中考数学数学几何综合压轴题模拟练习（解析版）

一、中考几何压轴题

1.△ABC中，NBAC=a。，AB=AC,D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转a。，得到线

段AE,连接BE.

（1）（特例感知）如图1,若a=90,则BD+BE与AB的数量关系是

（2）（类比探究）如图2,若a=120,试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明.

（3）（拓展延伸）如图3,若a=120,AB=AC=4,BD=^,Q为BA延长线上的一点，将

2

2.如图，已知AABC和“DE1均为等腰三角形，AC=BC,DE=AE,将这两个三角形放置

在一起.

（1）问题发现：

如图①，当时，点8、。、E在同一直线上，连接CE,则

=°，线段BD、CE之间的数量关系是；

（2）拓展探究：

如图②，当NACB=/A£D=90。时，点8、D、E在同一直线上，连接CE,请判断/CEB的

度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题:

如图③，ZACB=ZAED=90°,AC=2下,AE=2,连接CE、BD,在人4£。绕点A旋转的

过程中，当时，请直接写出EC的长.

图①图②图③

3.（1）问题发现

如图1,△ABC与△AOE都是等腰直角三角形，且N&4C=NOAE=90。，直线BO,CE交于

点F,直线B。，AC交于点G.则线段B。和CE的数量关系是，位置关系是；

图1图2图3

（2）类比探究

如图2,在AABC和AAOE中，ZABC=ZADE=a,ZACB=AAED=^,,直线BD,CE交于

点F,AC与BO相交于点G.若AB=kAC,试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD和

CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

如图3,在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0）,点N为y轴上一动点，连接

MN.将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段/WP,连接NP,OP.请直接写出线段。P

长度的最小值及此时点N的坐标.

4.如图：两个菱形ABCD与菱形BEFG的边AB,BE在同一条直线上，边长分别为。和

b,点C在3G上，点M为CG的中点.

图①图②图③

（1）观察猜想：如图①，线段8M与线段AE的数量关系是.

（2）拓展探究：如图②，ZABC=120°,将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转至图

②位置，其他条件不变，连接

①猜想线段与线段AE的数量关系，并说明理由.

②求出线段与AE所成的最小夹角.

（3）解决问题：如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且空=空=百，请直接写出线

ABBE

段3M与线段AE的数量关系.

5.（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形A5CD中，ADEF的顶点E,尸分别在

AB,BC上（可与点A,B,C重合），且满足ZEDP=45。.△DEF的高线DG交线段£F

于点G（可与E,歹重合），设段

AD

（1）求％的值.

（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件"边长为1的正方形ABCD"改为"长

AB=8、宽AD=6的矩形ABCD"（其他条件不变）.

（2）判断左的值是否改变.若改变，请求出左的取值范围；若不改变，请证明.

（深入探究）在（模型构建）的基础上，设ADEF的面积为S.

（3）①求S的最小值；

②当S取到最小值时，直接写出DG与GB的数量关系.

6.随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从"重教轻学”向自主学

习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题.从数学的产生和发展历程来看分析，不

外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）.下面同学们从这三个方

面试看解决下列问题：

已知：如图1所示将一块等腰三角板RWN放置与正方形ABCD的重含，连接⑷V、

CM,£是AN的中点，连接BE.

图1图2

（观察猜想）

（1）CM与3E的数量关系是,CM与班•的位置关系是；

（探究证明）

（2）如图2所示，把三角板绕点B逆时针旋转呢0<&<90）,其他条件不变，线段

CM与班的关系是否仍然成立，并说明理由；

（拓展延伸）

（3）若旋转角1=45。，且ZNBE=2ZABE,求生的值.

BN

7.（阅读理解）

定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫“协和线"，该四边形

叫做“协和四边形

（深入探究）

（1）如图1,在四边形ABCD中，AB=BC,AD=CD,请说明：四边形ABCD是“协和

四边形

（尝试应用）

（2）如图2,四边形ABCD是"协和四边形"，80为"协和线"，AB±AD,ZADC=60°,

若点£、尸分别为边AD、0c的中点，连接BE,BF,EF.求：

①ADEF与ABEF的面积的比；

②/EB产的正弦值.

（拓展应用）

（3）如图3,在菱形A5CD中，AB=8,Z&W=120°,点、E、歹分别在边AD和BC

上，点G、K分别在边和。上，点N为旗与G尸的交点，点M在E尸上，连接

MN,若四边形3GE。都是"协和四边形"，"协和线"分别是G尸、HK,求MN

的最小值.

8.综合与实践

（问题背景）

如图1,矩形ABCD中，AB=10,BC=8.点E为边2C上一点，沿直线DE将矩形折叠,

使点C落在边的点C'处.

（图1）（图2）

（问题解决）

（1）填空：AC'的长为.

（2）如图2,将AOC'E沿线段向右平移，使点C'与点B重合，得到与

BC交于点F,DB与DE交于点G.求班的长；

（拓展探究）

（3）在图2中，连接GfEE,则四边形GEEF是平行四边形吗？若是，请予以证明；若

不是，请说明理由.

9.在AABC中，AB=AC,点D、E分别是3GAe的中点，将△€!走绕点C按顺时针方向

旋转一定的角度，连接3nAE.

观察猜想

图①图②

(1)如图①，当44c=60。时，填空:

①空=；

JBD--------------

②直线3nAE所夹锐角为

类比探究

AJ7

(2)如图②，当N54C=90。时，试判断黑的值及直线所夹锐角的度数，并说明

BD

理由；

拓展应用

(3)在(2)的条件下，若DE=O,将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在射线

AC上时，请直接写出AE?的值.

10.探究：如图1和图2,四边形488中，已知NBAO=90。，点E、F分别在

BC、CO上，NEAF=45°.

(1)①如图1,若NB、N/WC都是直角，把A/WE绕点A逆时针旋转90。至AADG,使

AB与AO重合，直接写出线段BE、OF和EF之间的数量关系；

②如图2,若NB、N。都不是直角，但满足NB+N。=180。，线段BE、OF和。之间的结

论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(2)拓展：如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2叵.点。、E均在边BC边

图3

(1)尝试探究：如图①，在AABC中，ZACB=90°,NA=30。，点E、尸分别是边

BC、AC上的点，且EFIIAB.

①尊的值为_________;

DtL

②直线AF与直线BE的位置关系为；

(2)类比延伸：如图②，若将图①中的ACEF绕点C顺时针旋转，连接A尸，BE,则在

旋转的过程中，请判断某的值及直线A/与直线BE的位置关系，并说明理由；

BE

（3）拓展运用：若BC=3,CE=2,在旋转过程中，当民瓦尸三点在同一直线上时，请

直接写出此时线段AF的长.

12.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.

（问题理解）

⑴如图1,点A、B、C在。。上，NABC的平分线交。。于点D,连接AD、CD.

求证：四边形ABCD是等补四边形；

（拓展探究）

（2）如图2,在等补四边形ABCD中，AB=AD,连接AC,AC是否平分NBCD?请说明理由；

（升华运用）

（3）如图3,在等补四边形ABCD中，AB=AD,其外角NEAD的平分线交CD的延长线于点

F.若CD=6,DF=2,求AF的长.

13.（1）问题发现

如图1,AABC是等边三角形，点D,E分别在边BC,AC上，若NADE=60。，则AB,CE,

BD,DC之间的数量关系是.

（2）拓展探究

如图2,AABC是等腰三角形，AB=AC,NB=a，点D,E分别在边BC,AC上.若NADE

=a,则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.

（3）解决问题

如图3,在AABC中，NB=30。，AB=AC=4cm,点P从点A出发，以lcm/s的速度沿

AfB方向勾速运动，同时点M从点B出发，以出cm/s的速度沿BfC方向匀速运动，当

其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM,在PM右侧作NPMG=

30。，该角的另一边交射线CA于点G,连接PC.设运动时间为t（s）,当AAPG为等腰三

角形时，直接写出t的值.

AA

A

图1

14.（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，NC=ND=90。，点E在边CD上,

AEDE

ZAEB=90°,求证:

（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，NONADC=90。，点E在边CD上，点F在边

EFAE

AD的延长线上，ZFEG=ZAEB=90°,且二二二一，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

EGEB

_Arr）p

（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，NAEB+NDEC=180。，且——=——，过E

EBEC

作EF交AD于点F,若NEFANAEB,延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

15.石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线

跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B

出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间.他们到达端点后立即转身折返，用时

忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇"包括面对

面相遇、在端点处相遇这两种.

（观察）

①观察图1,若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单

位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度.

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则

他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为个单位长度.

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为X个单位长度，他们第

二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与

x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段0P,不包括点0,如图2所示）

®a=;

②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象.

图2

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第

三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次

迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相

遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是.（直接写出结果）

16.（教材呈现）下图是华师版八年级下册教材第89页的部分内容.

例6：如图18.2.12,G、”是平行四边形ABC。对角线AC上的两点，且AG=CH,E、

F分别是边AB和CD的中点.

求证：四边形E”FG是平行四边形.

证明：连结。交AC于点。.

四边形ABC。是平行四边形，

AB=CD,ABWCD.

又,；E、F分别是AB、CD的中点，

AE=CF.

又「ABWCD,

/.ZEAO=NFCO.

又fZAOE=NCOF,

/.^AOE=^COF.

请补全上述问题的证明过程.

（探究）如图①，在AABC中，E,。分别是边48、AC的中点，D、F分别是线段A。、CO

的中点，连结DE、EF,将尸绕点。旋转180。得到△DGF,若四边形DEFG的面积为

8,则AABC的面积为.

（拓展）如图②，GH是正方形A8CD对角线AC上的两点，且AG=CH,GH=AB,E、F分

别是AB和C。的中点.若正方形ABCD的面积为16,则四边形EHFG的面积为.

图①图②

17.问题情境：两张直角三角形纸片中，ZBAC=ZDAE=90°.连接3D,CE,过点A作

30的垂线，分别交线段30,CE于点M,N（AABC与AADE在直线异侧）.

特例分析：

（1）如图1,当AB=AC=AD=AE时，求证：BD=2AN；

拓展探究：

ARAD1

（2）当弁二人=;，探究下列问题：

①如图2,当AB=AT＞时，直接写出线段8。与AN之间的数量关系：；

②如图3,当ABwAD时，猜想8。与AN之间的数量关系，并说明理由；

推广应用：

ARAn

（3）若图3中，嘿=第=左，设4RD的面积为S,则AACE的面积为一.（用含

ACAE

k,$的式子表示）

18.定义：如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以4M、MN、B/V为边

的三角形是一个直角三角形，则称点例、N是线段的勾股点.已知点M、N是线段A8

的勾股点，若AM=1,MN=2,则BN=.

（1）（类比探究）如图2,。£是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AMVMNV

NB）,连接CM、CN分别交。E于点G、H.求证：G、"是线段。E的勾股点.

（2）（知识迁移）如图3,C,。是线段的勾股点，以C。为直径画。O,P在。。上，

AC=CP,连结力，PB,若NA=2NB,求NB的度数.

2

（3）（拓展应用）如图4,点P（o,b）是反比例函数V=-（x>0）上的动点，直线

x

y=-尤+2与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D,且

交线段AB于E、F.证明：E、F是线段AB的勾股点.

19.综合与实践一一探究特殊三角形中的相关问题

问题情境：

某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE

按如图1所示位置放置，且及AABC的较短直角边48为2,现将如“LEF绕A点按逆时针

方向旋转a（0°<a<90。），如图2,AE与交于点AC与EP父于点N,BC与EF

交于点P.

备用图

（1）初步探究：

勤思小组的同学提出：当旋转角。=—时，AAMC是等腰三角形；

（2）深入探究：

敏学小组的同学提出在旋转过程中，如果连接"，CE,那么AP所在的直线是线段CE的

垂直平分线.请帮他们证明；

（3）再探究：

在旋转过程中，当旋转角a=30°时，求&4BC与ZXAfE重叠的面积；

（4）拓展延伸：

在旋转过程中，VCPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角a的度数；若不

能，说明理由.

20.综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过

程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法.

动手操作：如图①，矩形纸片ABC。的边4B=2后，将矩形纸片ABC。对折，使点4与点

D重合，点B与点C重合，折痕为EF,然后展开，EF与AC交于点H；

如图②，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在对角线AC上，且点B与点H重

合，展开图形，折痕为AG,连接G”；

若在图①中连接B"，得到如图③，点M是线段上的动点，点N是线段A”上的动

点，连接AM,MN,且NA/WN=NABH；

若在图②中连接B”，交折痕AG于点Q,隐去其它线段，得到如图④.

图①图③

解决问题:

(1)在图②中，AACB=—,BC=—=—，与A/WG相似的三角形有一个;

（2）在图②中，AH2=AE_（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；

（3）在图③中，AABH为—三角形，设BM为X,则MH=—（用含x的式子表示）；

拓展延伸：

（4）在图④中，将△ABQ绕点B按顺时针方向旋转a（00<a<180°）,得到△ABQ一连接

DQ',则0Q'的最小值为—，当tanzCBQ，=—时，△08Q'的面积最大值为.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考几何压轴题

1.（1）;（2）,见解析；（3）

【分析】

（1）根据SAS可证△ABE之△ACD,进而可得BE=CD,结合BD+CD=BC可得BD+BE=BC,再

根据等腰直角三角形中BC=即可证得；

（2）过点A

解析：（1）BD+BE=y[2AB;（2）BD+BE=43AB,见解析；（3）g

【分析】

（1）根据SAS可证△ABEV△ACD,进而可得BE=CD,结合BD+CD=BC可得BD+BE=BC,再

根据等腰直角三角形中BC=血AB即可证得+=

（2）过点A作AH_LBC,根据NBAC=120°,AB=AC可得NABC=30°,BH=：BC,贝l]

BC=y/3AB,由（1）可知BD+BE=BC,由此即可得aD+BE=4AB;

（3）过Q点作QFIIAC交BC延长线于点F,先证NBQF=120。，BQ=QF,进而可由（2）同

理可知，AQBE2AQFD,BD+BE=43BQ,进而可证得/EBD=60。，再根据

cosNEBD="^=cos6CT=）可求得BE=28£）=2x]百=34，进而求得=最后根据

BE222

AQ=BQ—AB即可得到答案.

【详解】

解：（1）BD+BE=/2AB

理由如下：

,/ZEAD=ZBAC=90°

/.ZEAB=ZDAC

在^ABE与XACD中,

AB=AC

<ZEAB=ZDAC

AE=AD

「.△ABEM△ACD(SAS)

/.BE=CD,

BD+CD=BC

BD+BE=BC

,/在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

BC=V2AB

BD+BE=^2AB;

(2)结论：BD+BE=6AB，

理由如下：

过点A作AHJ_BC,

,/ZBAC=120°,AB=AC

「.NABC=30。，BH=-BC

2

.,BHoJ3

在RtAABH中，cosZABH=——=cos30°=—

AB2

BH=—AB,

2

BC=43AB

由(1)同理可矢口BD+BE=BC,

:BD+BE=^AB；

(3)过Q点作QFIIAC交BC延长线于点F,

BD

ZBAC=120°,AB=AC

：.ZABC=ZACB=30°

：.ZQFC=ZQBF=30°,ZBQF=120°

/.BQ=QF

由（2）同理可知，△QBE垩△QFD,BD+BE=6B。

ZEBQ=ZQFB=30°,BE=DF

ZEBD=6Q0

・；DEtBC

BDi

cosZEBD==cos60°=—

BE2

:.BE=2BD=2x--/3=3y/3

2

■：BD+BE=y/3BQ

:.^y/3+3y/3=s/3BQ

9

BQ=39

：.AQ=BQ—AB二.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形的应用，熟

练掌握相关图形的判定及性质以及能够作出正确的辅助线是解决本题的关键.

2.（1）；（2）,理由见解析；（3）CE的长为2或4,理由见解析.

【分析】

（1）证明，得出CE=BD,,即可得出结论；

（2）证明，得出，，即可得出结论；

（3）先判断出，再求出：

①当点E在点D

解析：（1）60,BD=CE-,（2）NCEB=45。,BD=42CE,理由见解析；（3）CE的长为

2夜或4后，理由见解析.

【分析】

（1）证明AACE=AAB。，得出CE=BD,ZAEC=ZADB,即可得出结论；

（2）证明AACESAABD,得出=BD=y/iCE，即可得出结论；

（3）先判断出2£）=应CE，再求出48=2而：

①当点E在点。上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2,再根据勾

股定理求出，BP=6,得出8。=4；

②当点E在点。下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1,BP=6,进而得出BO=BP+DP

=8,即可得出结论.

【详解】

解：（1）△ABC为等腰三角形，AC=BC,ZACB=60°,

△ABC是等边三角形，

同理可得石是等边三角形

­.­ABAD+ADAC=ADAC+/CAE=60°

ZBAD=ZCAE

AD=AE

<AB=AC

NEAC=NDAB

.-.△ACE^AABD（SAS）

:.BD=CE

・・・/AEC=/ADB=180。—ZADE=120°

ZAEC=ZAED+ZCEB

Z.CEB=60°

故答案为：ZCEB=60°；BD=CE.

（2）ZCEB=45°,BD=6CE，理由如下：

在等腰三角形，BC中，AC=BCfZACB=90°,

AB=y/2AC,NC4B=45。，

同理，AD=6AE,ZADE=ZDAE=45°，

APAT

・・•黑二去，ZDAE=NCAB,

ADAB

:・/EAC=ZDAB,

..^ACE^^ABD,

二变=四=夜，

CEAE

•••ZAEC=ZADB,BD=41CE，

•・,点B、D、E在同一条直线上：

/.ZADB=180°-ZAT>E=135°

/.ZAEC=135°

/.ZCEB=ZAEC-ZAED=45°；

（3）由（2）知，AACES^ABD,

BD=yfz（JE，

在吊△ABC中，AC=2小,

AB=4iAC=2回,

①当点E在点。上方时，如图③，

过点4作交BD的延长线于P,

\-DE.LBD,

/.ZPDE=ZAED=ZAPD,

二.四边形4PDE是矩形，

•・•AE=DE,

矩形APDE是正方形，

:.AP=DP=AE=^2,

在H4AP3中，根据勾股定理得，BP='AB。-AP』6，

:.BD=BP-AP=4,

:.CE=~BD=2y/2.

A/2

②当点E在点。下方时，如图④

同①的方法得，AP=DP=AE=2,BP=6,

:.BD=BP+DP=8,

:.CE=4=BD=4啦,

J2

综上CE的长为2及或40.

图③

图④

【点睛】

本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角

形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是

关键.

3.(1)BD=CE,BD_LCE,理由见详解；(2)AB=kAC,180°-a-P；(3)

N(0,3),OP的最小值为3

【分析】

(1)先证明AABD2△ACE,从而得BD=CE,NABD=NACE

解析：(1)BD=CE,BD_LCE,理由见详解；(2)AB=kAC,18O°-a-0；(3)N(0,3),OP

的最小值为3

【分析】

(1)先证明△AB。合△ACE,从而得BD=CE,NABD=NACE,AGB=ZFGC,即可

得到结论；

ARAn

(2)先证明AABCSA/WE,—=—,结合NBAD=NCAE,BT^AS/\D-^CAE,进

ACAE

而即可得到结论；

(3)把AOP/W绕点M顺时针旋转90。得到AO7yM(P与N重合)，则

OM=O,M,Or(3,3),OP=O'P,进而即可求解.

【详解】

角轧(1)BD=CE,BDLCE,

・・•△ABC和aADE都是等腰直角三角形，

/.AB=AC,AD=AEfNBAC=NDAE=90°,

,/ZBAD=NBAC-NDAC,ZCAE=ADAE-ADAC

/.ZBAD=NCAE,

在△AB。和△ACE中，

AB=AC

・「<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

「.△ABD^△ACE,

，BD=CE,NABD=NACE,

NAGB=NFGC,

/.ZCFG=NB/1G=90o,即BD工CE,

故答案是：BD=CE,BD±CE；

(2)：NABC=NADE=a,NACB=NAED=0,

/.△ABCsAADE,

.ABAD

-AC-AE?

「ZABC=Z.ADE=a,ZACB=Z.AED=6,

/.ZBAC=NDAE,

/.ZBAD:NCAE,

/.△8AOs>CAE,

BDAB7

ZABD=2LACE,——=——=k

CEAC

又「ZAGB=NFGC,

：.ZBFC=NBAC=1800-AABC-NACB=180°-a-6,

AB=kAC,直线BO和CE相交所成的较小角的度数为：180°-a-6；

(3)由题意得：MN=MP,ZNMP=90°,

把△OPM绕点M顺时针旋转90。得到AO7yM(P与N重合)，则a0_LO'M,

OM=O'M,

•••点M的坐标为(3,0),

.O'(3,3)

AOPM咨AO'PM,

OP=O'P',即线段OP长度最小时，O'P'的长度最小，

.,.当O'PJ_y轴时，O'P的长度最小，此时0(0,3),

:.N(0,3),OP的最小值为3.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋

转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键.

4.(1)；(2)①，理由见解析；②线段与所成的最小夹角为60；(3).

【分析】

(1)根据已知求得AE=a+b,CG=b-a,根据线段中点的定义求得CM=,通过计

算即可求解；

(2)①延长BM

解析：(1)BM=^AE.(2)@BM=^AE,理由见解析；②线段8M与AE所成的最

小夹角为60。；(3)BM=—AE.

2

【分析】

(1)根据已知求得AE=a+b,CG=b-a,根据线段中点的定义求得C/W=1b-1匹通过计算

22

即可求解；

(2)①延长B/W到从使连接GH,利用SAS证明△C7WB三△G/W”和

△ABE=4HGB,即可得到结论；

②延长MB交AE于N,证明NGBE=NBNE=60。，即可求解；

(3)延长BM到H,使连接GH,同理证明△△GMH,再证明

AABE-AHGB,即可求解.

【详解】

(1)BM=^AE,理由如下：

•••菱形ABCD与菱形BEFG的边长分别为a和b,

AE=AB+BE=a+b,CG=BG-BC=b-a

■.・点M为CG的中点，

111

/.CM=—CG=—7b--a,

222

/.BM=BC+CM=a+-b--a=-a+-b=-(a+bY

22222V7

/.BM=-AE；

2

(2)@BM=^AEf理由如下：

延长BM到H,使MH=BM,连接G”，如图:

H

♦.,点M为CG的中点，

/.CM=MG,

'：ZCMB=NGMH,

：.△CMB=^GMH(SAS),

/.ZBCM=NHGM,BC=HG,

BCWGH,

/.ZBGH+NCBG=180°,

,/菱形4BC。与菱形BEFG中，ZABC=120°,ZGBE=60°,

：.ZABE+NCBG=180°,

/.ZABE=/BGH,

AB=BC=HG,BE=BG,

/.△ABE=LHGB(SAS),

/.AE=HB=-AE；

2

②线段8M与AE所成的最小夹角为60。，理由如下：

,/△ABE=LHGB,

：.ZAEB;NBHG,

延长MB交4E于N,

贝！JNMBE=NBNE+NAEB,即NHBG+NGBE=NBNE+NAEB,

/.ZGBE=4BNE=6Q°,

「•线段BM与A石所成的最小夹角为60°；

(3)BM=—AE,理由如下：

2

延长8M到H,使连接GH,如图：

同理可得：△CMB=△GMH(SAS),

/.ZBCM=NHGM,BC=HG,

「•BCWGH,

...ZBGH+NCBG=180°,

,/矩形ABCD与矩形BEFG中，ZABC=NGBE=90°f

/.ZABE+NCBG=180°,

/.ZABE=ABGH,

・工里=6

ABBE

二四=些=5

ABBE

/.△ABE-HGB,

.•胆3=6,

AEBE

---BM=-BH,

2

.BM=—AE.

2

【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性

质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助

线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

5.(1)=1；(2)改变，；(3)①二；②GB=()DG.

【分析】

(1)利用三点共线，可以求出k=l；

(2)当点G与点E重合时，DG取最小值，当点F与点C重合时，DG取最大

值，进而求出k的取

解析：（1）Z=l；（2）改变，巫4A4巫；（3）①S=J；②GB=（&-1）

358

DG.

【分析】

（1）利用三点共线，可以求出k=l；

（2）当点G与点E重合时，0G取最小值，当点F与点C重合时，0G取最大值，进而求

出k的取值范围；

（3）①设BE=m,BF=n,利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解；

②根据①求出的EF=2后-2,由于AOEF为等腰三角形，EF为底，所以G为EF中点，易

得GB=6_1，进而可以求出GB=（V2-1）DG.

【详解】

如图1所示，把AOAE,ADCF分别沿着OE、DF翻折，

图1

,••在正方形ABC。中，ZADC=ZDAB^ZDCB=90°',AD=CD,

ZADE+ZCDF=ZADC-ZEDF=90°-^°=^5°,

二翻折后，AD,CD重合.

设重合线为AG，，则/。G七=/。64=90°,

■.DG'lEF,且£、G\F三点共线，则G在EF上。

又；DG1EF,

:.DG'与DG重合，

:.DG=DG'=AD.

.,DG4

••k==1.

AD

（2）k的值发生改变.

①如图2所示，当点G与点E重合时，0G取最小值，

C

D

\F

,TE(G)图2B

NDEF=90°

又ZEDf=45°,

.1△DEF是等腰直角三角形，则OE=EF.

易证MDE"4BEF,

AD=BE=6,

--AE=AB-BE=8-6=2f

在RtAAOE中，由勾股定理，得DE=JAE。+4?2=422+62=2而'，

.,DGV10

■■k--...-.......

minAD~3

②如图3所示，当点F与点C重合时，0G取最大值，

D底-----------,C(n

s

图3E

•・•ZEDC=45°,

AB//DF,贝!|NAED=NEDC=45。，

ADAE是等腰直角三角形，则AD=AE=6,

■.BE=AB-AE=8-6=2,

，在RtAEBC中，由勾股定理得：CE=^BE2+BC2=V22+62=2>/10，

白、/DGCDCD-CF_8x6_12A/10

易证ADGC~ACBE,—=——，即DG=---------

CBECEC2.7105

一吃”,

AD5

综上所述，邛…T

(3)①设BE=m,BF=n,

易知ABE尸的周长为2.

m+n+EF=2

m2+n2=EF2'

一元二次方程a/+法+。=0(@wO)有求根公式:

-b+y/b2-4ac—b—yjb2—43c

x,=----------‘x2----------------，

2a2a

以+—b+J12-4〃c+—b—1b~-4〃cb

2a2aa

—b+J/—4-c—b—"2—4—c

X-X=-------------------------------=—，

92a2aa

则m,n是关于x的方程V+(绪-2)x+2-2绪=0的两个实数根，

12-EF¥-4(2-2EF)>0

<2-EF>Q，解得：2万-2<EF<\-

2-2£F>0

■.■S=^DG-EF=^EF,

二当£尸=2阪一2时，S取最小值近-1.

②:△DEF为等腰三角形，EF为底,

.•.G为EF中点，易得GB=gEF=g_1,

,GB-1

•----=-------

DG1

GB=(V2-1)DG.

【点睛】

本题考查了正方形、矩形、等腰三角形的性质及一元二次方程的灵活运用，有一定的难

度，解题关键是画出正确的图形进行解答.

6.(1)CM=2BE,CM_LBE；(2)成立，理由见解析；(3)

【分析】

(1)设证明，由点是的中点，得到，进而求解；

(2)证明和，得到，，进而求解；

(3)证明，过点作于点，设，贝必，贝人即可求

解析：(1)CM=2BE,CM工BE；(2)成立，理由见解析；(3)"十④

2

【分析】

(1)设证明AABN=ACBM(S4S),由点E是AN的中点，得至U==,进而求

解；

(2)证明AAEFMAA石B(S4S)和AMBMAMBC(SAS),得至(JCM=B尸=28E,ZBCM=ZABF,

进而求解；

(3)证明N浏"=30。，过点C作于点G,设CG=m,贝l」5C=圆,

MG=y/3m,则也=9/=石/一相，即可求解.

【详解】

解：(1)设⑷V交CM于点”，

图1

QABMN为等腰直角三角形，

BM=BN,

•：AB=BC,ZABN=Z.CBM=90°,

:.AABN=^CBM(SAS),

,\AN=CM,ZBAN=ZBCM,

•・・点£是⑷V的中点，贝！==,即CM=25£,

:.ZEBN=ZENB,

:.ZHBC+ZHCB=ZANB+ZBNA=90°,

即CM_L优，

故答案为：CM=2BE,CM±BE；

(2)CM=2BE,CM工BE,仍然成立.

如图所示，延长BE至F使EF=BE,连接AT7,

AE=EN,ZAEF=ZNEB,

AAEF=ANEB(SAS),

:.AF=BN,/F=/EBN,

：.AF//BN,AF=BM,

:.ZFAB+ZABN=1SO°,

ZMBC+ZABN=ZABC+ZABM+ZABN=900+90°=lS0°,

.\ZFAB=ZMBC9

­/AB=BCfBM=BN=AF,

/\FAB=AMBC(SAS),

,\CM=BF=2BE,ZBCM=ZABFf

•：AABF+AFBC=90°,

.\ZBCM+ZFBC=90°9

:.BE±CM；

(3)由a=45°得ZMBA=ZABN=45。，

•・・ZNBE=2ZABE,贝!j/AB石=15。，

由(2)知//1£8=/45石=15。，ZMBC=135°,

.\ZBMC=30°,

过点C作CGJ_于点G,设CG=m,则5C=，MG=y/Sm,

图3

/.MB=BN=—m，

.BC_41m_A/6+y/2

BN垂tm—m2

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、直角三角形中线定理、解直角三角形、

三角形全等等，综合性强，难度较大.

7.（1）证明见解析；（2）①；②；（3）.

【分析】

（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据“协

和四边形”的定义即可得证；

（2）①先根据"协和四边形"的定义、三角形全等的

解析：（1）证明见解析；（2）①3:5；②至；（3）273.

-14

【分析】

（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得

加D=NCBD,ZADB=NCDB,再根据“协和四边形”的定义即可得证；

（2）①先根据“协和四边形”的定义、三角形全等的判定定理可得△加三ACBD,从而可

得AD=CD,再根据等边三角形的判定与性质可得EF=DE=DF,BD±EF,OE.EF,

然后设EF=DE=DF=2a,解直角三角形可得30=半a,00=6。，从而可得

0B=^a,最后利用三角形的面积公式即可得；

3

②如图（见解析），设EF=DE=DF=2a,先利用勾股定理可得BP=BE=2叵a,再

3

利用三角形的面积公式可得EH=%夕。，然后根据正弦三角函数的定义即可得；

7

（3）如图（见解析），先解直角三角形可得=46，再根据菱形的性质、平行线的性

质可得ZEBF=ZBEP,从而可得ZNEM=/BEP,然后根据垂线段最短可得当MN_L

时，MN取得最小值，最后根据相似三角形的判定与性质即可得.

【详解】

证明：（1）如图，连接3。，

AB=BC

在△AfiD和ACBD中，\AD=CD,

BD=BD

AABD=£BD(SSS),

ZAB£>=NCBD,ZADB=NCDB,

..3。平分ZABC和/ADC,

■■四边形ABC。是"协和四边形"；