江西省吉安市吉州区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

吉州区2023-2024学年第一学期期末检测八年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题吗，每小题3分，共18分）1.下列各组数中是无理数的是（）A.0 B. C. D.22.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A.3cm B.5cm C.6cm D.8cm3.在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（）A.或 B.或C. D.4.在“庆元旦”投篮比赛上，甲班有5名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（）A.5 B.8 C.9 D.105.一次函数于的图象如图所示，则下列结论：①，②；③随x的增大而增大；④当时，；⑤其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图所示，是一块损坏的电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已做中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为（）A.143 B.132 C.90 D.56二、填空题（本大题共6小题吗，每小题3分，共18分）7.的算术平方根为_______．8.点关于y轴对称的点的坐标是______．9.已知，是方程的解，则a的值为______．10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．11.对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______．12.如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_________．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程组：（2）计算：14.如图，在直角坐标平面内，已做，，（1）求的面积．（2）在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．15.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．（1）在下图中，画一个正方形，使它的面积为5；（2）在下图中，面一个直角三角形．使它的三边长都是无理数且面积为2．16.已知函数是一次函数，（1）求的值；（2）该一次函数当时，求的取值范围．17.如图，，，，平分，为延长线上的点，交于点，求证．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.（1）直接写出二元一次方程“反对称二元一次方程”：______（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.19.如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C．（1）求点D坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）在x轴上求作一点M，使的和最小，直接写出M的坐标．20.为了“天更蓝，水更绿”，某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气质量指数（）3040708090110140160天数2437243空气质量指数对应级别空气质量指数空气质量级别（状况）一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）根据上述信息，解答下列问题：（1）表格中的数______，补全空气质量天数条形统计图；（2）直接写出空气质量指数这组数据的众数是______，中位数是______；（3）健康专家温馨提示：空气质量指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠，优惠期间，某游客的草莓采摘量为（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与之间的函数关系如图所示，其中折线表示与之间的函数关系．（1）甲采摘园的门票是______元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克______元；（2）当时，求与函数表达式；（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱?22.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β数量关系．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23.预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得∵t为任意实数，等式恒成立，∴，∴，∴这条直线的函数表达式为请仿照小明做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________．结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．

吉州区2023-2024学年第一学期期末检测八年级数学试卷一、选择题（本大题共6小题吗，每小题3分，共18分）1.下列各组数中是无理数的是（）A.0 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．【详解】解：根据无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数，故选：C．2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A.3cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】D【解析】【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案．【详解】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)；当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm），即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm，所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm．所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决．3.在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了点的坐标的几何意义，注意：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．根据点到坐标轴的距离求解即可．【详解】解：点P到x轴的距离为5，所以点P的纵坐标为或，所以点P的坐标为或，故选B．4.在“庆元旦”投篮比赛上，甲班有5名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是（）A.5 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】本题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．根据中位数的定义先把这组数据从小到大重新排列，找出最中间的数即可．【详解】解：把这数从小到大排列为：5，6，10，10，11，处于最中间的数是10，则这组数据的中位数是10．故选D．5.一次函数于的图象如图所示，则下列结论：①，②；③随x的增大而增大；④当时，；⑤其中正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系．根据一次函数的图象及性质逐一分析可得答案．【详解】解：根据图象经过第一、二、四象限，∴，，，随x的增大而增大，故①③正确,②错误；当时，图象在的上方，所以：当时，，故④错误．当时，，∴，故⑤正确；所以正确有①③⑤共3个．故选：C．6.如图所示，是一块损坏的电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已做中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为（）A.143 B.132 C.90 D.56【答案】A【解析】【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设正方形的边长为，则：正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形的对边相等，列出方程，求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用面积公式求解即可．解题的关键是正确的识图，列出一元一次方程．【详解】解：设正方形的边长为，则：正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，∴，解得：，∴长方形的长为：，宽为：，∴长方形的面积为：；故选A．二、填空题（本大题共6小题吗，每小题3分，共18分）7.的算术平方根为_______．【答案】【解析】【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．【详解】，9的算术平方根为的算术平方根为．故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．8.点关于y轴对称的点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】根据关于y轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”，即可得出答案．【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标变化规律是正确解答的关键．9.已知，是方程的解，则a的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将方程的解代入方程得到关于a的方程求解即可．【详解】解：∵是方程的解，∴，解得：．故答案为：．10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．【答案】20【解析】【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解.【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案为：20.【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.11.对于X，Y定义一种新运算“*”：，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么______．【答案】7【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键．根据二次根式的性质即可得出，再根据负整数指数幂即可得出，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案．【详解】∵∴∴∴∴．故答案为：7．12.如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_________．【答案】5或8或【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用勾股定理和等腰三角形的性质即可得．【详解】解：在中，，，由题意，分以下三种情况：①如图1，当时，，即，（等腰三角形的三线合一），，（秒）；②如图2，当时，（秒）；③如图3，当时，设，则，在中，，即，解得，即，则（秒）；综上，的值为5或8或，故答案为：5或8或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和定义、勾股定理，正确分三种情况讨论是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解方程组：（2）计算：【答案】（1）（2）原式【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及运用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）方程组运用加减消元法求解即可；（2）原式分别根据有理数的乘方，绝对值的代数意义和平方根化简各项后，再进行计算即可得到答案．【详解】解：（1），得：，解得，把代入得：，解得：，∴方程组的解是；（2）．14.如图，在直角坐标平面内，已做，，（1）求的面积．（2）在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．【答案】（1）16（2）或【解析】【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；（2）设点D坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】设点D的坐标为，．解得．∴满足条件的点D的坐标为或；15.如图，在下面的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．（1）在下图中，画一个正方形，使它的面积为5；（2）在下图中，面一个直角三角形．使它的三边长都是无理数且面积为2．【答案】（1）图见解析（2）图见解析【解析】【分析】本题考查网格作图，勾股定理，勾股定理逆定理．（1）根据题意画出一个边长为的正方形即可；（2）根据题意，画出一个边长均为无理数的直角三角形即可．掌握勾股定理，勾股定理逆定理，是解题的关键．【小问1详解】解：如图所示，正方形即为所求；由图可知，正方形的边长为：，∴正方形的面积为5；【小问2详解】如图所示：直角三角形即为所求；有勾股定理得：，∴，∴为直角三角形．16.已知函数是一次函数，（1）求的值；（2）该一次函数当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）根据一次函数的定义即可求解；（）分别求出当时，当时的值，即可求出的取值范围；此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键．【小问1详解】因为是一次函数，所以，解得，因为，所以；【小问2详解】将代入得一次函数解析式为，当时，，当时，，所以当时，的取值范围是．17.如图，，，，平分，为延长线上的点，交于点，求证．【答案】见详解【解析】【分析】本题考查了三角形的外角定理、角平分线的概念、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：，，且为的外角又，且为的外角平分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.【答案】18.19.，．【解析】【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．（2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．【小问1详解】解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，故答案为：．小问2详解】解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，，解得，，．19.如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，直线、交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）在x轴上求作一点M，使的和最小，直接写出M的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】此题主要考查了求一次函数图象的交点、待定系数法求一次函数解析式以及轴对称求最短路径问题，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．（1）令，求得的值，即可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）先联立，求得点C的坐标，作点C关于x轴的对称点，求得直线的解析式，据此求解即可．【小问1详解】解：由，令，得，，；【小问2详解】解：设直线的解析表达式为，由图象知：，；，，代入表达式，∴，解得，∴直线的解析表达式为；【小问3详解】解：如图，由，，解得，，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于M，此时的和最小，同理，直线的解析式为，．20.为了“天更蓝，水更绿”，某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：空气质量指数（）3040708090110140160天数2437243空气质量指数对应级别空气质量指数空气质量级别（状况）一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）根据上述信息，解答下列问题：（1）表格中的数______，补全空气质量天数条形统计图；（2）直接写出空气质量指数这组数据的众数是______，中位数是______；（3）健康专家温馨提示：空气质量指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信息，估计该市居民一年（以365天计）中有多少天适合做户外运动？【答案】（1）5，图见解析（2）80，80（3）219天【解析】【分析】（1）利用总天数是30天，进行求解即可，进而补全条形图即可；（2）找到出现次数最多的数据即为众数，数据排序后，第15个和第16个数据的平均数即为中位数；（3）利用样本估计总体即可．【小问1详解】解：；由表可知：的天数为：；补全条形图如下：故答案为：5；【小问2详解】解：∵出现次数最多的是80，∴众数为80；数据排序后，第15个和第16个数据均为80，∴中位数为；故答案为：80，80；【小问3详解】估计该市居民一年（以365天计）中有天．【点睛】本题考查统计图表，求众数和中位数，利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠，优惠期间，某游客的草莓采摘量为（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与之间的函数关系如图所示，其中折线表示与之间的函数关系．（1）甲采摘园的门票是______元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克______元；（2）当时，求与的函数表达式；（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱?【答案】（1）60；30；（2）；（3）当采摘量小于5千克时，选择乙更省钱，当采摘量在5千克到20千克之间时，选择甲更省钱，当采摘量大于20千克时选择乙更省钱．【解析】【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可进行求解；（2）根据函数图象中的数据可以得到当时，点，然后设直线AB的解析式为，然后代入A、B的坐标即可求解；（3）根据函数图象，利用分类讨论即可进行求解．【详解】解：（1）由图象可得：甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价为300÷10=30（元/千克）；故答案为60；30；（2）由图象可得：，当时，则设与的函数表达式为，∴，解得：，∴当时，则设与的函数表达式为；（3）由题意得：，当时，，∴当时，令，解得：；当时，令，解得：；答：当采摘量小于5千克时，选择乙更省钱，当采摘量在5千克到20千克之间时，选择甲更省钱，当采摘量大于20千克时选择乙更省钱．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质及应用是解题的关键．22.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】（1）25°（2）①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°【解析】【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD；（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【小问1详解】解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P与E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；【小问2详解】①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23.预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得∵t为任意实数，等式恒成立，∴，∴，∴这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________．结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．【答案】（1）直线l的函数表达式为;（2）点C（-7，