高一数学上学期期末数学试卷（新题型：19题）（巩固篇）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（巩固篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（23-24高一上·天津·期末）已知全集U=0,2,4,6,8,10，集合A=0,2,4，B=0,6,8，则∁A．0 B．6,8 C．0,6,8 D．2,4,6,8【解题思路】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可.【解答过程】因为U=0,2,4,6,8,10，所以∁UA=所以∁U故选：B.2．（5分）（23-24高一上·安徽淮南·期末）若实数a，b满足1a>1>b>0，则下列结论正确的是（A．ab>1 B．a2+b2>2 【解题思路】利用不等式性质判断AD，举反例判断BC.【解答过程】因为实数a，b满足1a>1>b>0，所以0<a<1，所以当a=12,b=12时，满足1故选项B错误；当a=12,b=12时，满足1故选项C错误；a+1a=1+1故选：D.3．（5分）（23-24高一上·全国·期末）已知f(x)=(3−a)x−a,x<1logax,x≥1是A．[32,3)C．(1,3) D．(1,+【解题思路】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合对数函数单调性列式求解即得.【解答过程】函数f(x)=(3−a)x−a,x<1loga则3−a>0a>13−2a≤0，解得所以a的取值范围是[3故选：A.4．（5分）（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）设函数fx=xA．fx+1+2 C．fx−1−2 【解题思路】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【解答过程】因为fx对于A选项，fx+1令f1x=f1−x=对于B选项，f=x令f2x=x3所以，函数fx−1对于C选项，f=x令f3x=x3所以，函数fx−1对于D选项，fx+1令f4x=x3所以，函数fx+1故选：A.5．（5分）（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y4≥a2A．a|−1<a<4 B．a|−1≤a≤4C．a|−4≤a≤1 D．a|−4<a<1【解题思路】依题意可得4y+1x=1【解答过程】因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，即xy=4x+y，所以4y所以x+y当且仅当4xy=y4x，即因为正实数x、y满足(x−1)(y−4)=4，且x+y所以a2−3a≤4，解得−1≤a≤4，即实数a的取值范围是故选：B．6．（5分）（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数fx=5sinx−π6，若存在α,β，满足0<α<β<2πA．2325 B．−35 C．3【解题思路】由已知条件，结合三角函数的性质可得0<α−π6<π2【解答过程】令fx=5sinx−π6=0令fx=5sinx−π又0<α<β<2π，f所以π6<α<2因为0<α−π所以cosα−π6cos=−2故选：D.7．（5分）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知fx是定义在R上的奇函数，若对于任意的x1,x2∈(−∞,0]，当A．(0,1) B．(1,+∞) C．(−∞【解题思路】根据题意分析出fx的单调性，且得到x>0时，fx>0，x<0【解答过程】对于任意的x1,x2∈(−所以fx在x∈(−∞,0]严格增，又f所以fx在R上严格增，且f(0)=0，所以x>0时，fx>0，x<0(x−1)f(x)>0⇔x−1>0f(x)>0或x−1<0f(x)<0，即x>1所以x∈(−∞故选：D.8．（5分）（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数f(x)=2sinωx+π6ω∈N∗有一条对称轴为x=2π3，当ω取最小值时，关于xA．(−2,−1) B．[−1,1)C．[−1,2) D．[1,2)【解题思路】根据已知条件函数的一条对称轴为x=2π3，求得ω的值，解得f(x)=2sin2x+π6，利用换元法令【解答过程】由正弦函数f(x)=2sin2π3ω+π6所以ω的最小值为2，即f(x)=2sinx∈−π6,π则有ft=2sin由于x的方程f(x)=a在区间−π根据ft的图像有实数a的取值范围是[1,2)故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（23-24高一上·福建福州·期中）下列说法中正确的有（

）A．命题p:∃x0∈R,xB．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件C．若命题“∀x∈(2,3),3x−a<0”是真命题，则a的取值范围为a≥9D．“m<0”是“关于x的方程x2【解题思路】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可.【解答过程】对于A，命题p:∃x0∈R,x0对于B，x>y不能推出x>y，例如−2>x>y也不能推出x>y，例如2>−3，而所以“x>y”是“对于C，∀x∈(2,3),3x−a<0，即a>3x，即a≥9，故a的取值范围为a≥9，故C正确；对于D，关于x的方程x2−2x+m=0有一正一负根所以“m<0”是“关于x的方程x2故选：ACD.10．（6分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若m,n均为正数，且满足m+2n=2，则（

）A．mn的最大值为12 B．1mC．2m+4n的最小值为4 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可.【解答过程】正数m,n满足m+2n=2，对于A，由2=m+2n≥22mn，得mn≤12对于B，1m当且仅当2nm=m对于C，2m+4n≥2对于D，2m当且仅当2nm=m故选：ACD.11．（6分）（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数fx对任意实数x、y都满足fx+fy=2fA．f12=0 C．fx+1是奇函数 D．【解题思路】令x=y=1可求得f0的值，令x=1，y=0可求得f12的值，可判断A选项；推导出fx为偶函数，且fx+2【解答过程】对于A选项，令x=y=1可得2f1因为f1=−1，则令x=1，y=0，可得2f12对于B选项，令y=x可得fx所以，f−x=fx令y=x+1可得fx即fx+1=−fx因为函数fx为偶函数，则函数f对于C选项，因为fx+1因为函数fx为偶函数，则函数f对于D选项，由B选项可知，函数fx是周期为2因为f1=−1，所以，f1故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（23-24高一上·江苏无锡·期末）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒5【解题思路】可设喷洒x次，根据题意可得出x>31−lg2，代入【解答过程】设喷洒x次，则：(1−0.8)x∴xlg∴x>31−lg∴3∴x≥5，即至少喷洒5次．故答案为：513．（5分）（23-24高一上·江西·期末）若存在正实数x,y满足4y+1x=1，且使不等式x+y4【解题思路】利用基本不等式“1”的妙用求得x+y4的最小值，再利用能成立问题得到关于【解答过程】因为正实数x,y满足4y所以x+y当且仅当4xy=y若不等式x+y4<m2−3m有解，则则实数m的取值范围是−∞故答案为：−∞14．（5分）（23-24高一上·吉林长春·期末）已知x1，x2是函数f(x)=2sinωx−π①函数fx周期是π②函数fx的图象关于直线x=−③函数fx的图象关于点(④函数fx的图象可由y=2sin2x其中正确命题的序号是①②.【解题思路】首先根据周期求得ω，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案.【解答过程】根据题意，x1−x2的最小值是所以fx=2sin2x−π由上可知，f(−π所以函数f(x)的图象关于直线x=−πf(π所以(π,0)不是fx所以函数fx的图象可由y=2sin2x故答案为：①②.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知a∈R，集合A=xa−1≤x≤2a+1(1)若a=2，求∁R(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）由已知求得集合A，∁R（2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论A=∅，A≠∅两种情况，求解即可.【解答过程】（1）当a=2时，集合A=x1≤x≤5，可得∁R所以∁R（2）由题知，集合A是集合B的真子集，当A=∅时，a−1>2a+1，即a<−2，符合题意，当A≠∅时，则2a+1≥a−1，即a≥−2，且满足2a+1≤3a−1≥−3，两式不能同时取等号，解得−2≤a≤1综上，实数a的取值范围为−∞16．（15分）（23-24高一上·广东汕头·期末）已知关于x的不等式bx²−5x+4>0的解集为{x|x<1或x>a}(a>1).(1)求a，b的值;(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a是方程bx2−5x+4=0（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得(x+y)min=9，从而解一元二次不等式【解答过程】（1）因为不等式bx2−5x+4>0的解集为{x|x<1或x>a}所以1和a是方程bx2−5x+4=0所以a+1=5ba⋅1=（2）由（1）知4x+1y=1所以x+y=(x+y)4当且仅当4yx=x依题意有(x+y)min>k所以k2−2k−8<0，解得所以k的取值范围为(−2,4).17．（15分）（23-24高一上·浙江·期末）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x（单位：千只）手表，需另投入可变成本Rx万元，且Rx=(1)求2024年的利润Wx（单位：万元）关于年产量x(2)2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【解题思路】（1）依题意可得Wx=200x−Rx−100，再分0<x<50、（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可．【解答过程】（1）依题意Wx当0<x<50时，Wx当x≥50时，Wx故W(x)=−2（2）若0<x<50，W(x)=−2x当x=30时，W(x)若x≥50，W(x)=−x+当且仅当x=6400x，即所以当x=80时，W(x)max=4940故2024年的年产量为80千只时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．18．（17分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知f(x)=2sinxsin(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向下平移12个单位长度，得到g(x)的图象.若关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，再结合正弦函数的性质求解.（2）由（1）的信息，利用给定的图象变换求出g(x)的解析式，再结合函数图象求出m的范围.【解答过程】（1）依题意，f(x)=2=3由f(π6)=1，得sin所以a=0，f(x)的最小正周期为T=2（2）由（1）知f(x)=sin(2x−π当x∈[0,π2]时，2x+π6∈[π6,因此函数g(x)在[0,π6]上单调递增，函数值从12增大到1，在关于x的方程g(x)−m=0在x∈[0,π2]有两个不同的根，即函数y=g(x)在[0,在同一坐标系内作出直线y=m与函数y=g(x)在[0,π

观察图象知，当12≤m<1时，直线y=m与函数y=g(x)在所以实数m的取值范围是1219．（17分）（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数f(x)的定义域为R，∀a,b∈R，fa+b+fa−b=3fa(1)求证：f(x)+f(0)≥0；(2)求f(1)+f(2)+⋯+f(2023)的值；(3)当x∈R时，求不等式3f(2x)+4≤9f(x)的解集．【解题思路】（1）借助赋值法令a=b=x（2）借助赋值法可得f(x)为周期为6的周期函数、并可计算出f0、f1、⋯、（3）借助赋值法令a=b=x，可将原不等式转化为9f2x【解答过程】（1）令a=b=x2，则有由f2x2（2）令b=1，则有f(a+1)+f(a−1)=3f(a)f(1)=fa则f(a)+f(a−2)=fa−1，即f(a)=f故f(a+1)+f(a−1)=fa−1−f(a−2)，即则fa−3+1=−fa−3−2故f(a+1)=f(a−5)，即有