《机械设计基础》课件-第6章

第6章剪切和挤压及扭转6.1剪切和挤压6.2扭转变形

6.1剪切和挤压

6.1.1剪切和挤压的概念

剪切变形是工程中常见的基本变形之一，如螺栓、铆钉、键等，都是构件承受剪切变形的工程实例，这些联接件的受力和变形均可简化为如图6-1(a)所示的铆钉联接。图6-1剪切和挤压示例构件产生剪切变形时，发生相对错动的截面称为剪切

面(见图6-2)。剪切面平行于外力的作用线，且在两个反向

外力作用线之间。构件中只有一个剪切面的剪切称为单剪(图6-1(a))。构件中有两个剪切面的剪切称为双剪，如图

6-1(c)所示。图6-2铆钉受力分析6.1.2剪切和挤压的实用计算

按此假设计算的剪切应力为平均应力，称为名义剪应力(或名义切应力)，用τ表示。其计算公式为

(6-1)

为保证铆钉在工作中不被剪断，剪应力应不超过材料的许用剪应力［τ］，即

(6-2)

工程中常用材料的许用剪应力，可从有关手册中查得。一般情况下，［τ］与许用应力［σ］之间有如下关系：

［τ］＝(0.6～0.8)［σ］(塑性材料)

［τ］＝(0.8～1.0)［σ］(脆性材料)挤压变形的挤压力Fjy，严格来讲是两个接触物体的约束力，因其特殊性(分布复杂、局部集中等)，工程上也采用实用计算法，用σjy表示挤压正应力，其计算公式为

(6-3)

同样，挤压的强度条件为

(6-4)式中，［σjy］是材料的许用挤压应力，它是通过挤压破坏试验并考虑一定的安全储备确定的，可以从有关手册中查取。一般情况下，［σjy］与许用拉应力［σ］的关系如下：

［σjy］＝(1.5～2.5)［σ］(塑性材料)

［σjy］＝(0.9～1.5)［σ］(脆性材料)

当联接件与被联接件的材料不同时，应以联接中抵抗挤压能力弱的构件来进行挤压强度计算。

剪切和挤压的强度条件也可解决三类强度问题，即校核强度、设计截面和确定许可载荷。

例6-1两块钢板用铆钉联接(图6-3(a))，每块钢板厚度

t＝10mm，铆钉的许用切应力［τ］=80MPa，许用挤压应力［σjy］=200MPa，铆钉直径d=18mm。求铆钉所能承受的许可载荷。图6-3铆钉受力分析

解

(1)变形分析。由图6-3(b)分析可知，铆钉沿m—m截面发生剪切变形，其剪切面积A=；与孔壁接触处发生挤压变形，其挤压面积Ajy=td。因此，要对铆钉进行剪切和挤压强度计算。

(2)按铆钉的剪切强度条件确定许可载荷［F1］。

根据式(6-2)，得

因

［F1］=FQ

所以

［F1］=20.4kN

(3)按铆钉的挤压强度条件确定许可载荷［F2

］。

根据式(6-4)，得

Fjy≤［σjy］·Ajy=200×10×18=36000N=36kN

因

［F2］=Fjy

所以

［F2］=36kN

对比可知［F1］＜［F2］,故取［F］=［F1］=20.4kN。

例6-2某车床传动轴与齿轮用平键联接。已知轴的直径d=62mm，键的尺寸为b×h×l=18mm×11mm×70mm

(图6-4)，传递的力矩M=2kN·m。键的许用切应力［τ］=

60MPa，许用挤压应力［σjy］=100MPa。试校核键联接

的强度。图6-4平键受力分析

解

(1)外力分析。取轴和键整体为研究对象，其受力图如图6-4(a)所示。

由

得

(2)变形分析。由图6-4(b)、(c)可知，键沿m—m截面发生剪切变形，其剪切面积A=bl；与键槽接触处发生挤压变形，其挤压面积Ajy=hl。因此，对键要进行剪切和挤压强度计算。

(3)校核键的剪切强度。由式(6-2)，因FQ=FP，所以

则键的剪切强度足够。

(4)校核键的挤压强度。由式(6-4)，因Fjy=FP，所以

则键的挤压强度不足。

例6-3冲床的最大冲力F=320kN，冲头材料的许用应力［σ］=440MPa，如图6-5所示，钢板的剪切强度极限τb=360MPa。求冲床能冲剪的最小孔径d及钢板的最大厚

度t。图6-5冲床示例

解

(1)确定最小孔径。冲头能冲剪的最小孔径d也就是冲头的最小直径。要保证冲头正常工作，必须满足冲头的压缩强度条件，即

则

故该冲头能冲剪的最小孔径为(取整)30mm。

(2)确定钢板的最大厚度t。冲头冲剪钢板时，钢板的剪切面为圆柱面，剪切面积A=πdt，剪切力为FQ＝F。为了能冲出圆孔，必须满足条件：

得

F≥τb·A=τb·πdt

则

所以，该冲头能冲剪的钢板最大厚度为9mm。6.2扭转变形

6.2.1扭转变形的概念及内力

1.扭转变形的概念

工程上有许多构件要承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴(图6-6)、丝锥(图6-7)等。把这些构件的受力情况抽象为一个共同的力学模型，则如图6-8所示。图6-6方向盘图6-7丝锥图6-8扭转轴示例

2.外力偶矩的计算

工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给出，而往往给出轴的转速n和轴所传递的功率P，通过功率的有关公式推导，得出下列计算外力矩(又称转矩)的公式：

(6-5)

3.扭矩和扭矩图

当求出作用于轴上的外力偶矩以后，即可用截面法计算截面上的内力。

设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形，如图6-9(a)所示。在轴的任意截面n—n处将轴假想截开(图6-9(b)、(c))。由于整个轴是平衡的，所以每一段轴都处于平衡状态，这就使得n—n截面上分布的内力必然构成一个力偶，并以横截面为其作用面，这个力偶矩称为扭矩，以Mn表示。图6-9截面法求扭矩取左段(图6-10(b))，根据平衡条件，可得n—n截面上的扭矩为

∑Mn=0,

Mn－M=0

即

Mn=M

也可以以右段为对象，列平衡方程求扭矩，试对比有什么不同。扭矩的正负规定：截面上扭矩的转向和截面外法向构成右手系，扭矩为正，反之为负。也就是说，在截开后可见截面上(从截面外法向逆向看过去)，力偶转向为逆时针时，

扭矩为正，顺时针时为负。实用中经常使用右手螺旋法则

来判断扭矩的正负：以右手握住截面外法线，大拇指与外

法向相同，四指的绕向若与力偶的转向相同，则扭矩为正(图6-10(a))，反之为负(图6-10(b))。图6-10右手螺旋法则

例6-4传动轴如图6-11(a)所示。其转速n＝300r/min，主动轮A上输入的功率PA＝221kW，从动轮B和C上输出的功率分别为PB=148kW，PC=73kW。试求轴上各截面的扭矩，并画出轴的扭矩图。图6-11传动轴解(1)计算外力偶矩。由式(6-5)可知，作用在A、B、C上的外力偶矩分别为

(2)计算扭矩。在轴AC段的任意截面1—1处将轴截开，取左段为研究对象(图6-11(b))，以Mn1表示截面的扭矩，并假设其转向为正向，根据平衡条件得

∑Mx=0，Mn1－MC=0

即

Mn1=MC=2324N·m同理，在AB段的任意截面2—2将轴截开，以Mn2表示

截面的扭矩，假设其转向为负向，取右段为研究对象(图

6-11(c)),由平衡条件得

∑Mx=0，Mn2－MB=0

Mn2=MB=4711N·m

注意：图示方向与扭矩正向规定相反，该扭矩为负值。

(3)画扭矩图。根据所得的扭矩作扭矩图(图6-11(d))，可见，

|Mn|max=Mn2=4711N·m

(发生在AB段各截面上)6.2.2扭转时的应力分析

1.横截面上的应力

圆轴扭转时，在确定了横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的内力分布规律，以便求得横截面上的应力。图6-12圆周扭转变形分析由平面假设可知，圆轴扭转时，其横截面上各点的剪应变与该点到圆心的距离ρ成正比。根据剪切的虎克定律τ=Gγ可知：横截面上的剪应力沿半径按线性分布，即τρ=kρ，其方向垂直于半径指向，与扭矩的转向一致。在与圆心等距的各点处，剪应力的大小相等，如图6-13(a)所示。

上述分析也完全适用于空心圆截面，如图6-１３(b)所示。图6-13扭转圆截面内力分布在图6-14所示的截面上，在距离圆心为ρ处取一微面积dA，则τρdA为作用在微面积上的微剪力，它对圆心的微力矩为ρτρdA，整个截面上所有微力矩之和应等于该截

面上的扭矩Mn，因此

(1)

将τρ=kρ代入式(1),得

(2)图6-14轴横截面内力与外力的关系式(2)中,∫Aρ2dA为只与截面形状和尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心的极惯性矩，以IP表示，即

其单位为m4，常用单位为mm4或cm4。将代入式(2),得

(6-6)

该式为圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力计算公式。式中，Mn为欲求应力的点所在横截面上的扭矩，ρ为欲求应力的点到圆心的距离，IP为横截面对圆心的极惯性矩。由式(6-6)可知，当ρ=ρmax=R时，τρ=τmax，即在

横截面最外边缘处，剪应力的值最大，即

若令

则

2.极惯性矩和抗扭截面模量的计算

在图6-15所示的直径为d的实心圆截面中，在距圆心ρ处，取厚度为dρ的微分圆环，其面积dA=2πρ·dρ，从而可得圆截面的极惯性矩为

(6-8)

其抗扭截面模量为

(6-9)用类似的方法可以计算出内径为d、外径为D的空心圆截面的极惯性矩IP和抗扭截面模量WP分别为

(6-10)

(6-11)6.2.3圆轴扭转时的强度计算

为了保证圆轴扭转时具有足够的强度而不被破坏，必须限制轴的最大剪应力不得超过材料的扭转许用剪应力。对于等截面圆轴，其最大剪应力发生在扭矩值最大的截面(称为危险截面)的外缘处，故圆轴扭转的强度条件为

(6-12)式中，扭转许用剪应力［τ］是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。在静载荷条件下，它与许用拉应力［σ］有如下关系：

［τ］=(0.5~0.6)［σ］(塑性材料)

［τ］=(0.8~1.0)［σ