，，解得，∴这件商品的进价是元，故答案为：．16.如图，武汉起义门城楼BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度约为____________m．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，≈1.41）．【答案】【解析】【分析】先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得．【详解】解：由题意，在中，，中，，则，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．17.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．【答案】1【解析】【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：S==1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．18.如图，直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行下去，点的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点A3、A4探究规律利用规律即可解决问题．【详解】解：在Rt△OA1B1中，，，∴点A2的坐标为（2，0）．同理，可得出：点A3的坐标为（4，0），点A4的坐标为（8，0），由此可知An的坐标为，A2020的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点A2、A3、A4的坐标并找到规律是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每题10分，共66分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）19.计算：．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据算术平方根的定义，立方根定义，二次根式性质和零指数幂的运算方法进行计算即可．【详解】解：原式．20.先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．【答案】，-1【解析】【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．【详解】解：原式＝＝＝＝，当a＝﹣1时，原式＝．【点睛】本题考查了分式的混合运算，对于分式的混合运算，应注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的．此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等．21.如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）点M在x轴上，若，求点M坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为（2）M点的坐标为或【解析】【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．【小问1详解】解：设反比例函数解析式为，将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为，把代入，可得，解得，经检验，是方程的解，，设一次函数的解析式为，将，代入，可得，解得，一次函数的解析式为；【小问2详解】解：当时，可得，解得，，，，，，，M在O点左侧时，；M点在O点右侧时，，综上，M点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．22.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：频数频率分布表成绩x（分）频数（人）频率根据所给信息，解答下列问题：（1）_______，_______；（2）补全频数分布直方图；（3）这名学生成绩的中位数会落在_______分数段；（4）若成绩在分以上（包括分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的名学生中成绩是“优”等的约有多少人？【答案】（1），（2）见解析（3）（4）人【解析】【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力及概率公式，熟悉相关的知识是解题的关键；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体．（1）根据频率频数总数求解可得；（2）根据所求m的值即可补全频数分布直方图；（3）根据中位数的定义，先把数值按小到大排序或者大到小排序，取中间位置的数值即为中位数；（4）用总人数乘以样本中优等生人数所占比例即可．【小问1详解】解：本次调查的总人数为；则；；故答案为：，；【小问2详解】频数分布直方图如图所示：【小问3详解】名学生成绩的中位数是第、个成绩的平均数，而第、个数均落在；∴这名学生成绩的中位数会落在分数段；故答案为：；【小问4详解】∵（人）；∴估计该校参加本次比赛的名学生中成绩“优”等的约有人．23.某学校的复印任务原来由甲复印社承包，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：x(页)1002004001000…y(元)4080160400…(1)根据表格信息写出y与x之间的关系式；(2)现在乙复印社表示：若学校每月先付200元承包费，则可按每页0.15元收费．乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)之间的关系式为_______________；(3)若学校每月复印页数在1200页左右，应选择哪个复印社？【答案】（1）y＝0.4x(x≥0且x为整数)．（2）y＝0.15x＋200(x≥0且x为整数)．（3）若学校每月复印页数在1200页左右，应选择乙复印社．【解析】【分析】（1）待定系数法设一次函数关系式，把任意两点代入，求得相应的函数解析式，看其余点的坐标是否适合即可．（2）根据乙复印社每月收费=承包费+按每页0.15元复印费用，可得相应的函数解析式；（3）先画出函数图象，找到交点坐标，即可作出判断．【详解】（1）设解析式为y=kx+b，将（100，40），（200，80）代入得，解得．故y=0.4x（x＞0且为整数）；（2）乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为：y=0.15x+200（x≥0且为整数）．（3）在同一坐标系中画出两函数图象，如下图，由图形可知每月复印页数在1200左右应选择乙复印社．【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的作图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．24.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】【答案】海里【解析】【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离．【详解】