北师版九年级数学上册期末复习考题猜想 专题07 二次函数（考题猜想易错必刷50题9种题型专项训练）

专题07二次函数（易错必刷50题9种题型专项训练）二次函数的图象二次函数的性质二次函数图象与系数的关系二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与几何变换抛物线与x轴的交点二次函数与不等式（组）二次函数的应用二次函数综合题一．二次函数的图象（共2小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．二．二次函数的性质（共5小题）3．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（）A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小4．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限5．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+10的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是．6．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+1，当1≤x≤4时，函数的最大值为．7．对任意实数a，b，记min{a，b}＝已知实数t＞0，若定义函数：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}．（1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值；（3）求函数f（x）当﹣1≤x≤1时的最大值．三．二次函数图象与系数的关系（共5小题）8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜111．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜112．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点．（1）求b的值；（2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点；（3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围．四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y314．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为．五．二次函数图象与几何变换（共2小题）15．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣216．一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（）A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12六．抛物线与x轴的交点（共8小题）17．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣7.21﹣7.20﹣7.19﹣7.18﹣7.17…y…﹣0.04﹣0.030.010.020.03…则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（）A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.1718．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小19．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤420．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣221．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为．22．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②当x＝1时，函数有最大值4；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4．其中所有正确结论的序号是．23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是．24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是．七．二次函数与不等式（组）（共3小题）25．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是．26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．27．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为．八．二次函数的应用（共15小题）28．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（）A． B．3 C．8 D．1029．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（米）与经过时间t（秒）的关系式为h＝12t﹣6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．12米30．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为米．31．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是米．32．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了米．33．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽AB＝米．34．某商品进价为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则在涨价的情况下，可获得最大利润元．35．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是，此时每千克的收益是．36．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物．（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？37．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为m．38．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？39．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？40．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．41．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动．（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．42．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？九．二次函数综合题（共8小题）43．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．（1）求抛物线的解析式和b值；（2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．47．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．49．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），与y轴交于点C，已知OA＝1，OB＝4OA，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当S△BCP＝S△BOC时，求点P的坐标；（3）如图2，点N为线段OC上一点，求AN+CN的最小值．50．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣5），连接BC．N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M．（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；（2）求线段NM的最大值；（3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

专题07二次函数（易错必刷50题9种题型专项训练）二次函数的图象二次函数的性质二次函数图象与系数的关系二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与几何变换抛物线与x轴的交点二次函数与不等式（组）二次函数的应用二次函数综合题一．二次函数的图象（共2小题）1．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．2．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C．D．【答案】B【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．解法二：①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；故选：B．二．二次函数的性质（共5小题）3．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（）A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．若x＜3，则y＜0 C．x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根 D．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小【答案】B【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4，∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故A正确，不合题意；对于B，结合图象可得若x＜3，则y≤0，∴B错误，符合题意；对于C，∵函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示，∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个．∴方程x3﹣3x2﹣kx+2k＝0最多有三个实数根，故C正确，不符合题意；对于D，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，∴D正确，不合题意．故选：B．4．对于抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．当x＝2时，y有最大值﹣1 C．若点A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1上，则y1＞y2 D．经过第一、二、四象限【答案】D【解答】解：由题意，∵抛物线y＝3（x﹣2）2﹣1，又a＝3＞0，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A错误，不合题意．∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y取最小值为﹣1，故B错误，不合题意．由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．∵抛物线的对称轴是直线x＝2，又|3﹣2|＝|1﹣2|，∴y1＝y2，故C错误，不合题意．∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过三象限，故D正确，符合题意．故选：D．5．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+10的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是（﹣2，6）或（1，9）．【答案】（﹣2，6）或（1，9）．【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD．∵A、B关于直线y＝x对称，设A（a，b），∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形．∴B（b，a）．∵AB＝．∴8＝．∴（8）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2．∴128＝2（b﹣a）2．∴（b﹣a）2＝64．∴b﹣a＝8或b﹣a＝﹣8（舍去），∴b＝a+8．又∵A（a，b）在y＝﹣x2+10上，∴b＝﹣a2+10．∴a+8＝﹣a2+10．∴a2+a﹣2＝0．∴a1＝﹣2，a2＝1．①当a1＝﹣2时，b＝a+8＝﹣2+8＝6，∴点A的坐标为（﹣2，6）．②当a2＝1时，b＝a+8＝1+8＝9，∴点A的坐标为（1，9）．故答案为：（﹣2，6）或（1，9）．6．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣5）2+1，当1≤x≤4时，函数的最大值为0．【答案】0．【解答】解：∵a＝﹣1，抛物线对称轴是直线x＝5，∴x＜5时，y随着x的增大而增大，∵1≤x≤4，∴x＝4时，y有最大值＝0；故答案为：0．7．对任意实数a，b，记min{a，b}＝已知实数t＞0，若定义函数：f（x）＝min{x2，x2﹣x+t}．（1）求使得等式f（x）＝x2﹣x+t成立的x的取值范围；（2）求函数f（x）的最小值；（3）求函数f（x）当﹣1≤x≤1时的最大值．【答案】（1）x≥t；（2）当x＞t时，f（x）最小值为，当x≤t时，f（x）最小值为0；（3）1．【解答】解：（1）由题可知：x2＞x2﹣x+t，解得x＞t；（2）当x≤t时，f（x）＝x2，∵t＞0，∴当x＝0时，f（x）有最小值0；当x＞t时，f（x）＝，∴当x＝时，f（x）＝，∴当x＞t时，f（x）最小值为，当x≤t时，f（x）最小值为0；（3）由题可知﹣1≤x≤1，当0＜t≤时，有两种情况如下：当﹣1≤x≤t时，f（x）＝x2，当x＝﹣1时，f（x）有最大值为1；当t＜x≤1时，f（x）＝x2﹣x+t，当x＝1时，f（x）有最大值为t＜1．∴当﹣1≤x≤1时，f（x）最大值为1．三．二次函数图象与系数的关系（共5小题）8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①b2＞4ac；②4a+b＝0；③4a+c＞2b，④﹣3b+c＞0，⑤若顶点坐标为（2，4），则方程ax2+bx+c＝5没有实数根．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，且抛物线过（﹣1，0），∴抛物线必过点（2+3，0），即（5，0）．∴抛物线与x轴有两个交点．∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确．∵抛物线的对称轴是直线x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a，则4a+b＝0，故②正确．∵由图象可得当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故③错误．∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c又b＝﹣4a，∴﹣4a＝a+c，故c＝﹣5a．∴﹣3b+c＝﹣3×（﹣4a）﹣5a＝7a，∵抛物线的开口向下，a＜0，∴7a＜0，故④错误．∵顶点坐标为（2，4），又抛物线开口向下，∴抛物线y＝ax2+bx+c有最大值为4．∴直线y＝5与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点．∴方程ax2+bx+c＝5没有实数根，故⑤正确．综上，正确的有3个．故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③a﹣b+c＞0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：由题意，由图象可得，a＞0，c＜0．又﹣＝﹣，∴b＝a＞0．∴abc＜0，故①错误，②正确．又由图象知，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误．∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确．综上，正确的有：②④．故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为P，当△OAP为锐角三角形时，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣2 C．m＜﹣2或m＞1 D．﹣2＜m＜1【答案】D【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3；当x＝0时，y＝3，由题意，如图．当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，则x＝m±2，则点P（m+2，3），当△OAP为锐角三角形时，∴0＜m+2＜3．∴﹣2＜m＜1．故选：D．11．已知二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥ C．＜m＜1 D．≤m＜1【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+2m﹣1的图象只经过三个象限，∴开口方向向上，其对称轴为x＝﹣1，则＜0，2m﹣1≥0，解得≤m＜1．如图：故选：D．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点．（1）求b的值；（2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点；（3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围．【答案】（1）b＝﹣2；（2）证明见过程；（3）a＜0或a＞1．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点，∴a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②．∴②﹣①得，2b＝﹣4．∴b＝﹣2．（2）由（1）得，b＝﹣2，又a﹣b+c＝3，∴a+c＝1．∴c＝1﹣a．∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a）＝4﹣4a+4a2＝（2a﹣1）2+3．∵对于任意的a都有（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+3≥3＞0．∴该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点．（3）由题意，∵该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0），∴mn＝＝．又mn＜0，∴＜0．①当a＜0时，∴1﹣a＞0．∴a＜1．∴a＜0．②当a＞0时，∴1﹣a＜0．∴a＞1．综上，a＜0或a＞1．四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）13．若A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】B【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝x2+4x﹣m＝（x+2）2﹣4﹣m，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且抛物线开口向上．∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．∵A（﹣1，y1），B（﹣5，y2），C（0，y3），且﹣1﹣（﹣2）＝1＜0﹣（﹣2）＝2＜﹣2﹣（﹣5）＝3，∴y1＜y3＜y2．故选：B．14．在直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），若抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为﹣2≤n＜1或n＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2与线段OA有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0或，解得，﹣2≤n＜1或n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1或n＝2．五．二次函数图象与几何变换（共2小题）15．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2【答案】B【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．故选：B．16．一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（）A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12【答案】D【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2﹣bx+3＝2（x2﹣x+）+3﹣＝2（x﹣）2+3﹣，又向左平移6个单位长度，∴所得的解析式为y＝2（x﹣+6）2+3﹣．又结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x+）2+3﹣，∴﹣+6＝．∴b＝12．故选：D．六．抛物线与x轴的交点（共8小题）17．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣7.21﹣7.20﹣7.19﹣7.18﹣7.17…y…﹣0.04﹣0.030.010.020.03…则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（）A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19 C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17【答案】B【解答】解：由题意，抛物线随x的增大而增大，又∵当x＝﹣7.20时，y＝﹣0.03＜0，而当x＝﹣7.19时，y＝0.01＞0，∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19时，必有有一个x的值使得y＝0．∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19．故选：B．18．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分y随x的增大而减小【答案】D【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点（0，6），故A、B正确．根据表格数据可得抛物线对称轴是直线x＝＝，故C正确．∵a＝﹣1＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故D错误．综上，错误的是D．故选：D．19．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4【答案】D【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，当22﹣4（k﹣3）≥0，k≤4即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．综上k的取值范围是k≤4．故选：D．20．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2【答案】C【解答】解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，∴点A1的坐标为（3，0）．由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．∵2020＝336×6+4，∴当x＝4时，y＝m．由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．故选：C．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝4，则另一个根为x＝﹣2．【答案】x＝﹣2．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，根据根与系数的关系得4+x＝﹣＝﹣＝2，解得x＝﹣2，即方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根为x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．22．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小蕾同学画出“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②当x＝1时，函数有最大值4；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m≤4．其中所有正确结论的序号是①③．【答案】①③．【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即图象与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），令x＝0，得y＝3，即图象与y轴的交点为（0，3），即图象与坐标轴的交点（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正确．由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故②错误．根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确．由图象可知，函数与直线y＝m有4个公共点，则m的取值范围是0＜m＜4，故④错误．故答案为：①③．23．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：对于y＝x2﹣4x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，解得x＝1或3，故点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（1，0）、（3，0），函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，则点D（4，3），过点D作y轴的对称点H（﹣4，3），连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH＝ED，则DE+EF＝HE+EF＝HF为最小，则DE+EF最小＝HF＝HB﹣1＝﹣1＝﹣1．故答案为：﹣1．24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是m＝0或m＞4．【答案】见试题解答内容【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．故答案为m＝0或m＞4．七．二次函数与不等式（组）（共3小题）25．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1）、B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3．【答案】﹣1≤x≤3．【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故答案为：﹣1≤x≤3．26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．【答案】﹣1＜x＜3．【解答】解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，∴﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．27．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），∴根据图象可知，不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3；故答案为：x＜1或x＞3．八．二次函数的应用（共15小题）28．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（）A． B．3 C．8 D．10【答案】D【解答】解：由题意，当y＝0时，则﹣x2+x+＝0，解得x＝﹣2（舍去）或x＝10．故选：D．29．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（米）与经过时间t（秒）的关系式为h＝12t﹣6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（）A．4米 B．6米 C．8米 D．12米【答案】D【解答】解：由题意，h＝12t﹣6t2＝﹣6（t﹣1）2+6．又∵﹣6＜0，∴当t＝1时，h有最大值，最大值是6．∴球距离地面的最大高度是6米．∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是12米．故选：D．30．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为了给行人提供生命保障，在该拱桥上距水面AB高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为10米．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意，由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10，得：8＝﹣x2+10，∴x＝±5．∴由两点间距离公式可求出EF＝10（米）．故答案为：10．31．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣38，烟花可以达到的最大高度是12米．【答案】12．【解答】解：由题意，∵y＝﹣0.5x2+10x﹣38＝﹣0.5（x﹣10）2+12，又a＝﹣0.5＜0，∴当x＝10时，烟花可以达到的最大高度，最大高度是12米．故答案为：12．32．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）与行驶时间t（单位：秒）满足下面的函数关系：S＝12t﹣4t2（t≥0）．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了9米．【答案】9．【解答】解：由题意，∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9，∵a＝﹣4，∴当t＝时，前行的距离最大，最大距离为9米，∴汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米．故答案为：9．33．如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽AB＝8米．【答案】8．【解答】解：由题意，当拱顶到水面的距离为4米时，∴令y＝﹣4，得﹣4＝﹣x2．∴x＝±4．∴A（﹣4，﹣4），B（4，﹣4）．∴AB＝4﹣（﹣4）＝8（米）．故答案为：8．34．某商品进价为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出10件，则在涨价的情况下，可获得最大利润4000元．【答案】4000．【解答】解：设涨价x时，∴每星期售出商品的利润为y＝（60﹣50+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000．∴当x＝10时，y有最大值，最大值为4000．∴定价为60+10＝70（元）．答：每件商品定价为70元时利润最大，最大利润为4000元．故答案为：4000．35．某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是9时，此时每千克的收益是元．【答案】见试题解答内容【解答】解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为：y1＝kx1+b，将（5，10）（6，8）代入解得k＝﹣2，b＝20，所以y1＝﹣2x1+20设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：y2＝a（x2﹣10）2+3将（6，7）代入，解得a＝所以y2＝（x2﹣10）2+3＝x22﹣5x2+28设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，根据题意，得y2＝x22﹣5x2+28＝（﹣2x1+20）2﹣5（﹣2x1+20）+28＝x12﹣10x1+28w＝x1﹣y2＝x1﹣（x12﹣10x1+28）＝﹣x12+11x1﹣28＝﹣（x1﹣）2+当x1＝时，y1＝﹣11+20＝9，w取得最大值，最大值为．答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，此时每千克的收益是元．故答案为：9时，元．36．2023年成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个32元的价格购进了一批蓉宝吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个蓉宝吉祥物．（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？【答案】（1）20%；（2）网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．【解答】解：（1）由题意，设每次上涨的百分率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每次上涨的百分率为20%．（2）由题意，设每个售价为x元，∴每天的利润w＝（x﹣32）[200+10（72﹣x）]＝﹣10x2+1240x﹣29440＝﹣10（x﹣62）2+9000．∴当x＝62时，每天的最大利润为9000．∴网店每个应降价（72﹣62）元，即网店每个应降价10元．答：网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为9000元．37．如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为1.25m的水管OA，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离OB为2.5m，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离OD为1m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离水池中心O的水平距离x（m）之间的关系式，并求水流最大竖直高度CD的长；（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管OA的高度增加0.64m时，则水流离喷水池中心O的最远水平距离为2.7m．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5）；2.25m；（2）2.7．【解答】解：（1）由题意，A点坐标为（0，1.25），B点坐标为（2.5，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），∵抛物线经过点A，点B，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣1）2+2.25（0≤x≤2.5）．∴x＝1时，y＝2.25．∴水流喷出的最大高度为2.25m．（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，∴可设抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+m．又此时A为（0，1.89），∴1.89＝﹣1+m．∴m＝2.89．∴抛物线为y＝﹣（x﹣1）2+2.89．令y＝0，∴x＝2.7或x＝﹣0.7（x＜0，不合题意）．∴水流离喷水池中心O的最远水平距离为2.7m．故答案为：2.7．38．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：（2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？（3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（30，150）；（80，100）分别代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；（2）设利润为w元，由题意得：w＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）；令﹣x2+210x﹣5400＝3600，解得x＝60或x＝150（舍），∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元；（3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625，∵﹣1＜0，∴当x≤105时，w随x的增大而增大，∵30≤x≤80，∴当x＝80时，w最大，最大为5000元．∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元．39．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为160m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设AE＝a，由题意得：AE•AD＝2BE•BC∵AD＝BC∴BE＝a，AB＝由题意可得：2x+3a+2×a＝160∴a＝40﹣x∴y＝AB•BC＝ax＝（40﹣x）x∴y＝﹣x2+60x（0＜x＜80）令y＝1500得：﹣x2+60x＝1500化简得：x2﹣80x+2000＝0∵△＝802﹣4×2000＝6400﹣8000＜0∴方程无解答：不存在x的值，使得矩形ABCD的面积是1500m2（2）∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣40）2+1200∴当x＝40时，y有最大值，最大值是1200m2．40．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已知抛物线经过（0，3），，三点．（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；（2）有一辆高5m，顶部宽4m的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；（3）现准备在隧道上A处安装一个直角形钢架BAC，对隧道进行维修．B，C两点分别在隔离墙和地面上，且AB与隔离墙垂直，AC与地面垂直，求钢架BAC的最大长度．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）不能正常通过；（3）钢架BAC的最大长度为9m．【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∴．∴．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）工程车不能正常通过．理由如下：∵工程车高5m，∴令y＝5，即5＝﹣x2+2x+3．∴x＝3±．∴纵坐标为5时，两点的距离为3+﹣（3﹣）＝2≈3.46＜4．故高5m，顶部宽4m的工程车不能正常通过．（3）由题意，如图，设A（m，﹣m2+2m+3）．当OB＝3时，令y＝3＝﹣m2+2m+3，∴m＝0或m＝6．∴B（0，﹣m2+2m+3）．∵B在墙面上，∴m≥6．由AB+AC＝m﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，又当m＞时，（AB+AC）的值随m的增大而减小，∴当m＝6时，（AB+AC）取最大值，最大值为9．∴钢架BAC的最大长度为9m．41．北京冬奥会的召开燃起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y＝﹣近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小雅从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝ax2+x+c运动．（1）当小雅滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行达到最高位置为米．求出a，c的值；（2）小雅若想滑行到坡顶正上方时，与坡顶距离不低于米，请求出a的取值范围．【答案】（1）a＝﹣，c＝4；（2）﹣≤a＜0．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝ax2+x+c过点（0，4）和（6，），将其代入得：，解得，．∴a＝﹣，c＝4；（2）∵抛物线C2经过点（0，4），∴c＝4，抛物线C1：y＝﹣＝﹣（x﹣8）2+，当x＝8时，运动员到达坡顶，即82a+8×+4＞+，解得a≥﹣，∴﹣≤a＜0．42．某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2+m（k≠0）表示．求该抛物线的函数表达式；（2）现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2．已知GM＝2m，求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n（元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵长方形的长AD＝4m，宽AB＝3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．∴OH＝AB＝3，∴EO＝EH﹣OH＝4﹣3＝1，∴E（0，1），D（2，0），∴该抛物线的函数表达式为：y＝kx2+1，把点D（2，0）代入，得k＝﹣，∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+1；（2）∵GM＝2，∴OM＝OG＝1，∴当x＝1时，y＝，∴N（1，），∴MN＝，∴S矩形MNFG＝MN•GM＝×2＝，∴每个B型活动板房的成本是：425+×50＝500（元）．答：每个B型活动板房的成本是500元；（3）根据题意，得w＝（n﹣500）[100+]＝﹣2（n﹣600）2+20000，∵每月最多能生产160个B型活动板房，∴100+≤160，解得n≥620，∵﹣2＜0，∴n≥620时，w随n的增大而减小，∴当n＝620时，w有最大值为19200元．答：公司将销售单价n（元）定为620元时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大，最大利润是19200元．九．二次函数综合题（共8小题）43．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．（2）当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M点有三个：，．【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A，∴A（﹣1，0），又∵D（5，﹣6），将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．（2）如图，设点P（x，﹣x2+3x+4），∵PE∥x轴，PF∥y轴，则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），∵点P在直线l上方的抛物线上，∴﹣1＜x＜5，∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．∵﹣1＜x＜5，∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．（3）由（1）可求NC＝5，∵NC是所求平行四边形的一边，∴NC∥PM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1），由题意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，．则符合条件的M点有三个：，．44．如图1，抛物线y1＝ax2﹣3x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，4），与直线y2＝﹣x+b交点为A和C，且OA＝OD．（1）求抛物线的解析式和b值；（2）在直线y2＝﹣x+b上是否存在一点P，使得△ABP是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）将抛物线y1图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．【答案】（1）y1＝﹣x2﹣3x+4，b＝﹣4；（2）在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）﹣8＜n＜﹣4．【解答】解：（1）∵D（0，4），∴OD＝4，∵OA＝OD，点A在x的负半轴上，∴A（﹣4，0），把A（﹣4，0），D（0，4）分别代入y1＝ax2﹣3x+c，得，解得：，∴该抛物线的解析式为y1＝﹣x2﹣3x+4，把A（﹣4，0）代入y2＝﹣x+b，得4+b＝0，解得：b＝﹣4；（2）存在．在y1＝﹣x2﹣3x+4中，令y1＝0，得﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），如图1，设直线y2＝﹣x﹣4与y轴交于点G，则G（0，﹣4），∴OG＝4，∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∴OA＝OG，∴△AOG是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，当∠APB＝90°时，如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，∵∠BAP＝45°，∠APB＝90°，∴∠ABP＝45°＝∠BAP，∴PA＝PB，即△ABP是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH＝BH，即H是AB的中点，∴H（﹣，0），∴点P的横坐标为﹣，当x＝﹣时，y2＝﹣（﹣）﹣4＝﹣，∴P1（﹣，﹣）；当∠ABP＝90°时，则∠APB＝∠BAP＝45°，∴BP＝AB＝5，∴P2（1，﹣5）；综上所述，在直线y2＝﹣x﹣4上存在点P使得△ABP是等腰直角三角形，点P的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣5）；（3）∵y1＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+，∴抛物线y1＝﹣x2﹣3x+4的顶点为（﹣，），沿x轴翻折后的解析式为y＝（x+）2﹣，把A（﹣4，0）代入y3＝﹣x+n，得4+n＝0，解得：n＝﹣4，联立抛物线y＝（x+）2﹣与直线y3得：（x+）2﹣＝﹣x+n，整理得：x2+4x﹣（n+4）＝0，当Δ＝16+4（n+4）＝0时，n＝﹣8，∴当直线y3＝﹣x+n与该新图象恰好有四个公共点时，﹣8＜n＜﹣4．45．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4），（3）E的坐标为（﹣1，）．【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），设点D的坐标为（a，b），则有，解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；（3）存在，理由如下：∵tan∠ACO＝＝＜1，∴∠ACO＜45°，∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H，∴点H（﹣1，），HC＝，∵EH∥y轴，∴∠EHM＝∠HCO，∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，∴EM＝HM，∵∠ACE＝45°，∴EM＝CM，∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，解得HM＝，∴EM＝，在Rt△EMH中，EH＝，解得EH＝，∴E的纵坐标为＝，∴点E的坐标为（﹣1，）．46．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D是直线AC上方抛物线上一动点，连接BC，AD和BD，BD交AC于点M，设△ADM的面积为S1，△BCM的面积为S2，当S1﹣S2＝1时，求点D的坐标；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线AC于Q点，请问在y轴上是否存在点E，使以P，Q，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点D的坐标系为（1+，）或（1﹣，）；（3）符合条件的点E有三个，坐标分别为：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）．【解答】解：（1）把点A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设D（x，y），对于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∵S1﹣S2＝1，∴S1＝S2+1，∴S1+S△ABM＝S2+S△ABM+1，即S△ABD＝S△ABC+1，∴×4×y＝×4×3+1，∴y＝，∴﹣x2+2x+3＝，解得x＝1+或x＝1﹣；∴点D的坐标为（1+，）或（1﹣，）；（3）存在，理由如下：设直线AC的解析式为：y＝kx+b′，∴，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+3；①当CQ为菱形的对角线时，如图，PE垂直平分CQ，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，此时四边形CEQP是正方形．∴PQ＝EQ．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（不合题意舍去）或m＝2，此时OE＝OC﹣m＝3﹣2＝1，∴E（0，1）．②当CQ为菱形的边时，作QH⊥OC于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴HQ＝|m|，PQ＝|﹣m2+3m|，∵∠OCA＝45°，∴CQ＝HQ＝|m|，CE＝PQ＝|﹣m2+3m|＝|m|，解得：m1＝3﹣，m2＝3+或m＝0（舍）．∴E1（0，1﹣3），E2（0，1+3），综上所述，符合条件的点E有三个，坐标分别为：（0，1）或（0，1﹣3）或（0，1+3）．47．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（﹣3，0），∠ACB＝90°．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PM⊥AC于M点，在射线MA上取一点N，使得2MN＝AC，连接PN，求△PMN面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，在（2）中△PMN面积取得最大值的条件下，将抛物线向左平移，当平移后的抛物线过点P时停止平移，平移后点C的对应点为C'，D为原抛物线上一点，E为直线AC上一点，若以O、C′、D、E为顶点的四边形为平行四边形，求符合条件的D点横坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+；（2）S△PMN最大值为×＝，点P的坐标为（﹣，）；（3）满足条件的点D坐标为（，）或（，）或（1，0）或（﹣4，﹣）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝，则C（0，），OC＝，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，则tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°，又∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴OB＝＝1，则B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，）代入，得﹣3a＝，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H，则∠PHM＝∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∵PM⊥AC，∴PM＝PH•sin∠PHM＝PH，∵AC＝2O