2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷13.1.2 线段的垂直平分线的性质同步练习(含答案)

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习(含答案)13.1.2线段的垂直平分线的性质一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．3第1题图第2题图第5题图2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB3．下列说法中错误的是（）A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C．线段有且只有一条垂直平分线D．线段的垂直平分线是一条直线4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A．48B．24C．12D．67．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cmB．15cmC．20cmD．无法计算8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=()A．28°B．25°C．22.5°D．20°第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________．第10题图第12题图第13题图第14题图11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC=_________．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_____．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC=_________．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________度．第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．参考答案一、选择题（共8小题）1．B2．A3．A4．A5．C6．C7．A8．A二．填空题（共10小题）9.线段AB的中垂线；10.三边垂直平分线的交点处；11.3；12.50；3.13；14.615.60°；16.8；17.9；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△ADC．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20.解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23.证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．第十四章生活中的轴对称§14.1轴对称知识要点1．轴对称图形和轴对称（1）如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（2）有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．（3）有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

（4）图形轴对称的性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（5）轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．2．线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．典型例题例：如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证BG=CH．分析：由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分线的性质），而DE是BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得到BD=CD，于是可利用“HL”证明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．证明：连接BD、CD∵点D在∠BAC的平分线上，又DG⊥AB、DH⊥AC；∴DG=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵DE是BC的垂直平分线∴DB=DC（线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∵DG⊥AB、DH⊥AC∴∠BGD=∠CHD=90°在Rt△BDG和Rt△CDH中，∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL）∴BG=CH（全等三角形的对应边相等）练习题(第一课时)一、选择题1．下列说法错误的是（）A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等;B．轴对称图形至少有一条对称轴C．全等三角形一定能关于某条直线对称;D．角是关于它的平分线对称的图形2．如图，其中是轴对称图形的是（）3．如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（）二、填空题4．把一个图形沿某一条直线_________，如果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线____________．5．如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__________．6．观察图中的两个图案，是轴对称图形的是__________，它有________条对称轴．7．如图，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=____，∠D=___度．第9题8．坐标平面内，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3cm，则点B到x轴的距离是__________．第9题三、解答题9．上图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．10．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．①指出两个三角形中的对称点；②指出图中相等的线段和角；③图中还有对称的三角形吗？四、探究题11．如图，把一张纸片对折后，用笔尖在纸上扎出图（3）所示的图案，将纸打开后铺平，观察你所得的图案．位于折痕两侧的部分有什么关系？与同伴交流你的想法．答案:1．C2．B3．D4．折叠；重合；对称5．轴对称图形6．（2）67．2cm；958．3cm9．略10．①A与A，B与D，C与E是对称点；②AB=AD、AC=AE、BC=DE、BF=DF、EF=CF；③△AEF与△ACF11．折痕两侧的部分关于折痕轴对称练习题(第二课时)一、选择题1．点P是△ABC中边AB的垂直平分线上的点，则一定有（）A．PA=PBB．PA=PCC．PB=PCD．点P到∠ACB的两边的距离相等2．下列说法错误的是（）A．D、E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB．若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线C．若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上D．若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线3．在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点4．△ABC中AC>BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9B．8C．7D．65．平面内到不在同一条直线的三个点A、B、C的距离相等的点有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题6．经过线段的___________________的直线，叫做这条线段的垂直平分线．7．线段的垂直平分线上的点_______________________________；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的____________________上，因此线段的垂直平分线可以看成___________________的集合．8．线段是轴对称图形，它的对称轴是____________________．9．如图1，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=_________．(1)(2)10．如图1，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若△ABC与△EBC的周长分别是26cm、18cm，则AC=_________．三、解答题:11．△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点P，求证：点P在BC的垂直平分线上．12．如图2，直线AD是线段BC的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD.四、探究题13．如图，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线．答案:1．A2．D3．D4．A5．B6．中点并且垂直于这条线段7．与这条线段两个端点的距离相等；垂直平分线；与线段两个端点距离相等的所有点8．这条线段的垂直平分线或这条线段所在的直线9．10cm10．811．证明PB=PC12．证明△ABD≌△ACD（SSS）13．证明AE=AC，DE=DC练习题(第三课时)一、选择题1．如图所示的标志中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．剪纸是中国的民间艺术，剪纸的方法很多，下面是一种剪纸方法的图示（如图1，先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案）：图2中的四个图案，不能用上述方法剪出的是（）(1)(2)二、填空题:4．轴对称图形中任意一组对应点的连线段的__________________是该图形的对称轴．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的__________．6．角是轴对称图形，其对称轴是________________________所在的直线．7．平面内两点A、B关于____________________________对称．三、解答题:8．如图，已知△ABC，请用直尺与圆规作图，将三角形的面积两等分．（不写作法，但要保留作图痕迹）9．已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．10．如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．四、探究题11．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．答案:1．C2．C3．D4．垂直平分线5．垂直平分线6．角的平分线7．线段AB的垂直平分线8．略9．略10．作线段MN的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点即点P11．①m⊥AA′；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．14.1轴对称（1）【知能点分类训练】知能点1轴对称图形1．图中的图形都可以看成轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______，有3条对称轴的是_______，有2条对称轴的是______．（只要求写图形序号）2．数轴上绝对值相同的不同两点关于_________对称．3．下列选项中右边图形与左边图形成轴对称的是（）．4．如图，下面四个图形中，有一个不是轴对称图形，它是（）．5．图中有两条对称轴的是（）．A．（1）和（3）B．（3）和（4）C．（4）和（6）D．（4），（5）和（6）6．下图中的轴对称图形有（）．A．（1），（2）B．（1），（4）C．（2），（3）D．（3），（4）7．下图中的四个图案，是轴对称图形的有（）．A．4个B．3个C．2个D．1个知能点2成轴对称图形8．如图所示，哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？【综合应用提高】9．如图，下图中的两个四边形关于某直线对称，根据图形提供的条件，求x，y的值．10．如图所示，某地某日下午3时发生了一起案件，警察很快抓住了犯罪嫌疑人，但此人提供了不在现场的证据，一张当天下午3时他在钟楼游览时的照片．照片上的大钟指针正指向下午3时，但熟悉周围环境的警察却发现照片并不是下午3时照的，你知道是什么时间照的吗？为什么？11．如图，从轴对称的角度来看，你觉得哪一个图形比较独特？简单说明你的道理．【开放探索创新】12．小明家中客厅的南北长度是6m，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙．某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小说：“没有，不足30平方米．”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？答案:1．（1）（2）（3）2．原点3．C4．A5．C点拨：（1）有无数条对称轴；（2）有5条对称轴；（3）有无数条对称轴；（5）有1条对称轴．6．B点拨：（2），（3）是中心对称图形．7．A8．D，F的右边与左边成轴对称．9．x=40°，y=3．10．犯罪嫌疑人的照片是反着冲洗的，故将上午9时变成了下午3时．11．丁比较独特，丁图形有无数条对称轴，而其他图形只有两条对称轴．12．都对，小敏把镜子里看到的都算在一起了，小明说的是实际面积．14.1轴对称（2）【知能点分类训练】知能点1线段的垂直平分线1．如图1，MN既是线段AB的垂直平分线，也是线段CD的垂直平分线，则线段AC_____BD．（填“>”、“＝”或“<”）(1)(2)(3)2．一条线段的垂直平分线必定经过这条线段的________点，一条线段只有____条垂直平分线．3．有下列说法：①对称轴上没有对称点；②如果△ABC与△A′B′C′关于直线L对称，那么S△ABC=S△A`B`C`；③如果线段AB=A′B′，直线L垂直平分AA′，则AB和A′B′关于直线L对称；④射线不是轴对称图形．A．②B．①④C．②④D．②③知能点2线段垂直平分线的性质4．如果线段AB的垂直平分线与AB相交于点D，C是垂直平分线上任意一点，那么AC与CD的大小关系是________．5．如图2所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索AB与AC的长度相等，需加________条件，理由是_________．6．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于________．7．如图4所示，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）．A．3.9cmB．7.8cmC．4cmD．4.6cm(4)(5)8．如图5，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠CAD=20°，则∠B=（）．A．20°B．30°C．35°D．40°知能点3画轴对称图形的对称轴9．画出下面各轴对称图形所有的对称轴．10．利用图形中的对称点，画出图形的对称轴．【综合应用提高】11．如图，在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线交AB，BC于E，D，BE=6，求△BEC的周长．12．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．【开放探索创新】13．如图所示，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．14．如图所示，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．答案:1．=点拨：该图形是轴对称图形，AC与BD是对应线段．2．中点一3．A4．相等5．BD=DC线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等6．30°点拨：△AED≌△BED≌△BEC．∴∠A=∠2=∠1．又∵∠A+∠2+∠1=90°，∴∠A=30°．7．B8．C9．图略10．图略11．解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE．∵BE=6，∴CE=6，∴△BEC周长=BE+CE+BC=6+6+10=22．12．解：DE是AC的垂直平分线．∴AD=CD，AC=2AE=6cm．又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm．∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．13．解：连接BC，∵AB=AC．∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理，D点也在线段BC的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E是AD延长线上的一点，∴BE=EC．14．解：∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．∵AC+AD+DC=14cm，∴AC+AD+BD=14cm，即AC+AB=14cm．又∵AB-AC=2cm，设AB=xcm，AC=ycm．根据题意，得答：AB长为8cm，AC长为6cm．14.1轴对称点击要点判定一个图形是不是轴对称图形的方法是_________．判定两个图形是否关于某条直线对称的方法是_________；对应点所连线段与对称轴的关系是__________；线段垂直平分线上的点与_________的距离相等；与一条线段两个端点的距离相等的点在_________上．例题如图所示，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，M，N是BC的垂直平分线，EF与MN相交于点O，求证点O必在AC的垂直平分线上．[分析]从问题的结论出发，若O在AC的垂直平分线上，需证OA=OC，由已知EF垂直平分AB，MN垂直平分BC，可得OA=OB，OB=OC，则可证出OA=OC．证明：连接AO，BO，CO，因为EF垂直平分AB，O在EF上，所以OA=OB，又因为MN垂直平分BC，O在MN上，所以OB=OC，所以OA=OC，所以点O必在AC的垂直平分线上．[老师点评]解答本节习题应把握以下几个方面：（1）轴对称来源于现实生活，所以轴对称的知识也能解决现实生活中的具体问题．（2）要区别轴对称和轴对称图形这两个概念．（3）要注意对称轴总是一条直线，而不是线段．中考展望中考对这部分知识的基本要求是：能正确判断出轴对称图形，以及用垂直平分线的两条结论证明线段相等．多以填空题、选择题的形式出现．今后的中考题也可能围绕轴对称出一些开放探索性的题目．随堂测评（时间：40分钟满分：100分）一、训练平台（1～5小题每题4分，6～7小题每题8分，共36分）1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A．线段B．角C．有一个内角是45°的三角形D．正方形2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）3．下列英文字母中，是轴对称图形的是（）SETQURAN①②③④⑤⑥⑦⑧A．①②③④B．②②⑤⑦B．①②③⑤⑦D．②③⑤⑦⑧4．线段的中垂线是（）A．直线B．线段C．射线D．以上都不对5．长方形有________条对称轴．6．请画