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文档简介

2025届四川省眉山市仁寿县高三第一次调研测试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.2.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+13.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,5.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为()A. B. C. D.6.函数在的图象大致为()A. B.C. D.7.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()A. B.C. D.8.函数且的图象是()A. B.C. D.9.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.10.记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A. B. C. D.11.已知函数,若恒成立,则满足条件的的个数为()A.0 B.1 C.2 D.312.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知盒中有2个红球,2个黄球,且每种颜色的两个球均按,编号,现从中摸出2个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好同时包含字母,的概率为________.14.若非零向量,满足,,,则______.15.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.16.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.(1)求的值;(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.18.(12分)设函数,,(Ⅰ)求曲线在点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩,某公司设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.(1)请你根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的:①根据上表数据计算的值;②已知该公司成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①:附②:对应一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.20.(12分)棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于311的为“长纤维”,其余为“短纤维”)纤维长度甲地(根数)34454乙地(根数)112116(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附:(1);(2)临界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)现从上述41根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.21.(12分)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得分,投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.从所有参赛选手中随机抽取人,将他们的得分按照、、、、分组,绘成频率分布直方图如图:(1)分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数;(2)从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手,以表示这名选手中得分不超过分的人数,求的分布列和数学期望.22.(10分)数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,为的前n项和,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.2、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./3、C【解析】

根据等比数列的前项和公式,判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列,所以,由于,所以,故“”是“”的充分必要条件.故选:C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查等比数列前项和公式,属于基础题.4、A【解析】

依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.5、B【解析】

直接代入检验,排除其中三个即可.【详解】由题意,排除D,,排除A,C.同时B也满足,,,故选:B.【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.6、B【解析】

先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.7、A【解析】

根据平面平面,四边形为等腰梯形,则球心在过的中点的面的垂线上,又是等边三角形,所以球心也在过的外心面的垂线上,从而找到球心,再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示:取的中点,则是等腰梯形外接圆的圆心,取是的外心,作平面平面,则是四棱锥的外接球球心,且,设四棱锥的外接球半径为,则,而,所以,故选:A.【点睛】本题考查组合体、球,还考查空间想象能力以及数形结合的思想,属于难题.8、B【解析】

先判断函数的奇偶性,再取特殊值,利用零点存在性定理判断函数零点分布情况,即可得解.【详解】由题可知定义域为,,是偶函数,关于轴对称,排除C,D.又,,在必有零点,排除A.故选:B.【点睛】本题考查了函数图象的判断,考查了函数的性质,属于中档题.9、A【解析】

根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.10、C【解析】

据题意可知,是与面积有关的几何概率,要求落在区域内的概率,只要求、所表示区域的面积,然后代入概率公式,计算即可得答案.【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示:的圆及内部的平面区域,面积为,集合,,表示的平面区域即为图中的,,根据几何概率的计算公式可得,故选:C.【点睛】本题主要考查了几何概率的计算,本题是与面积有关的几何概率模型.解决本题的关键是要准确求出两区域的面积.11、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论:①当,②当,③当,考查方程的解的个数,综合①②③得解.【详解】①当时,,满足题意,②当时,,,,,故不恒成立,③当时,设,,令,得,,得,下面考查方程的解的个数,设(a),则(a)由导数的应用可得:(a)在为减函数,在,为增函数,则(a),即有一解,又,均为增函数,所以存在1个使得成立,综合①②③得:满足条件的的个数是2个,故选:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属难度较大的题型.12、A【解析】

先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数,让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率.【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况,其中有种情况是两个球颜色不相同;故其概率是故答案为:.【点睛】本题主要考查了求事件概率,解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14、1【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式,得出,解方程即可得出答案.【详解】,即解得或(舍)故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用,属于中档题.15、1【解析】

把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.16、(或写成)【解析】试题分析:设,取中点则,因此,所以,因为在单调递增,最大值为所以单调增区间是,最大值为考点:函数最值,函数单调区间三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)点在定直线上.【解析】

(1)设出直线的方程为,由直线和圆相切的条件:,解得;(2)设出,运用导数求得切线的斜率,求得为切点的切线方程,再由向量的坐标表示,可得在定直线上;【详解】解:(1)依题意设直线的方程为,由已知得:圆的圆心,半径,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,即,解得或(舍去).所以;(2)依题意设,由(1)知抛物线方程为,所以,所以,设,则以为切点的切线的斜率为,所以切线的方程为.令,,即交轴于点坐标为,所以,,,.设点坐标为,则,所以点在定直线上.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质,直线与圆的位置关系的判断,考查直线方程和圆方程的运用,以及切线方程的求法,考查化简整理的运算能力,属于综合题.18、(1)(2)【解析】分析:(1)先断定在曲线上,从而需要求,令,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,从而求得函数在相应区间上的最值.详解:(Ⅰ)当,.,当,,所以切线方程为.(Ⅱ),,因为,所以.令,,则在单调递减,因为,所以在上增,在单调递增.,,因为,所以在区间上的值域为.点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,需要对公式的正确使用.19、(1)列联表见解析,有把握;(2)①;②元时【解析】

(1)直接由题意列出列联表,通过计算,可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)①代入表中数据,结合公式求出;②由①中所得的线性回归方程,若售价为,单价利润为,日销售量为,进而可求出日利润,结合导数可求最值.【详解】解:(1)由题意知,采用促销中精英店的数量为,采用促销中非精英店的数量为;没有采用促销中精英店的数量为,没有采用促销中非精英店的数量为,列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.(2)①由公式可得:所以回归方程为②若售价为,单件利润为,日销售为,故日利润,解得.当时,单调递增;当时,单调递减.故当售价元时,日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验,考查了线性回归方程的求法,考查了函数最值的求解.在求函数的最值时,常用的方法有:函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.20、(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析【解析】试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验

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