基于经验细化速度概念进阶表征的路径

摘要：解决“速度”理解之难问题，需要实现进阶表征。第一步：问径，找准问题。第二步：破径，探索归因。第三步：寻径，提出策略。可从四个方面进行进阶训练：基于学习起点做实“经验表征”路径；基于方法联系做实“算法表征”路径；基于运算意义做实“图示表征”路径；基于冲突暴露做实“符号表征”路径。细化进阶表征的路径，一步步从“经验表征”过渡到“符号表征”，能够帮助学生更好地理解速度概念。关键词：经验表征；算法表征；图示表征；符号表征；小学数学；速度概念小学阶段，关于速度及其相关数量关系的厘清及问题解决，一直是学生学习数学中的重难点。相当一部分学生存在着概念混淆、数量关系建立紊乱、认为平均速度等于速度的平均等问题。事实上，“速度除其本身的知识属性外，也是学生理解运动、对时空关系建立初步理性认识的开端。[1]”如何厘清路程、时间、速度三者的关系，从学生的学习起点和认知难点出发，解决“速度”理解之难问题，意义是多方面的——对于后续的函数学习，学生比例思维的发展，初高中加速度、速率的学习等均有奠基作用。小学生理解速度并非一蹴而就，而是一步一个脚印，实现进阶表征。一、问径：剖析后测，反思教学《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）明确指出：“在具体情境中，认识常见数量关系：路程=速度×时间；能利用这一数量关系解决简单的实际问题。”可见，引领学生在具体情境中厘清数量关系不可或缺。可以从具体情境题出发进行后测，为进阶表征提供依据和奠定基础。以下是针对43个学生的后测情境题型及结果。一辆高铁2小时行驶了640千米。（1）照此速度计算，3小时该高铁能行驶多少千米？（2）知道了时间与路程，为什么就能计算出这辆高铁的“速度”呢？收集全部学生的作业进行分析，发现学生对速度概念理解有偏差，结果如下：（一）混淆了“速度”与“路程”第1小题的正确率仅为52.6%，其中典型错误如下：640÷2=320（千米）。显然，这些学生把高铁的速度当成了路程或路程的一部分，造成两者之间的模糊与混淆。事实上，学生应该“从概念的联系出发，感知速度的字面含义”[2]。所谓“联系”就是应该联系时间与路程，把“速度”理解为一个复合单位，理解为一个比率关系，而非理解为一个单一的量。（二）断裂了“算法”与“算理”第2小题的正确率仅为47.8%。悉心分析典型错误，发现学生断裂了“算法”与“算理”，未能发现两者之间的有效关联。相当一部分学生这样说：“因为640千米是路程，2小时是时间，用除法就能计算出速度。”这就是典型的“知其然而不知其所以然”，即知道算法却不知道算理。显然，“路程÷时间”不仅仅是二求一，而是路程被单位时间成比例分割的关系。学生如果不理解这一点，哪怕牢记公式，熟稔算法，也是会用错的。二、破径：追本溯源，探索归因问卷调查是“问径”，之后的“破径”不可或缺，为有效解决问题奠基。（一）审思题型，分析缺失人教版四年级上册“三位数乘两位数”中引入速度方面的题型，其目的是为了更好地解决行程问题，当然也是为了更好地巩固“三位数乘两位数”的算法。无疑，速度是衡量变化快慢的尺度，反映时间与空间的关系。路程与时间共同表征物体运动的有序关系。既然如此，题型的选择就要指向数量关系，指向算理，而非一个单独的数量。上述题型的设计是有缺失的，没有展开速度概念的发生过程——只有算法教学，而没有算理及比例关系的指向。好的、有意义的题型不是割裂，而是联结，尤其应该联结多个因素之间的实际意义，如此，才能更好地理解核心概念。（二）剖析学情，寻找联系除了分析教材或教师设计的题型之外，还要分析学生的学习起点与学习实情。学习“速度、时间与路程”之前，很有必要了解学生已有的经验，为速度概念的建构奠定基础。毕竟，生活中学生已经对“速度、时间与路程”有一些模糊的感知，而这，也是不可或缺的有效资源。我们选择四年级的45名学生，围绕“速度、时间与路程”进行课前调查，设置如下两个问题：①什么是“路程”？什么又是“速度”？你能通过具体例子来阐明你的观点吗？②吴强和刘静跑步，前者跑了5分钟，后者跑了6分钟，谁跑得快？为什么？统计结果表明，第一题中关于“路程”的理解，正确人数是41，模糊人数是3人，错误人数是1人，正确率为91.1%，说明学生对“路程”的理解较好。相比而言，学生对“速度”的理解就不尽如人意，正确人数只有9人，模糊人数是26人，错误人数是10人，正确率只有20%。第二题中，选择吴强跑得较快的学生多达77.8%，而正确人数只有10人，正确率只有22.2%。这说明77.8%的学生忽视了速度与路程的关系。四年级的学生在上学放学路上常常通过跑步、骑车比快慢，其中的一些经验不应小觑。尽管这些经验是粗浅而零散的，但打通数学知识与现实生活之间的通道而寻找联系是很有必要的。比如，“你选择吴强跑得快，但是究竟跑了多长？你注意‘距离’这个因素了吗？”一个问题就能唤醒学生已有的经验。由此，教师可从生活实际经验出发，帮助学生纠正自己的错误认识，正确建构核心概念的认知体系。三、寻径：表征可视，建构概念基于学生的已有经验、学习起点与基本实情，我们重新设计速度概念进阶表征的路径，帮助学生厘清速度与路程的不同，整体上勾连相关因子，并且着重经历算法化的过程，有效解决相关问题。（一）基于学习起点做实“经验表征”路径由上观之，学生经常性“比快慢”，可见，速度与“快慢”有关系。既然如此，不妨由此出发，通过情境题型的设计帮助学生理解速度。教师出示情境题型：小熊用4分钟走了360米，小狗用2分钟走了120米，小牛用2分钟走了160米。教师追问：“三个小动物，有相同的地方，有不同的地方。请观察相同之处，回答哪两个小动物不用计算就能比出谁快；再观察不同之处，如果时间与路程都不相同时，思考谁快谁慢。最后思考：速度究竟与什么有关。”学生的观察结果不外乎两种情况：时间相同，路程不同；路程相同，时间不同。“比快慢”，就要看两个因素：一是相同时间内谁走得远，二是相同路程内，谁用的时间更少。学生通过讨论，再加上教师的及时提醒与点拨，很快总结出如下结论：小狗与小牛的时间相同，不必计算就知道小牛的速度快，因为它在相同时间内走得更远。以上都是通过勾连生活经验，找到了“经验表征”的路径，让学生在已有的“比快慢”与抽象的“速度”之间建立契合点，帮助理解速度这一核心概念。（二）基于方法联系做实”算法表征”路径小狗与小牛之间不必计算就能比出快慢。但是要比较小熊与小狗、小熊与小牛之间谁快，就比较复杂，就需要计算。按照以上“比快慢”的逻辑，至少应该把“时间相同”这个条件考虑进去，但是小熊与小牛的时间偏偏不一样，如何比较呢？于是，学生产生认知冲突，并且引发探究心理：如何把“无法比较”变成“可以比较”“能够比较”，这就需要从“经验表征”过渡到“算法表征”：小熊、小狗与小牛每分钟究竟走多少米？由此，学生真正触及到“速度”这一核心概念。再次出示小熊与小牛的情境图，教师充分放权，先让学生自主探索，力争站在审视方法的角度呈现出多样化算法。方法1：递减法。小熊用4分钟走了360米，那么，2分钟走的路程肯定是360米的一半，即180米。与小牛2分钟内走的160米相比，明显小熊要快。方法2：递增法。小牛2分钟内走160米，那么，4分钟内的路程肯定就要翻倍，即320米。与小熊4分钟内走360米相比，明显小熊要快。方法3：用除法。360÷4=90，160÷2=80。显然，每分钟内小熊走的路程长。在此基础上，教师组织学生分析上述三种方法的异同，并就“哪种方法好？理由是什么”展开讨论。学生发现可以将无法比较的“量”转化为可以比较的“量”，其关键在于把时间长度统一起来。比如，都是4分钟，或者都是2分钟，或者都是1分钟。这样的相同的时间内，无疑比较1分钟或者“每分钟”内走的路程，是最一般化的方法，能从“比快慢”中容易得出正确方法的路径。而这，也是速度概念中最重要的地方。由此，由“经验表征”到“算法表征”，学生经历了思维爬坡，经历了进阶过程，自然而然地加深了对核心概念的理解（三）基于运算意义做实“图示表征”路径对于小学生而言，不容易理解“路程被单位时间成比例分割”这样的运算意义。由“4分钟之内走了多少路程”到“每分钟内走了多少路程”，学生会计算，但未必理解其运算意义。怎么办？通过“图示表征”不失为一条有效的路径。毕竟，小学生形象思维发达，容易通过图上的“所见”去理解代数意义中的“所不见”。以算式“360÷4=90（米）”为例，学生知道“求1分钟走的路程要用除法”，但是不知道为什么用除法，也就是不理解运算意义。此时，教师可通过“图示表征”的方法帮助学生理解。借助图示，学生从每一阶段的划分中理解到4分钟里有4个1分钟，“360米”也要平均分成4份。”这里的“分”是对应的，“360÷4=90（米）”，不仅仅意味着路程上的四等分，也意味着时间与路程在一定单位内的划分（见图1）。速度关联到两个量，一个时间，一个路程。画一条时间轴与路程轴，通过“双线段”的形式，学生容易理解“速度是路程被单位时间成比例分割”（见图2）。从图中可以明显看出“双线段”具有相同的长度，并且上下一一对应，更加直观地“细化出单位时间内的路程长度”这一特点。在此基础上，教师用动态方式将“双线段”合成一条线段，趁机让学生找一找合成后线段中的三个因子的位置，进一步理解“速度是路程被单位时间成比例分割”的概念。这样的“图示表征”形象、生动、直观，帮助学生加深了对速度概念的理解。（四）基于冲突暴露做实“符号表征”路径上文提到的学生混淆了速度与路程的表现之一就是速度单位与路程单位是一致的。上面三个步骤的学习之后，教师进一步制造认知冲突，促使学生理解：既然速度单位不能与路程单位混淆，那么，与时间单位能混淆吗？由此，促使学生理解到速度单位是路程与时间单位的结合体。当然，教师不是直接告诉学生这一结论，而是通过情境活动的呈现，经历讨论、归纳与总结的过程，一步步理解速度单位发生、发展和形成的过程，让学生知其然，还要知其所以然。教师通过大屏幕出示“两牛吹牛”情境图（见图3），并趁机追问：1.你能计算出甲牛与乙牛的速度吗？可以列式计算并将结果呈现出来（结果均为“5”，但单位不一样）。2.组织学生观察结果、对比结果并发现问题：“结果都是5，有什么不一样？”3.学生归纳：每小时与每秒肯定是不一样，千米与米也不一样。由此引出复合单位。4.组织学生一步步归纳出建构速度计算的一般模型。根据学生己有的经验和知识储备来看，肯定知道两个5表示的意义是不同的，哪怕是基础较弱，也能理解小时与秒的区别。教师可以顺势引导学生：究竟在哪一个因素上来区别两者的不同？经过讨论，学生渐