中考数学专项复习：勾股定理与构造图形解题（解析版）

专题02勾股定理与构造图形解题

1.如图，点E是正方形488内的一点，连接/£、BE、CE,将△相£绕点3顺时针旋转90。到

的位置.若N£=l,BE=2,CE=3,则N3£C=_度.

E'

【答案】135

【解析】

【详解】

试题分析：如图，连接EE',

•.•将△/8E绕点8顺时针旋转90。到△。3£的位置，AE=\,BE=2,CE=3,

：.ZEBE'=90°,BE=BE'=2,AE=E'C=\.

：.EE'=2^>,ZBE'E=45°.

,.,£,,E2+£,C2=8+1=9,EC=9.J.E'E^E'^EC1.

.•.△EEC是直角三角形，AZEE'C=9Q°.：.ZBE'C=135°.

2.如图，在A45c中，ZACB=90°,/C=8C,点P是ZUBC内的一点，且EB=1,PC=2,PA=

3,则N8PC=°.

【答案】135

【解析】

【详解】

解：如图，将A4PC绕点C旋转，使C4与C8重合，即A4PC与aBEC全等,

APCE为等腰直角三角形，；.NCPE=45°,PE1=PC2+CE2=8,

又；PB?=1,BE2=9,：.PE2+PB2=BE2,则/2PE=9O°,

/BPC=135。

故答案为：135.

3.已知：如图，四边形/BCD中，ZADC=60°,ZABC=30°,AD=CD.求证：BD^AB^+BC1.

【解析】

【分析】

将入4。2以。为旋转中心，顺时针旋转60。，使/与。点重合，2与E点重合，连接3E,根据旋

转的性质得/A=NECD,AB=CE,DB=DE,易得△D8E为等边三角形，则

DB=BE,根据周角的定义和四边形内角和定理得NEC2=360O-/3CD-NDCE=360O-N2CD-N

N=360。-S60o-Z^£>C-Z^5C)=60°+30o=90°,则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得

利用等线段代换即可得到结论.

【详解】

如图,

将A4D5以。为旋转中心，顺时针旋转60。，使/与C点重合，8与E点重合，连接8E,

ZABD=ZCED,ZA=ZECD,AB=CE,DB=DE,

又,:ZADC=60°,

：.NBDE=60°,

：.ADBE为等边三角形,

：.DB=BE,

XVZECB=360°-ZBCD-ZDCE

=360°-ZBCD-ZA

=360°-G60o-ZADC-ZABC)

=60°+30°

=90°,

△EC8为直角三角形，

:.EO+B0=B中,

:.BD2=AB2+BO.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心

的连线段的夹角等于旋转角.也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾

股定理.

4.如图，点P是等边三角形N8C内一点，且E4=3,PB=4,PC=5,若将A4P8绕着点8逆时针旋

转后得到aCQB.

B

(1)ABPQ是三角形；

(2)求P0的长度；

(3)求/APB的度数.

【答案】(1)等边；(2)尸0=4；(3)NAPB=150。

【解析】

【分析】

(1)连接尸0,由旋转的性质可得△84P之△8C0,可推出AP=2。，ZPBQ=6Q°,进而得到等边

△BPQ；

(2)八8尸0为等边三角形，所以尸。=尸8=4；

(3)由P0=4,CQ=3,PC=5,可得出△PC。为直角三角形，ZPQC=90°,由/4P2=NC03可得

结果.

【详解】

(1)连接尸0,

由旋转的性质可得XBCQ,

:.NABP=/CBQ,BP=BQ,

又：ZABC=60°,

：.ZABP+ZPBC=60°

：.ZCBQ+ZPBC=60°,即/依0=60°,

△AP。为等边三角形，

(2)：△BP。为等边三角形，

：.PQ=PB=4

(3):△B/P0△8C0,

：.CQ=PA=3,

在△尸C0中，PQ=4,C0=3,PC=5,

：32+42=52,即C02+P02=p0,

/\PCQ为直角三角形，ZPQC=90°,

又•：MBPQ为等边三角形，

ZBQP=60°,

：.ZCQB=ZBQP+ZPQC=150°

,?4BAP咨ABCQ,

：.ZAPB=ZCQB=150°.

【点睛】

本题考查全等三角形的旋转模型、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的判定，利用旋转的性

质得到对应边和对应角相等是解题的关键.

5.为了探索代数式行公+"(8-川+25的最小值,

小张巧妙的运用了数学思想.具体方法是这样的：如图，C为线段上一动点，分别过点8、D

作,连结/C、EC.已知48=1,DE=5,BD=8,设8C=x.则/C=&+1，

CE=gx)、25则问题即转化成求AC+CE的最小值.

⑴我们知道当/、C、E在同一直线上时，/C+CE的值最小，于是可求得4rz+J(8-匹+25的

最小值等于,止匕时工=；

(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；

(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)

(3)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式GTZ+J(12-X)2+9的最小值.

4

【答案】（1）10,j：（2）数形结合思想；（3）13

【解析】

【分析】

（1）根据两点之间线段最短可知NC+CE的最小值就是线段/£的长度.过点E作E尸〃8。，交4B

的延长线于P点.在必△/斯中运用勾股定理计算求解；

（2）小张巧妙的运用了数形结合思想；

（3）由（1）的结果可作2。=12,过点/作/尸〃AD,交。E的延长线于/点，使/8=2,ED=3,

连接4E交8。于点C,然后构造矩形/尸。5,RtAAFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得/£

的值就是代数式庄荷+，（12-司+9的最小值.

【详解】

解：（1）过点E作EF〃B。,交N8的延长线于尸点

根据题意，四边形5DEF为矩形

AF=AB+BF=5+1=6,EF=BD=8

•*-AE=V62+82=10

即4C+CE的最小值是10

7X2+1+7（8-X）2+25=10

,:EF〃BD

.AB_BC

••AF-EF

.X.1

••A.—

3

4

解得：x=-

4

故答案为：10；—；

（2）小张巧妙的运用了数形结合思想；

（3）过点4作4/〃5。，交。£的延长线于厂点

根据题意，四边形尸为矩形

EF=AB+DE=2+3=5,AF=DB=\2

二AE=^52+U2=13

即/C+CE的最小值是13.

【点睛】

本题考查轴对称-最短路线问题.

6.如图1,点C为线段AD上的一个动点，分别过点2,。作4BLAD,EDLBD,连接NC,

EC.己知N8=5,DE=1,BD=8,设CD-X.

A

1D

B1

图2E

⑴用含X的代数式表示NC+CE的长；

(2)请在图2中画出C点位置，使/C+CE的值最小，并求出这个最小值；

(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式忑不+J(12-xy+9的最小值.

【答案】(1)J(8-xJ+5?+Vx2+I2

(2)图见解析，/C+CE的值最小值是10

(3)VX2+4+7(12-x)2+9的值最小值是13,图见解析

【解析】

【分析】

(1)根据题意表示出用含x的代数式表示AC+CE的长即可；

(2)当/,C,£三点在一条直线上时，/C+CE的值最小，在根据勾股定理即可求出/C+CE的

长；

(3)根据(1)的思路，通过代数式构造几何图形，再由(2)的思路求解即可；

(1)

解：AC+CE=yjBC2+AB2+yJCD2+DE2=,J（8-x）2+52+yjx2+l2

⑵

如图，

当4C,£三点在一条直线上时，/C+CE的值最小.

过点E做BD的平行线交AB的延长线于点F,则BF=DE=\,EF=BD=8,

AF=AB+BF=5+l=6

I艮据勾股定理得尸2+EF。=用+8?=10

所以/C+CE的值最小值是10.

(3)

如图，如点C为线段AD上的一个动点，分别过点2,D做4BLBD,EDLBD,连接/C,EC.已

当48=3,DE=2,BD=\2,CD=x时，用含x的代数式表示“C+CE的长为Jx?+4+J(12-x)2+9

E

由(2)可知当/,C,£三点在一条直线上时，JX2+4+J(12_X>+9的最小值就是线段/£的

长.

A

过点E做AB的平行线交AB的延长线于点F,则BF=DE=2,EF=BD=U,

AF=AB+BF=3+2=5

根据勾股定理得尸2+EF。=6+12?=13

所以J/+4+J（12-X）2+9的值最小值是13.

【点睛】

本题主要考查勾股定理的应用，根据题意判断出最值时的情况并正确计算是解题的关键.

7.如图，在ZU2C中，BC=a,AC=b,AB=c,若/C为直角，如图1,则有结论：a2+b2=c2;

当4为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：

（1）分别猜想/C为锐角或钝角这两种情况下/+/与c2的大小关系；

（2）任选（1）中的一个猜想进行证明.

【答案】【解析】猜想：（1）当ZC为锐角时，a2+b2>c\当NC为钝角时，a2+b2<c\（2）当

4为锐角时，a2+b2>c\证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）猜想：若NC为锐角时，a2+b2>c\若/C为钝角时，a2+b2<c2.

（2）当/C为锐角时，过点/作于点D,设CD=x,贝无，利用/加=〃-，，

/Z）2=c2-（a-x）2即可证明；过点/作5c的垂线交2c的延长线于点设。〃=了，则

BM=a+y,利用,/M?=<?-（a+〉）?，即可证明.

【详解】

(1)猜想：若NC为锐角时，a2+b2>c2

若/C为钝角时，a-+b2<c2.

(2)当/C为锐角时，a2+b2>c2;证明如下：

如图，过点/作于点。，设CD=x,则

在直角三角形/CD中，AD2=b2-x2,

22

在直角三角形4BD中，AD=c-(a-Xy,

221111

'.b—X—c—{a—x),BPa+1)-=C+2ax-

Va>Q,x>0,

a2+b2>c2

当NC为钝角(如图)时，a2+b2<c2,证明如下：

如图，过点/作2c的垂线交8c的延长线于点设CM=y,^\\BM=a+y,

在直角三角形/CM中，AM1=b2-y2,

222

在直角三角形中，AM=c-(a+y),

'.b~~y1—c2—{a+y)~,Bpa1+b2=c2—lay.

Va>Q,y>0,

a2+b2<c2.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够构造出直角三角形.

8.已知：如图1,Rt"BC中,ZACB=90°,。为/B中点，DE、DF分别交4c于E,交BC于

F,>DELDF.

(1)如果C4=C3,求证：AE2+BF2=EF2；

(2)如图2,如果C/<C8,(1)中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理

由.

c

【解析】

【分析】

(1)过点/作/河〃2C,交ED延长线于点连接通过证明即可得出答

案(2)延长尸。至使DM=DF,连接/“、EM,根据(1)通过证明/，£尸=£加即可得

出答案.

【详解】

解答：

(1)证明：过点/作/河〃BC,交FD延长线于点M,(或将△尸8。旋转180。)

连接及口

'JAM//BC,

：.ZMAE=ZACB=90°,ZMAD=ZB.

\'AD=BD,ZADM=ZBDF,

：.AADM乌ABDF.

：.AM=BF,MD=DF.

XDE±DF,：.EF=EM.

：.AE^BF^AE^AM^E^EF2.

(2)成立.

证明：延长FD至M,使DM=DF,连接/"、EM.

•：AD=BD,ZADM=ZBDF,

AADM二ABDF.

：.AM=BF,ZMAD=ZB.

：.AM//BC.：.NMAE=NACB=90°.

又DELDF,MD=FD,：.EF=EM.

：.A^+B^AE^+A^E^EF1

【点睛】

本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

9.如图，在AA8C中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点尸从点A出发，以每秒1c%的速度沿折

线A.-N运动，设运动时间为f秒a>0).

K

(1)用尺规作线段的垂直平分线(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若点尸恰好运动到的垂直平分线上时，求t的值.

【答案】(1)见解析；(2)，的值为2弓5s或19

o2

【解析】

【分析】

(1)分别以为圆心，大于gAB为半径作弧，连接两户的交点即为线段的垂直平分线，

(2)勾股定理求出AC的长，当尸在AC上时，利用勾股定理解题，当P在4B上时，利用P2A=P2B解题.

【详解】

解：(1)分别以为圆心，大于为半径作弧，连接两户的交点即为线段N8的垂直平分线，有作

图痕迹；

XcB

(2)如图，在MA4cB中，由勾股定理得

AC=yjAB2-BC2=内与=4，

①当P在/。上时AP{=t,

/.PXC=4—/,PXA=PXB,PXB—t,

在及MCB中，由勾股定理得：

112

PXC+BC=PXB

即：(4-Z)2+32=(Z)2

解得：，==25s；

o

②当P在4B上时,=,

即："7=g,

19

,,t=—s

2

的值为U25s或：19S.

02

【点睛】

本题考查了尺规作图-垂直平分线，勾股定理的实际应用,会根据尸的运动进行分类讨论，建立等量关

系是解题关键.

10.如图，在A48C中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,动点尸从点C出发，按C—8—/的路

径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒.

(1)当?=1时，求的面积.

(2)/为何值时，线段/P是NC48的平分线？

(3)请利用备用图2继续探索：当f为何值时，是以NC为腰的等腰三角形？(直接写出结论)

(4)当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有个.

【解析】

【分析】

（1）根据速度为每秒2cm,求出出发2秒后CP的长，然后根据面积公式即可得到结果;

⑵如图1,由勾股定理得到AB=JAC2+BC?=10,根据已知条件得到A4CP咨△/£）「，于是得到

AD=AC=6cm,BD=AB-AD=4cm,根据勾股定理列方程即可得到结论；

⑶①如图2,若尸在边8c上时，AC=CP=6cm,此时用的时间为3s,41c尸为等腰三角形；②若

外在边上时，有两种情况：⑺若CP=/C=6cm,过C作作CD,AB于点。,，根据面积法求得

高为4.8cm,在放△PCD中，PD=3.6,所以NP=2P£»=7.2cm,所以PP运动的路程为

18-7.2=10.8cm,则用的时间为5.4s,△/4CP为等腰三角形（而）若使NP=G4=6cm,此时8P=4cm,P

运动的路程为8+4=12cm,所以用的时间为6s,'CP为等腰三角形；

（4）当p点在N3上运动时,先求出/C的取值范围，然后分点尸在点。两侧讨论即可.

【详解】

解：（1）当尸1时，PC=1x2=2,

'：AC=6,

：.S^c^AC-PC=^*6x2=6；

22

•,•^=7^C+JBC=IO,

根据题意得：4ACP会AADP,

：.AD=AC=6,BD=AB-AD=4,PD=PC=2t,

：.PB=S-2t,

在出中，PD2+BD2=PB2,

，(2。2+42=(8-2。2,

解得：E.5；

(3)因为△NC尸是以/C为腰的等腰三角形,

此时用的时间为Z=6+2=3,A4CP为等腰三角形;

②若尸在边上时，有两种情况：

若CP=AC=6,过C作作CDLAB于点D,根据面积法求得高为4.8cm,

在RtAPCD中，PD=[CP?-CD。=3.6,

所以4P=2尸。=7.2,

所以P运动的路程为18-7.2=10.8,

则用的时间为E0.8+2=5.4,A4CP为等腰三角形;

(访如图4,

若使/P=NC=6,此时8P=4,P运动的路程为8+4=12,

所以用的时间为尸12+2=6,ASCP为等腰三角形；

综上所述，当，为3s、5.4s、6s时，A4C尸为等腰三角形.

(4)因为当。点在上运动时，由图3知，4.8<CP<8,

当0点在。2上运动时,CP的整数值可为8,7,6,5；

当0点在DA上运动时,"的整数值可为6,5,

综上所述，当。点在上运动时，线段CP值为整数的点有6个.

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质和判定，勾股定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和等

腰三角形的性质定理是解题的关键.

11.阅读下面的材料，并解决问题：

(1)如图①，等边)3。内有一点P,若点尸到顶点/、B、C的距离分别是3、4、5,求/4PB

的度数.由于尸/、PB、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将声夕尸绕顶点”旋转到

△/CP处，此时.这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长

度转化到一个三角形中从而求出N/P8的度数；(求//尸8的度数)

(2)请你利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题：

如图②，在A48C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸为8c上的点且NE/245。，求证：

EF2=BE2+FC2.

【答案】(1)AABP,NAPB=150°；(2)见详解

【解析】

【分析】

(1)连接PP,由旋转的性质可直接进行求解，然后可得NPPC=90。，A4PP’是等边三角形，则

有ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C,进而问题可求解；

(2)把△N5E绕点/逆时针旋转90。得到点8与点C重合，连接ED,进而证明八4£尸名

/\ADF,可得DF=EF,ZB=ZACB=AA0)=45°,然后可得/Z)CF=90。，最后根据勾股定理可求

证.

【详解】

(1)解：由旋转的性质可得：AACP三AABP；连接PP,如图所示:

A

：.AP=AP=3,PC=5,BP=CP'=4,ZBAP=ZCAP',ZAP'C=ZAPB,

•.•△4BC是等边三角形，

/.ZBAC=60°,即N3/P+NP/C=60°,

APAC+ZCAP'=60°,即ZPAP'=60°,

A尸/P是等边三角形，

ZAP'P=60°,AP=PP'=3,

：.PH+P'C2=32+42=25=PC2,

APPC是直角三角形,即ZPPC=90。，

NAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=150°；

故答案为△48P;

(2)证明：把△/IBE绕点/逆时针旋转90。得到A4CD点8与点C重合，连接ED,如图所示:

由旋转的性质可得：CD=BE,AEAD=90°,AE=AD,AB=AACD,

；/C2=90。，AB=AC,

/.△4BC是等腰直角三角形，

NB=ZACD=ZACB=45°,

：.ZDCF=9G°,

,?ZEAF=45°,

：.ZEAF=ZDAF=45°,

:.LAEF咨AADF(SAS),

：.DF=EF,

在用△OCF中，DF2=DC2+CF2=BE2+CF2,

：.EF2=BE1+CF2.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握等腰直角三角形、

等边三角形的性质及勾股定理逆定理是解题的关键.

12.综合与实践

材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的“转化”,

把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易.它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离

散问题的思想.

材料二皮埃尔・德・费马(如图)，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为，业余数学家之王1638

年勒・笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相

关结论.

定义：若一个三角形的最大内角小于120。,则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120。,此时

该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当三个内角均小于120。时，费马点尸在内部，

此时NAPB=NBPC=ZCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

图4

(1)如图2,等边三角形/8C内有一点P,若点尸到顶点4瓦C的距离分别为3,4,5,求N/P3的度

数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△4AP绕顶点A旋转到A/CP处，连接PP,此时

△NCPMANBP,这样就可以通过旋转变换，将三条线段尸4尸3,PC转化到一个三角形中，从而求

出NAPB=°；

(2)如图3,在图1的基础上延长AP,在射线8尸上取点2石，连接使尸,NDAE=

/P4C,求证：BE=PA+PB+PC；

(3)如图4,在R/A/BC中，42。=90。,//。2=30。,/8=1,点2为尺以/8。的费马点，连接

AP,BP,CP,请直接写出尸/+尸8+尸。的值.

【答案】(1)150；(2)见解析；(3)近.

【解析】

【分析】

(1)根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及

等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

(2)根据题意，先证明是等边三角形，再证明=得到尸C=DE,然后即可得

到结论成立.

(3)将绕点3顺时