高考数学一轮复习第十章第三节随机事件与概率课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第三节随机事件与概率·考试要求·1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．2．了解概率的意义及频率与概率的区别．3．了解两个互斥事件的概率加法公式．必备知识落实“四基”

自查自测知识点一随机事件1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)随机事件和随机试验是一回事．(

)(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(

)(3)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(

)(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(

)√×√×2．(多选题)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数大于2”，D3＝“点数大于4”．则下列结论正确的是(

)A．C1与C2互斥 B．C2，C3为对立事件C．D2∪D3＝D2 D．D2∩D1＝D3AC3.(教材改编题)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为________.8

解析：因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}，故共有8个样本点．

核心回扣1．样本点与样本空间(1)样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，一般地，用ω表示样本点．(2)样本空间：全体________的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间．(3)有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝____________________为有限样本空间．样本点{ω1，ω2，…，ωn}2．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系事件A发生，事件B一定发生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)________(或________)相等关系B⊇A且A⊇B事件A与事件B相等A＝B并事件(或和事件)事件A与事件B______有一个发生事件A与事件B的并事件(或和事件)________(或________)B⊇AA⊆B至少A∪BA＋B名称条件结论符号表示交事件(或积事件)事件A与事件B______发生事件A与事件B的交事件(或积事件)________(或______)互斥事件事件A与事件B_________发生事件A与事件B互斥(或互不相容)____________对立事件事件A与事件B______________发生事件A与事件B互为对立___________，______________同时A∩BAB不能同时A∩B＝∅有且仅有A∪B＝Ω且A∩B＝∅一个

自查自测知识点二概率1.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

则样本数据落在区间[10，40)的频率为______．分组[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)频数2345420.452.(教材改编题)已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.3.(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)＝____，P(AB)＝____；(2)如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝____，P(AB)＝____.(1)0.4

0.3

(2)0.7

0

解析：(1)如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.3.(2)如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.3＝0.7，P(AB)＝0.

核心回扣1.频率与概率频率的稳定性一般地，随着试验次数n的______，频率偏离概率的幅度会______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐______于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)注意点：随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．增大缩小稳定2.概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)____0.性质2：必然事件的概率为___，不可能事件的概率为___，即P(Ω)＝___，P(∅)＝___．性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝________________．性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝___________，P(A)＝___________．性质5：如果A⊆B，那么P(A)____P(B)．由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝_________________

___________．≥1010P(A)＋P(B)1－P(A)1－P(B)≤P(A)＋P(B)－P(A∩B)

应用1

(多选题)一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中为互斥事件的是(

)A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．“至少有1件次品”和“都是次品”C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D．“至少有1件次品”和“都是正品”√√AD

解析：对于A，“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；对于B，“至少有1件次品”的事件中包含了“都是次品”的事件，不是互斥事件；对于C事件，“至少有1件正品”包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件正品”，事件“至少有1件次品”包含事件“有1件正品和1件次品”和事件“有2件次品”，可知两者不是互斥事件；对于D，由C分析知“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件．故选AD．

√核心考点提升“四能”

随机事件的关系与运算1．5个人站成一排，其中为互斥事件的是(

)A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”A

解析：根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；BCD中的两个事件能同时发生，故不是互斥事件．故选A．√2．(2024·济南模拟)食用植物油有两种制取工艺：压榨法和浸出法．压榨法由于不涉及添加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油率低．浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的利用．我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工艺分别适用于不同的油料，常见的压榨油有芝麻油、花生油等，常见的浸出油有油菜籽油、大豆油等．现有4个完全相同的不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从中任取1桶，则下列两个事件互为对立事件的是(

)A．“取出芝麻油”和“取出花生油” B．“取出浸出油”和“取出大豆油”C．“取出油菜籽油”和“取出大豆油” D．“取出压榨油”和“取出浸出油”√D

解析：对于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”是互斥事件，但不是对立事件；对于B，“取出浸出油”和“取出大豆油”在一次试验中可能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件；对于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”是互斥事件，但不是对立事件；对于D，“取出压榨油”和“取出浸出油”在一次试验中不可能同时发生，但至少有一个发生，所以是对立事件．故选D．3．(多选题)从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：A＝“至少有一个女生”，B＝“至少有一个男生”，C＝“恰有一个男生”，D＝“两个都是女生”，E＝“恰有一个女生”．下列结论正确的有(

)A．C＝EB．A＝BC．D∩E≠∅D．B∩D＝∅，B∪D＝Ω√√AD

解析：对于A，事件C，E均表示“选出的两个人是1个男生和1个女生”，所以C＝E，A正确；对于B，事件A＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个女生”，事件B＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，则A≠B，B错误；对于C，事件D，E包含的样本点都不相同，则D∩E＝∅，C错误；对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则B∩D＝∅，事件B＝“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，事件D＝“选出的两个人是2个女生”，则B∪D包含了样本空间中所有的样本点，所以B∪D＝Ω，D正确．故选AD．

1．事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析，也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．2．判断互斥事件、对立事件的两种方法

随机事件的频率与概率【例1】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如表所示．所用时间/分10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164

所用时间/分10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的频率0.10.20.30.20.2选择L2的频率00.10.40.40.1(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：设A1，A2分别表示事件“甲选择路径L1和路径L2时，在40分钟内赶到火车站”；B1，B2分别表示事件“乙选择路径L1和路径L2时，在50分钟内赶到火车站”．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择路径L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择路径L2.

1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．

为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如表所示．批次1234每批粒数510130700发芽粒数49116637

批次5678每批粒数1500200030005000发芽粒数1370178627094490

√(2)如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________.0.16

解析：设P(A)＝x，则P(B)＝3x.又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64，所以x＝0.16，即P(A)＝0.16.直接法求互斥事件的和事件的概率考向2

“至多”“至少”型问题的概率【例3】经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：

求：(1)至多2人排队等候的概率；解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.排队人数012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04(2)至少3人排队等候的概率．解：(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

间接法求复杂事件发生的概率若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．

1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

)A．62% B．56%C．46% D．42%√C

解析：记