考前终极刷题02（高频解答专练）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页考前终极刷题02（高频解答专练）1．如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，.

(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理得证.（2）过作直线，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【详解】（1）在四棱锥中，由底面，底面，得，由，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）过作直线，由底面，得底面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，又为平行四边形，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，所以平面与平面的夹角的余弦值为.2．如图，在三棱锥中，分别是的中点.(1)求证:平面；(2)若四面体的体积为，求；(3)若，求直线AD与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、线面角的向量求法【分析】（1）证明，可证线面垂直；（2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）.的中点为，则..，则，故，即.因为，，平面，平面，所以平面.（2）因为，所以.而，所以，解得：.（3）过作轴垂直平面，以方向分别为则，，设平面法向量为由得，所以为平面的一个法向量，设与平面所成角为，所以所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．3．如图，四棱锥的底面是边长为2菱形，，，分别是，的中点.(1)求证；平面；(2)若，，，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2).【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用中位线的性质构造线线平行，再利用线面平行的判定证明即可；（2）根据线面垂直的判定先证明平面，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.【详解】（1）取的中点为，连接，.点，分别是，的中点，是的中位线，即，，在菱形中，，.，，即四边形为平行四边形，则，又平面，平面，平面.（2）连接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，则，所以.即直线，，两两垂直.如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的法向量为，平面的法向量为，由得取.由得取.设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所成角的余弦值为.4．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．

(1)证明：平面；(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明、，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）根据圆锥的侧面积求得及，求出平面、平面的一个法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【详解】（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．设，故，，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；（2）圆锥的侧面积，，,由（1）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，，故，令得，则，所以二面角的正弦值为．5．如图，在四棱锥中，，

，，平面平面．(1)求证：平面；(2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论；（2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值.【详解】（1）若分别为中点，连接，由，，则为直角梯形，且为中位线，所以，且，由，则，又，可得，面面，面，面面，则面，面，故，则，由面，则，又，均在面内，所以面，面，可得，所以，故，即，由，则，而均在面内，所以平面.（2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系，所以，令且，则，则，，，若是面的一个法向量，则，令，则，由题意，整理得，故，则，若是面的一个法向量，则，令，则，所以平面与平面夹角的余弦值.6．解答下列问题.(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.【答案】(1)；(2)和【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题、直线的点斜式方程及辨析【分析】（1）利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；（2）分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离解出斜率，得到直线方程即可.【详解】（1）由题意得，即解得；（2）显然直线：满足条件.此时，直线的斜率不存在.当直线的斜率存在时，设，即.点到直线的距离为，，即，得，得直线综上所述，直线的方程为和7．已知圆．(1)证明：圆C过定点；(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．【答案】(1)证明见解析(2)面积最小值为，【知识点】向量垂直的坐标表示、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值【分析】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）依题意，将圆的方程化为，令，即，则恒成立，解得，即圆过定点1,0；（2）当时，圆，直线，设，依题意四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积最小，又，即当PC最小时，四边形的面积最小，圆心到直线的距离即为PC的最小值，即，即四边形面积最小值为，此时直线与直线垂直，所以直线的方程为，与直线联立，解得，设以为直径的圆上任意一点：，故圆的方程为，即，又圆，两式作差可得直线方程.

8．已知圆，点，.(1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围；(2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解.（2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解．【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为，由于圆上存在点满足，则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可，所以,解得（2）由题可知，圆，所以圆心，直线，因为为线段上的任意一点，所以设，，，因为为的中点，所以，又因为，都在以点为圆心的圆上，所以，即，所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为，所以对恒成立，因为时，，所以，解得，又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以，所以，9．已知圆的方程：(1)若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)当圆被直线截得的弦长为时，求m的值．【答案】(1)(2)【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数【分析】（1）先将圆改成标准方程，可得到圆心和半径，利用直线与圆C没有公共点列出不等式即可求解；（2）根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.【详解】（1），，曲线表示圆，，即，又因为圆与直线没有公共点，所以圆心到直线即的距离大于半径，即，解得（2）由（1）可知，圆心坐标为，又直线，圆心到直线的距离，直线截得的弦长为，，解得：10．已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．(1)求的方程；(2)记斜率分别为，若，求的值．【答案】(1)；(2).【知识点】斜率公式的应用、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数【分析】（1）根据给定条件，求出即可求得C的方程.（2）设，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及斜率坐标公式及建立方程即可求出值.【详解】（1）依题意，，由双曲线的离心率为，得，即，解得，所以双曲线的方程为.（2）由（1）知，，设点，，由消去得，由已知，，且，所以，所以，，而，由，得，即，整理得，即，则，即，于是，要恒成立，则，解得，满足，所以.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中已经给出等量关系，只需代入化简整理即可.11．设椭圆的离心率为，短轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点.①若直线与轴相交于点，且，求的值；②已知椭圆的上､下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？【答案】(1);(2)①，②不存在.【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量共线比例问题【分析】（1）利用椭圆方程的知识，即可求解；（2）①利用直线与椭圆联立方程组，把转为坐标关系，再结合韦达定理，即可求解；②先假设存在平行关系，再利用斜率关系转化为坐标关系，同样结合韦达定理，求解判断.【详解】（1）由题意，有，，，解得，故椭圆的方程为.（2）根据题意可知直线，与联立，得，其中，设，，.①由，则有，即，有，解得.②由椭圆方程可知上下顶点，假设存在直线平行于直线，有，有，又，有，得，有，代入，得，则有，代入，有，整理，得，有，显然矛盾，故不存在实数，使直线平行于直线.12．已知直线与关于抛物线的准线对称.(1)求的方程；(2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率.【答案】(1)(2)【知识点】由弦长求参数、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程；（2）设，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦公式求解即可；【详解】（1）由题意得的准线方程为.由，得，所以的方程为.（2）易得的斜率存在，的焦点为.设，联立得，得则得，即的斜率为.13．设为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点，点在椭圆上，点(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线与交于两点，的面积为，求的方程.【答案】(1)(2)或【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数【分析】（1）设椭圆的焦距为，由四边形的面积为与，可求，进而将代入椭圆方程可求值，从而得到椭圆的方程；（2）设,与椭圆联立方程组，可得，进而求的值，从而由的面积可得的值，即得到直线的方程.【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，所以四边形为平行四边形，其面积设为S，则，所以，所以，即又点在椭圆，则，整理得，解得，所以椭圆的方程为.（2）易知的斜率不为，设，联立，得，又，所以.所以，由，解得，所以的方程为或.

14．已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；(3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、抛物线定义的理解、抛物线中的参数范围问题【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设，联立方程求出点的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为，则点的横坐标为，则，解得；（2）当时，点的横坐标为，则，设，则的中点为，由题意可得，解得，所以B−2,0，则，由点斜式可得，直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为；（3）如图，

设，则，故直线的方程为，令，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则，解得，又当时，，当且仅当时等号成立，而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为．15．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围.【答案】(1)；(2).【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题【分析】（1）设出椭圆的标准方程，由离心率及最小距离求出即可.（2）按直线是否垂直于坐标轴分类，求出，进而表示出三角形面积，再借助二次函数求出范围即可.【详解】（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为，由椭圆的离心率为，得，则，设，则，椭圆的左焦点，则，当且仅当时取等号，因此，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，由消去得，则，直线，同理，则△OMN的面积，令，，当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，，所以△OMN面积的取值范围是.16．已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.【答案】(1)(2)【知识点】轨迹问题——椭圆、根据弦长求参数【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；（2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.【详解】（1）由题意，，整理化简得，，所以曲线C的标准方程为.（2）由题意，直线的斜率都存在，设，则直线的方程为，分别延长，交曲线于点，设，联立，即，则，根据对称性，可得，则，即，解得，所以直线FM的斜率为.17．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、根据弦长求参数【分析】（1）根据面积及点到焦点的距离最小值得出方程组求出,即可得出椭圆方程；（2）先设直线再联立方程组再应用弦长公式分别求出，再代入计算求参，即可得出直线的方程.【详解】（1）由题意可得解得，则椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知F21,0，设直线的方程为，联立整理得，则，从而，故.联立整理得，则，故.因为，所以，整理得，即，解得.因为，所以，所以，则直线的方程为.18．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．(1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)点为的上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若，求．【答案】(1)(2)【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）设直线的斜率为，Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由，求出，再由可得【详解】（1）设椭圆C与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，即，即，解得，所以椭圆C：，则椭圆C伴随双曲线的方程为．（2）

由（1）可知，，设直线l的斜率为k，，，则直线l的方程，与双曲线联立并消去y，得，则，所以，，则，又，又，解得或（舍去），又，所以，因为，所以．19．已知和为椭圆：上两点.(1)求椭圆的离心率；(2)过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；（2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.【详解】（1）由可知，求出，代入，得，，则，，可知椭圆的离心率为.（2）（i）由（1）可知椭圆的方程为，设，，过点的直线为，与联立得：.恒成立.所以，得，所以，直线的方程为：.（ii）由（i）可知，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得，记以为直径的圆与轴交于，两点，由圆的弦长公式可知，所以，为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.20．已知椭圆过点，其长轴长为4，下顶点为，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)当点横坐标的乘积为时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)(2)直线过定点，坐标为.【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题【分析】（1）先求出，再代入点解出，进而得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，直曲联立解出，再由，解出值即可.【详解】（1）由椭圆长轴长为，可知，将代入椭圆方程：，所以椭圆的方程为：.（2）设直线的方程为，，由则直线的方程为，令，得，同理可得，所以，所以，把直线代入椭圆方程中，得出，所以，代入，化简得，所以直线过定点0,2.【点睛】关键点点睛：由题意得出再代入化简是本题的关键点.21．已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.(1)求抛物线的方程；(2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的定直线、直线与抛物线交点相关问题【分析】（1）根据，结合的坐标即可求解；（2）设的方程为，，联立直线和抛物线方程，将题干斜率条件用坐标表达，结合韦达定理求解；（3）表示出直线AP与BQ的方程，得到交点坐标，结合（2）中的韦达定理求解.【详解】（1）由题意得，直线方程为：，令，则，故，于是，解得（负值舍去），故抛物线方程为.（2）设的方程为，，，由题意得，，即，可得，通分可得，联立和抛物线，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，满足题意.

（3）由题意，，则直线，直线，两直线方程相减得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直线AP与BQ的交点在一条定直线上

【点睛】关键点睛：解析几何大多数定值问题，会采取设而不求，联立方程后，结合韦达定理整体代入求解，从而简化运算.22．在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；(2)求四边形面积的最大值．【答案】(1)证明见解析，(2)【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得；（2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值.【详解】（1）由题意知，，椭圆：如图，设，当时，直线的方程为：，代入，得，则，从而，点又直线的方程为：，代入，得则，从而，点由对称性知，定点在轴上，设为由，即，化简得，因故得，解得.即直线过定点，而当时，直线也过定点．综上，直线恒过定点．（2）由图可知四边形的面积为，令，当且仅当时等号成立，因在上单调递增，而，故当时，四边形面积有最大值．【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大.求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可.23．已知数列的首项，且满足，设.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最小正整数．【答案】(1)证明见解析(2)2024【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、由指数函数的单调性解不等式【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.【详解】（1）证明：由，得，所以，又，所以数列为首项为，公比为等比数列.（2）由（1）知，数列为首项为，公比为等比数列，且，所以，即，所以，而因为在上均单调递增，则随着的增大而增大，要使，即，则，即的最小值为2024.24．已知等差数列的前项和为，若，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，；(2)【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和；（2），利用错位相减法求和得到答案.【详解】（1）设公差为，则，，解得，故；；（2），故①，则②，式子①-②得，所以.25．已知数列满足，点在直线上.(1)设，证明为等比数列：(2)求数列的前项和；(3)设的前项和为，证明：.【答案】(1)证明见解析；(2)，；(3)证明见解析.【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、由不等式的性质证明不等式【分析】（1）由题可得，即可完成证明；（2）由（1）可得数列通项公式，后由分组求和法可得答案；（3）可证得，即可完成证明.【详解】（1）证明：因点在直线，则.则，即，又，所以是以为首项，公比为的等比数列；（2）由（1），.则；（3）证明：由（2），.则当时，；当（）时，注意到，则则.综上，当时，.26．等差数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；（2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解.【详解】（1）设数列的公差为，∵，∴，∵，∴

，∴公差为，∴，∴；（2）由已知，时，；时，；综上.27．已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，.(1)求m的值及的通项公式；(2)令，，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和【分析】（1）根据等差中项可得，进而根据等比数列的性质可得，即可根据通项特征求解，（2）利用放缩法，结合裂项求和即可求证.【详解】（1）设的公差为，，，成等差数列，，即，考虑到，化简得，即，成等比数列，，即，即，解得.，，解得.，，解得，..（2）由（1）可知，显然满足当时，所以28．已知函数.(1)若曲线在点处的切线为，求实数的值；(2)已知函数，且对于任意，，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）利用导数的几何意义可得，可求，进而求得切点，利用切点在直线上，可求的值；（2）由题意可得，令，则，求导，可得，分类讨论可求得实数的取值范围.【详解】（1）由，可得，，又曲线y=fx在点1,f1处的切线为，所以，解得，所以，所以，所以切点为，又切点在直线上，所以，解得；（2），由对于任意x∈0,+∞，gx>0令，则，求导可得，当时，，显然不满足题意，当时，，若，，函数在上单调递减，若，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，解得，当时，，若，，函数在上单调递减，若，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，解得，综上所述：实数的取值范围为.29．已知函数，其中.(1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值；(2)求证：存在常数使得,并求出的值；(3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析，(3)【知识点】函数与方程的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点【分析】（1）依题意f′x≥0在上恒成立,只需（2）由代入并化简可得,对照系数即可求解；（3）构造函数,则由,得,观察得到，由此判断,,∴必在上存在唯一零点,利用导数研究的单调性,进而可以研究函数的零点.【详解】（1）的定义域为,依题意可知当时,恒成立，即,因为,当且仅当,即时等号成立,故,解得,即的最小值为．（2），∵，∴，解得．所以存在常数使得，此时．（3）构造函数，则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点．∵,∴．令,得,于是为的一个零点．若存在零点,且,由可知必存在相应的零点，且．∴必在上存在唯一零点．若恒成立,即成立,解得，此时在上单调递增，无零点；若,则,令,则,∴在上单调递增,故在上存在零点,当时,,单调递减,当x∈x0,+∞时,,单调递增．∵,即，解得，∴，即．综上所述，的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由发现，进而判断必在上存在唯一零点，然后利用导数研究的单调性，进而可研究其零点.30．函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数.(1)若，求的值和函数的单调区间；(2)若，讨论的零点个数.【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为和.(2)当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点.【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点【分析】（1）先得，，根据得，进而利用导函数求单调区间；（2）先由得，进而得函数的极小值为，极大值为，进而根据极小值与零比较可判断零点个数.【详解】（1）由题可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.（2）由（1）可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为和，所以的极小值为，的极大值为.当时，，当时，，故当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点.31．已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论的单调区间；(2)当时，不等式在区间上恒成立时，求的取值范围.【答案】(1)当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.(2)实数的取值范围是.【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）由题得，分，，讨论单调性求解即可；（2）参数分离得在上恒成立，令，讨论的单调性，求得的最大值即可求得的取值范围.【详解】（1）易知函数的定义域为.所以，当时，由，得，由，得.所以的单调增区间为，单调减区间为；当时，由，得，由，得.所以的单调增区间为，单调减区间为；综上所述：当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）将代入，得，因为不等式在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知函数的定义域为.所以.当时，，故；当时，，故；所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，在上取得最大值.所以，所以实数的取值范围是.32．已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；(3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根【分析】（1）由题可得，判断导函数符号，可得函数的单调性，即可得函数的最小值；（2），由单调性结合零点存在性定理可得零点范围，即可得T的范围，即可得答案；（3）令，求导得，然后分，两种情况讨论可得答案；【详解】（1），

，，单调递减，，，单调递增，；（2）方程可化简为方程的根就是函数的零点，注意到，则在，上单调递增.

因为，，所以函数在有唯一零点，且.因为，，所以函数在有唯一零点，且则，因此，．（3）设，则当时恒成立，①由（1）得，当时，，，单调递减，，，单调递增，.∴②当时，，这与矛盾，综上，．【点睛】关键点睛：对于零点范围问题，常利用零点存在性定理确定具体范围；对于函数不等式恒成立问题，可利用分离参数解决，也可直接分类讨论处理.33．已知函数．(1)证明：为奇函数；(2)求的导函数的最小值；(3)若恰有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【知识点】函数奇偶性的定义与判断、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、基本（均值）不等式的应用【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性即可；（2）由题设可得，应用基本不等式求其最小值；（3）问题化为与在和上各有一个交点，利用导数研究的性质，数形结合确定参数范围.【详解】（1）由题设，令，所以，又定义域为R，所以为奇函数，得证.（2）由题设，当且仅当，即时取等号，所以的导函数的最小值为.（3）令，用代换，则，对于，有，易知为奇函数，又恰有三个零点，即恰有三个零点，显然，只需保证在和上各有一个零点即可，令，则，即与在和上各有一个交点，由，且，即为奇函数，令，则，显然上，上，综上，在R上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示，又与都过原点，且原点处的切线斜率为，结合图象知：当时，与在和上各有一个交点，所以.【点睛】难点点睛：导数类综合应用问题，综合性较强，计算量大，解答的难点在于第三问的零点问题，解答时将零点问题转化为函数图象的焦点问题，数形结合进行解决.34．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.(1)证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.(2)对任意x，，函数，都满足.①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.②若，证明：当时，.参考数据：，.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、函数新定义【分析】（1）根据，即可解方程求解，（2）①根据，取，可得，即可对求导，根据导函数的正负确定函数单调性，结合极值定义求证，②利用放缩法，先证明故，构造，求导，确定函数的最值即可求解.【详解】（1）由可得，由可得，解得，所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，（2）由可得对任意x，，恒成立，所以存在常数，使得,令，则，且，解得，①，则，由于是“缺陷偶函数”，故，即，即，则，得，，由于，所以有两个不相等的实数根，不妨设，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有两个极值点.②若，即，则，故，当时，要证，只需要证.，因为，故，只需证，令，当单调递减，当单调递增，故，所以，从而，故，时，得证.【点睛】法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．35．设是定义域为的函数，当时，.(1)已知在区间上严格减，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格减函数；(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用导数证明不等式、根据极值点求参数【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；（3）利用题目条件，代入，分和两种情况进行讨论即可证明.【详解】（1）不妨设，在区间上严格减，对任意，有，又，函数在区间上是严格减函数；（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，当在区间上严格减时，在区间上是严格减，又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，因为.是函数的极值点，所以是的根，所以，当时，.令h′x>0，解得或所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在1,+∞上单调递增，满足条件，所以.（3）当时，由条件知，当时，对任意，有，即，又的值域是，，当时，对任意，有，，又的值域是，，综上可知，任意，.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．36．若函数在区间上有定义，在区间上的值域为，且，则称是的一个“值域封闭区间”.(1)已知函数，区间且是的一个“值域封闭区间”，求的取值范围；(2)已知函数，设集合.（i）求集合中元素的个数；（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素.证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”.【答案】(1)(2)（i）2；（ii）证明见解析【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用导数研究函数的零点【分析】（1）求导，确定在上单调递增，求得值域，再由集合间的关系构造不等式求解即可.（2）（i）构造，求导，确定其单调性，再结合零点存在性定理即可求解；（ii）由（i）得，再通过讨论，和即可求证.【详解】（1）由题意，，当时，恒成立，所以在上单调递增，的值域为，所以，即可得，解得，则的取值范围为.（2）（i）记函数，则，由h′x>0得或；由h′x所以函数hx在和上单调递增，在上单调递减.其中，因此当时，hx<0，不存在零点；由hx在单调递减，易知，而，由零点存在定理可知存在唯一的使得；当x∈1,+∞时，综上所述，函数hx有0和两个零点，即集合中元素的个数为2.（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“值域封闭区间”，则对，当时，由（i）得hx在单调递增，，即，不满足要求；当时，由（i）得hx在）单调递增，，即，也不满足要求；当时，闭区间，而显然在单调递增，由（i）可得，，满足要求.综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“值域封闭区间”.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．37．对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”．(1)已知数列是“优美数列”，求实数的取值范围；(2)若首项为1的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围；(3)已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)时数列是“优美数列”，理由见解析.【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、数列新定义、数列不等式恒成立问题【分析】（1）根据数列新定义列不等式组，求参数范围；（2）根据定义有，结合不等式恒成立求公差的上界，即可得范围；（3）根据题意有最小项为，最小项为，进而有，根据讨论，并由数列新定义判断是否存在数列为“优美数列”即可.【详解】（1）由题意，则，可得；（2）由题意，令的公差为，且，则，可得，显然时不等式恒成立，当时，恒成立，而，故，综上，.（3）存在，数列是“优美数列”，理由如下：令的公比为，则，故，显然，所以最小项为，同理对于最小项为，综上，，故或，所以或或或，当，则，此时，显然，不是“优美数列”；当，则，此时，显然，不是“优美数列”；当，则，此时，显然，不是“优美数列”；当，则，此时，令，所以，故单调递增，且，此时满足“优美数列”；综上，时是“优美数列”.【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设得到，结合讨论为关键.38．已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换）(1)若，，，求，，，；(2)对于正边形，若，，证明：；(3)设，，，证明：存在，使得不全为整数.【答案】(1)，，，.(2