2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.3.1 等腰三角形的性质(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷14.3.1等腰三角形的性质(含答案)-14.3.1等腰三角形的性质【知能点分类训练】知能点1等腰三角形1．等腰三角形的两边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______cm．2．等腰三角形一边长是2cm，周长是8cm，则腰长是________．3．已知等腰三角形的底边长15cm，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为8cm，则腰长为（）．A．7cmB．23cmC．7cm或23cmD．以上都不对知能点2等腰三角形的性质4．等腰三角形的一个内角是100°，它的另外两个角的度数是____，_____．5．等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和为265°，则它的顶角大小为_______．6．如图，D，E在BC上，AE=BE，AD=CD，∠ADE=100°，∠AED=60°，则∠B=____，∠C=___．(1)(2)7．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为α，则它的顶角度数为______．8．下列命题中，错误的说法是（）．A．等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形能完全重合;B．等腰直角三角形被底边上的高分成的两个三角形是能完全重合的等腰直角三角形;C．一个三角形中，两条边不等，则它们所对的角也不等;D．等腰三角形腰上的中线，高和其所对角的平分线互相重合9．如图2所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，则∠A的度数为（）．A．36°B．72°C．108°D．44°10．在△ABC中，AB=AC，∠A-∠B=15°，则∠C的度数为（）．A．50°B．55°C．60°D．70°11．在等腰三角形的三个外角中，最多有（）．

A．0个钝角B．1个钝角C．2个钝角D．3个钝角12．如图，AD∥BC，点E在的延长线上，CB=CE，试说明∠A=∠E．【综合应用提高】13．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BPC=115°，且∠ABP=∠BCP，求∠A的度数．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上的一点，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？说说你的理由．15．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB+AC+BC=50cm，AB+BD+AD=40cm，求AD的长．【开拓探索创新】16．如图所示，若BE平分∠ABC，DE=BD，则DE和BC的位置关系怎样？说明理由．17．已知如图，点C，D在△ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE，求证：AC=AD．答案:1．16cm或17cm2．3cm3．B4．40°40°5．10°点拨：由题意可知，另一底角的外角为95°，故底角为85°．6．30°50°7．2a8．D点拨：三线合一的“三线”是指顶角平分线，底边中线和底边上的高．9．C点拨：设∠B=x，由AB=AC=7，∠B=∠C，AC=CD→∠ADC=∠DAC=2∠B，∴x+x+3x=180°，x=36°，∠A=108°．10．B11．D12．证明：∵CB=CE，∴∠E=CBE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∴∠A=∠E．13．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．又∵∠ABP=∠BCP．∴∠ABC-∠ABP=∠ACB-∠BCP，即∠CBP=∠ACP．而∠PBC+∠PCB=180°-∠P=65°．∴∠ABP+∠ACP=65°，∴∠A=180°-2×65°=50°．14．解：AE∥BC．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE．又∵∠DAE+∠CAE=∠B+∠C∴2∠DAE=2∠B，即∠DAE=∠B，∴AE∥BC．15．解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴AB+BD=AC+DC．又∵AB+BC+AC=50cm，∴AB+BD=25cm，∵AB+BD+AD=40．即25+AD=40，∴AD=15cm．16．解：DE∥BC．理由：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠EBC．又∵DE=BD，∴∠DBE=∠DEB，∴∠EBC=∠DEB，∴DE∥BC．17．证明：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD．14.3.2等边三角形点击要点等边三角形的三条边_________，三个内角_______，是_______度．等边三角形所有的角平分线、中线、高线共______条．在直角三角形中，如果有一个锐等于30°，那么它所对的直角边_______．判定一个三角形为等边三角形时，可证明它的三条边________，或者证明三个内角都______，它若已是等腰三角形，只需证有一内角等于_____度．例题如图所示，已知等边△ABC中，D在AB上，E在AC上，且DE∥BC，求证△ADE为等边三角形．[分析]要证△ADE为等边三角形，根据∠A=60°，只需证明AD=AE即可，问题转化为证明∠ADE=∠AED，由DE∥BC可证∠ADE=∠B，∠AED=∠C，由于∠B=∠C，可证∠ADE=∠AED．证明：因为△ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°．因为DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C，所以∠ADE=∠AED，所以AD=AE，所以△ADE是等边三角形．[老师点评]解答本节习题应把握以下几个方面：（1）由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的一切性质．（2）在应用30°角的直角三角形中的性质时，应牢牢记住30°角所对的直角边等于斜边的一半．（3）要注意将等边三角形的有关内容与学过的知识综合运用，灵活地解决问题．中考展望等边三角形是特殊的等腰三角形，在今后的中考题中更趋向于中档题．与对称性有关的题目是中考的重点，以填空题或选择题的形式出现．随堂测评(时间：40分钟满分：100分)一、训练平台（1～5小题每题4分，6～7小题每题10分，共40分）14.3.2等腰三角形的识别【知能点分类训练】知能点1等腰三角形的识别方法1．在△ABC中，如果∠B=65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC_____等腰三角形．（填“是”或“不是”）2．等腰三角形的一边长是3cm，周长是12cm，则腰长是_______cm．3．如图1，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且DE∥BC，∠A=36°，则图中等腰三角形共有_______个．(1)(2)(3)4．如图2，在△ABC中，点D在AC上，且AB=AD，∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（）．A．15°B．18°C．20°D．22.5°5．已知△ABC是等腰三角形，∠A是顶角，分析如下说法：①如果∠B与∠C的平分线相交于O，则△OBC是等腰三角形．②如果AB，AC两边上的高线相交于O，则△OBC是等腰三角形．③如果AB，AC两边上的中线相交于O，则△OBC是等腰三角形．④在上述任何一种情况下，都有AO⊥BC．以上说法中，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，AD平分∠BAC，AD∥EG，试证明△AGF是等腰三角形．知能点2等腰三角形的应用7．如图3，在△ABC中，AQ=PQ，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，PN=PM，则下列结论中正确的有（）．①AM=AN②PQ∥AB③∠NAP=∠MAPA．①B．①②C．②③D．①②③8．如图，欲测塔高AB，选取一点C，使仰角∠ACB=45°，测出BC的长度即为AB的高度，请说明理由．9．如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥BC，AC=10cm，AB=13cm，求△ADE的周长．【综合应用提高】10．一个三角形的两个角的度数是方程组的解，试判断三角形的形状．11．如图，已知CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC延长线于点E，试说明△ACE是什么样的三角形．【开放探索创新】12．如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的关系，并说明理由．13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．答案:1．是2．4.5点拨：若3为腰长，则底边长为6，则3+3=6，不合题意．3．124．A点拨：∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，又∵∠ADB=∠CBD+∠C，∴∠ABD=∠CBD+∠C，即2∠CBD=30°，∴∠CBD=15°．5．A6．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠ACD．又∵AD∥EG，∴∠G=∠CAD，∠AFG=∠BAD，∴∠G=∠AFG，∴△AGF是等腰三角形．7．D8．根据题意，得∠ABC=90°．∵∠ACB=45°．∴∠BAC=∠ABC-∠ACB=90°-45°=45°，∴BC=BA．9．解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠DBC，∠ECO=∠OCB．又∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=DB，OE=EC，∴△ADE周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=13+10=23cm．10．解方程组得∴第三个角为180°-65°-50°=65°．∴这个三角形为等腰三角形．11．△ACE是等腰三角形．理由：∵AE∥DC，∴∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E．又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠CAE=∠E，∴AC=CE，∴△ACE是等腰三角形．12．解：EF=BE-CF．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．又∵ED∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=ED．同理可证：CF=FD．∵EF=ED-FD，∴EF=BE-CF．13．（1）①③，①④，②③和②④．（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．1．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=4，那么AD等于（）A．2B．4C．8D．22．不能判定两个等边三角形全等的是（）A．一条边对应相等B．一个内角对应相等C．一边上的高对应相等D．有一内角的角平分线对应相等3．下面给出的几种三角形：①三个内角都相等；②有两个外角为120°；③一边上的高也是这边所对的角的角平分线；④三条边上的高相等的三角形．其中是等边三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知等边三角形ABC的高AD，BE交于点O，则∠AOB=________．5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，若∠A=30°，BE=1，则AB=________．6．如图所示，△ABC是等边三角形，分别延长AB，BC，CA到D，E，F，使BD=CE=AF，连接DE，EF，FD，求证△DEF是等边三角形．7．如图所示，在等边△ABC中，在边BC，AC上取BD=CE，连接AD，BE交于F，求证∠AFE=60°．二、提高训练（1～3小题每题4分，4～5小题每题10分，共32分）1．下面的图形是轴对称图形，而且对称轴最多的是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形2．O是等边△ABC两条高的交点，若△AOB的面积为1，则△ABC的面积为_____．3．如图所示，在等边△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AC，垂足为D，E，则=______．4．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AD的垂直平分线交BC于D，交AB于E，求证BD=DC．5．如图所示，等边△ABC和等边△DCE在直线BCE的同一侧，AE交CD于P，BD交AC于Q，求证△PQC为等边三角形．三、探索发现（共14分）已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB，AC，BC的距离为h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在△ABC的一边BC上，如图（1）所示，此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h．请直接利用上述信息解决下列问题：①当点P在△ABC内时，如图（2）所示；②当P在△ABC外时，如图（3）所示，这两种情况上述结论是否成立？若成立，给予证明；不成立，写出新的关系式（不要求证明）．四、拓展创新（共14分）如图所示，△ACB，△ECD是等边三角形，且E点在BC上，AE的延长线交DB于F点，请你在图中找出一对全等三角形，并写出它们全等的过程．※走近中考（不计入总分）如图所示，等边△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．求证DP=PE．探究交流小课题:到底能有多少个等腰三角形?设O是等边△ABC所在平面上一点，它使△ABO，△OBC，△OCA都是等腰三角形，满足条件的O点共有多少个？探究：要使△ABO，△OBC，△OCA都是等腰三角形，则O点必在AB或BC或CA的垂直平分线上，先考虑在AB的垂直平分线MN上的情况．（1）作AC的垂直平分线与MN交于O，则AO1=BO1=CO1，即O1是满足条件的一个点．（2）以C为圆心，CA为半径画弧，与MN交于O2，O3，由CO2=CA=CB，O2A=O2B，则O2也满足条件，由于CA=CO3=CB，AO3=BO3，则O3也满足条件．（3）以A为圆心AC为半径画弧，交MN于O4，由于AC=AO4，AB=AO4，BC=BO4，则O4也满足条件，在BC的垂直平分线和AC的垂直平分线上，同样也能分别找到满足条件的四个点，由于有一点均与O1重合，所以满足条件的O点共有10个，如图所示．答案:本课导学相等相等603等于斜边的一半相等相等60随堂测评一、1．B2．B3．B4．120°5．86．证明：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB，所以∠DBE=∠ECF=∠FAD，又因为BD=CE=AF，所以AB+BD=BC+CE=CA+AF，即AD=BE=CF，在△DAF和△EBD和△FCE中，所以△DAF≌△EBD≌△FCE，所以DF=ED=FE，所以△DEF是等边三角形．7．证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠BAD=∠EBC，因为∠ABE+∠BAD=∠AFE，所以∠ABE+∠EBC=∠AFE，所以∠AFE=60°．二、1．C2．33．4．证明：连接AD，因为AB=AC，∠A=120°，所以∠B=∠C==30°，因为DE为AB的垂直平分线，所以AD=BD，所以∠BAD=∠B=30°，所以∠DAC=90°，因为∠C=30°，所以AD=DC，因为AD=BD，所以BD=DC．5．证明：在等边△ABC和等边△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，所以△BCD≌△ACE（SAS），所以∠1=∠2，因为∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE=60°，所以∠BCQ=∠ACP，在△BCQ和△ACP中，所以△BCQ≌△ACP，所以CQ=CP，又因为∠QCP=60°，所以△PQC为等边三角形．三、解：①成立．证明如下：过P作GH∥BC交AB于G，交AC于H，交AM于N，所以∠AGH=∠B，∠AHG=∠C，因为∠ABC为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，所以∠A=∠AGH=∠AHG=60°，所以△AGH为等边三角形，由此可得PD+PE=AN，由于MN=PF，所以PD+PE+PF=AM，即h1+h2+h3=h，②不成立，关系式为h1+h2-h3=h．四、解：△ACE≌△BCD，因为△ACB与△ECD都是等边三角形．所以AC=CB，EC=CD，∠ACB=∠ECD=60°，所以△ACE≌△BCD（SAS）．※证明：过D作DF∥AB交BC于F，所以∠DFP=∠PBE，∠CDF=∠A，∠CFD=∠CBA，在等边△CAB中，∠C=∠A=∠CBA=60°，所以∠CDF=∠CFD=60°，所以△CDF是等边三角形，所以CD=DF，又因为BE=CD，所以BE=DF，因为∠DPF=∠EPB，所以△DPF≌△EPB．所以DP=PE．14.3.3等边三角形【知能点分类训练】知能点1等边三角形的有关知识1．边长为3cm的等边三角形的周长为_______cm．2．如图1，△ABC是等边三角形，过AB边上一点D作BC的平行线交AC于E，则△ADE的三个内角______等于60°．（填“都”、“不都”或“都不”）(1)(2)(3)3．如图2，等边三角形ABC的边长如图所示，那么y=______．4．如图3，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，则图中的等腰三角形有______．（不包括△ABC）．5．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（）．A．等边三角形的范围比等腰三角形大B．等腰三角形包括等边三角形C．等边三角形是等腰三角形的特殊情况D．等边三角形具有等腰三角形的所有性质6．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（）．（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′位置，如图BC=4，求BC′．知能点2含30°角的直角三角形的特点8．如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD=______，BC=_______cm，AD=________cm．9．如图所示，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，求BN的长．【综合应用提高】10．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形．11．如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说明BE=EF=FC．【开拓探索创新】12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过B点的一条直线BE交AC于E点，ED⊥AB．写出一个你认为适当的条件，并利用此条件说明D为AB的中点．13．如图（1）所示，若△ABC为等边三角形，且∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数．如图（2）所示，在△ABC中，∠BAC=70°，∠ABC=50°，且同样有∠1=∠2=∠3，∠BEC的度数改变了吗？答案:1．92．都3．3点拨：由题意可得4．△BDE，△ADE，△DEC，△ABO，△DEO5．A6．C点拨：（4），（5）是不正确的．7．依题意有：DC′=DC，∠ADC′=∠ADC=60°，又∵BD=DC=BC=2．∴∠BDC′+∠ADC′+∠ADC=180°，∴DC′=BD=2，∠BDC′=60°．∴∠DBC′=∠DC′B=（180°-∠BDC′）=60°，∴△BDC′为等边三角形．即BC′=BD=DC′=2．8．30°239．BN=a．10．解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，∴∠1=∠2==60°．∵AE∥DC，∴∠3=∠2=60°，∠E=∠1=60°，∴∠3=∠4=∠E=60°，∴∠ACE是等边三角形．11．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠OEF=∠ABC=60°，∠OFE=∠ACF=60°，∴∠OEF=∠OFE，∴∠EOF=60°，即△OEF为等边三角形．∴OE=OF=EF．∵BO，CO分别平行∠ABC，∠ACB，∴∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF．∵OE∥AB，OF∥AC，∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF．∴OE=BE，OF=CF，∴BE=EF=FC．12．解：当∠A=30°时，点D恰为AB的中点，理由：∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠CBA=60°．由对称性知△CBE与△DBE重合．∴∠EDB=∠C=90°，∠EBA=∠EBC=∠CBA=×60°=30°，∴ED⊥AB．又∵∠A=30°，∴∠A=∠EBA，∴EA=EB．∵ED⊥AB，∴ED平分AB，即D是AB的中点．13．解：（1）∵△ABC是等边三角形．∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．∵∠BED是△BEC的外角，∴∠BED=∠2+∠BCE．又∵∠2=∠3，∴∠BED=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°-∠BED=120°．答：∠BEC的度数为120°．（2）∠BEC的度数没有改变，还是120°．§14．4探究与整理知识要点1．轴对称和轴对称图形性质：①关于某条直线对称的图形是全等形；②若两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果对应线段或其延长线相交，则交点在对称轴上．2．经过线段的中点并垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段的垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．3．点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标是（a，-b）；点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标是（-a，b）．4．等腰三角形的性质和判定．5．直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．典型例题例：如图，△ABC中AB=AC，点D在AB上，E是AC延