数值分析（基于MATLAB）-教学大纲

《数值分析》教学大纲课程基本情况英文名称：NumericalAnalysis总学时：36理论学时：36实践学时：0总学分：2课程性质：必修考核方式：考试适用对象：理工科研究生及高年级本科生先修课程：《高等数学》《线性代数》《Matlab程序设计》参考教材：1.数值分析(第二版)，朱晓临主编中国科学技术大学出版社，20142.数值分析(第四版)，颜庆津编著，北京航空航天大学出版社，2012.二、课程目标通过本课程的学习，使学生达到如下学习目标：1．掌握数值计算的基本原理和方法，以及一些常用的计算技巧。2.培养应用计算机使用数学方法解决问题的能力。三、教学内容、教学方法和手段、学时分配知识单元一：基本概念及误差分析（建议3学时）教与学要求：理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失（避免相近数相减），选择数值稳定的算法。教与学方法：讲授知识单元二：线性方程组的直接解法（建议3学时）教与学要求：熟练掌握顺序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的原理，并会应用之求解具体的方程组，理解选主元的优点。掌握三角分解法的原理，并会用直接三角分解法求解具体的方程组。掌握追赶法与平方根法的原理，并会应用之求解具体的方程组。知道向量和矩阵范数的概念与基本性质，掌握常用的向量和矩阵范数的计算，掌握矩阵谱半径的定义与计算，掌握矩阵范数和谱半径的大小关系，会计算条件数，掌握条件数大小与方程组病态程度的关系，知道条件数不小于1。教与学方法：讲授知识单元三：线性方程组的迭代法（建议3学时）教与学要求：理解迭代法的基本概念，掌握基本型迭代的公式。熟悉Jacobi迭代与G-S迭代的公式及迭代矩阵。熟练掌握迭代法收敛性充要条件与收敛性充分条件、Jacobi迭代与G-S迭代的收敛性判定，知道收敛速度与迭代矩阵谱半径（范数）大小的关系了解SOR法及其收敛性结论。教与学方法：讲授知识单元四：非线性方程的数值解法（建议3学时）教与学要求：掌握二分法及其误差估计。理解不动点迭代法，掌握迭代法的局部收敛条件与收敛阶的判定。熟悉Newton迭代法及其收敛性结论，掌握Newton法的应用（如应用于代数方程等特殊方程）。教与学方法：讲授知识单元五：插值方法（建议6学时）教与学要求：理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。了解三次样条函数与三次样条插值的定义。教与学方法：讲授知识单元六：曲线拟合与函数逼近（建议3学时）教与学要求：掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式。熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解。了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。教与学方法：讲授知识单元七：数值微积分（建议6学时）教与学要求：掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。掌握梯形公式和Simpson公式，了解其余项公式与代数精度的联系，了解系数之和的性质，掌握稳定性条件；理解复化求积方法的思想。理解Gauss型求积公式的概念（最高代数精度、插值型），掌握构造Gauss型求积公式的方法（Gauss点和系数的求法），掌握其数值稳定性结论。掌握常用的几个一阶差商公式。教与学方法：讲授知识单元八：特征值近似计算（建议3学时）教与学要求：掌握特征近似计算的基本原理，理解幂法与反幂法，及其QR方法的实现途径，了解Jacobi方法。教与学方法：讲授知识单元九：微分方程数值解法（建议6学时）教与学要求：理解数值解的概念，掌握初值问题数值解法的特点（步进式）。掌握Euler公式、隐式Euler公式和梯形公式，会推导其局部截断误差，并判断方法的阶；了解改进的Euler公式。知道Runge-Kutta方法的原理，掌握经典4阶Runge-Kutta公式的特点（性质）。知道线性多步法的一般形式与构造途径。掌握单步法的收敛性与稳定性的概念，会论证收敛性和推导绝对稳定的条件（限于模型方程形式，其中λ为负实数）。教与学方法：讲授四、成绩构成和评价方法总分100分，其中平时成绩20分、期