隐圆与蒙日圆问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点24隐圆与蒙日圆问题【六大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】..................................................2

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】............................................2

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】..................................................3

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】..................................................3

【题型5阿波罗尼斯圆】.......................................................................4

【题型6蒙日圆］.............................................................................5

►命题规律

1、隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆,

这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档，需要灵活求

解.

►方法技巧总结

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】

1.隐圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，

从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2.隐圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.

3,阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆''的定义：平面内到两个定点/(-a,0),2(°,0)(。＞0)的距离之比为正数力(理1)的点的轨迹是

以C(多上1。,0)为圆心，召7为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆・

【知识点2蒙日圆】

1.蒙日圆

在椭圆i+£=1(。＞6＞0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆

的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆.

设尸为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点4B,。为原点，如图.

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】

【例1】（2024•全国•二模）已知直线=tx+5（teR）与直线4：%+ty—t+4=0（teR）相交于点P,且

点P到点Q（a,3）的距离等于1,则实数a的取值范围是（）

A.[-2V2-3,-2V2-1]

B.[-272-3,272-1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+1.2V2+3]

D.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2-3,2V2-1]

【变式1-1]（24-25高三上•江西南昌•开学考试）已知椭圆1的右焦点为凡贝！IE上满足|PF|=百

43

的P点有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-2]（2024•陕西咸阳•模拟预测）已知不是两个单位向量，且忖+同=\a-b\,若向量西荫足后―方―

同=2,则|?|的最大值为（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.2近

【变式1-3]（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）已知”（句,乃），可。2，乃）是圆。（X+2尸+（y-4>=1

上的两个不同的点，若|MN|=&,则％-yi|+|久2-丫21的取值范围为（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,742]D.[4位,8a]

【题型2隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值】

【例2】（24-25高二上•全国•课后作业）平面上一动点P满足：|PM|2+|PN|2=6且M（—l,0）,N（l,0）,则动

点P的轨迹方程为（）

A.（x+I）2+y2=3B.（%—I）2+y2=3

C./+产=2D.x2+y2—3

【变式2-l】（2024・河南•三模）在平面a内，已知线段4B的长为4,点P为平面a内一点，且|P*2+|Pfi|2=10；

则NP4B的最大值为（）

【变式2-2]（24-25高二上•江苏徐州•阶段练习）在平面直角坐标系久。y中，已知点4（2,0）,若点M满足“寿+

MO2=10,则点M的轨迹方程是.

【变式2-3]（23-24高二上•福建厦门•期末）已知圆。:/+y=1和圆。]：（久—2）2+产=1,过动点p分别

作圆。，圆。1的切线24,PB（A,B为切点），且|P*2+仍切2=18,则|P4|的最大值为.

【题型3隐圆类型三：到两定点的夹角为直角】

【例3】（2024•浙江嘉兴•二模）已知圆C:（x—5）2+（y+2）2=»&>（））,力（―6,0）,B（0,8）,若圆C上存在点

P使得P41PB,贝忏的取值范围为（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+oo）

【变式3-1]（2024•北京平谷•模拟预测）设点力（1,0）,动直线/：x+ay+2a-l=0,作力M11于点

则点M到坐标原点。距离的最小值为（）

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【变式3-2]（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）在平面直角坐标系xOy中，己知M,N为圆/+y2=9上两

点，点4（1,2）,且4M14V,则线段MN的长的取值范围是（）

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4-V5,4+V5]D.[V13-V5,V13+V5]

【变式3-3]（2024•广西南宁•二模）已知直线y=fee+印0）与x轴和y轴分别交于4,B两点，且|力B|=

2V2,动点C满足C41CB,则当匕根变化时，点C到点的距离的最大值为（）

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【题型4隐圆类型四：定弦定角、数量积定值】

2

【例4】（2024•北京•三模）已知圆+。一1）2=1和两点力（一。0）,8（。0）&>0）,若圆C上存

在点P,使得可•丽=0,贝亚的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【变式4-1]（2024•全国•模拟预测）M点是圆C:（x+2）2+产=1上任意一点，AB为圆的:Q—2>+产=3

的弦，且|4B|=2a,N为4B的中点，则|MN|的最小值为（）

A.1B.2C.3D.47

【变式4-2]（2024•江西赣州•一模）在边长为4的正方体裕⑺-久%的小中，点E是BC的中点，点P是侧

面力内的动点（含四条边），且tan/APD=4tan/EPB,贝摩的轨迹长度为（）

A.三B.空C.-D.巴

9999

【变式4-3］（2024•河南关B州•二模）在平面直角坐标系宣》中，设A（2,4）,B（—2,—4）,动点P满足

PO-PA^-1,则tan/PB。的最大值为（）

A2V2In4V29k2V41cV2

A.-----B.-----C------D.—

2129412

【题型5阿波罗尼斯圆】

【例5】（23-24高二上•辽宁沈阳•期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果

之一，指的是：已知动点M与两定点。，尸的距离之比需=4（4>0,4片1）,那么点M的轨迹就是阿波罗

尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+产=1,0为x轴上一定点，P（-p0）,且4=2,

则点。的坐标为（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（-2,0）D.（2,0）

【变式5-1］（23-24高二上•江西南昌•阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德

并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆

锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：己知动点M与两定点0,P的距离之比匿=4

（4>0,4K1）,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点的M与定点Q（m,0）和定点P（-a0）的距

离之比为2,其方程为刀2+>2=1,若点则2|MP|+|MB|的最小值为（）

A.V6B.V7C.V10D.V11

【变式5-2］（23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262〜公元前190

年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果.其中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数4Q牛

1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。（0,0）,力（3,0）,动点P（x,y）满足黑=3则点

I产力I乙

P的轨迹与圆C：（x—2）2+y2=1的公切线的条数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式5-3］（23-24高二上•湖南益阳•期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称

为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥

曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点。P的距离之比霭=4（4>

0,471）,那么点”的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为/+y2=i,其

中，定点Q为X轴上一点，定点P的坐标为（—,,0）,4=3,若点则31Mpi+|MB|的最小值为（）

A.V10B.VilC.V15D.V17

【题型6蒙日圆】

【例6】（23-24高三上・安徽六安•阶段练习）椭圆5+《=l（a〉0,6>0,a46）任意两条相互垂直的切线

的交点轨迹为圆：x2+y2=a2+h2,这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆-4尸+（y-3A=N（厂>0）上总

存在点P,使得过点P能作椭圆/+1=1的两条相互垂直的切线，贝忏的取值范围是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【变式6-1]（2024•贵州铜仁•二模）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发

现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日

圆.若椭圆「橐+==l（a>6>0）的蒙日圆为C:x2+y2=#，过C上的动点M作r的两条切线，分别与C交

于P,Q两点，直线PQ交r于力，B两点，则椭圆r的离心率为（）

A.包B.3C.3D.立

2233

【变式6・2】（2024高三・山东•专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆

上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C：三+旺=1

a+1a

（a>0）的离心率为a则椭圆C的蒙日圆方程为（）

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.x2+y2=4

【变式6-3]（23-24高二上•江苏徐州•期中）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与

椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日

22

圆.已知椭圆a+方=l（a>b>0）的蒙日圆方程为第2+y2=a2+h2.若圆（％-3）2+（y-A）2=9与椭圆

f+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则久的值为（）

A.±3B.±4C.±5D.2V5

►过关测试

一、单选题

1.（24-25高二上•江苏徐州•阶段练习）已知动点M与两个定点。（0,0）,力（3,0）的距离之比为2,那么直线。M

的斜率的取值范围是（）

A.[2V6,6V2]B.[-y,y]C.[-y,y]D.

2.（23-24高三上•重庆•期中）已知。为抛物线C:必=4%上的动点，动点M满足到点/（2,0）的距离

与到点网歹是C的焦点）的距离之比为y,贝！JIQM+3I的最小值是（）

A.3-V2B.4-V2C.4+V2D.4

3.（23-24高二下•贵州六盘水•期末）已知线段力B的长度为4,动点M与点力的距离是它与点B的距离的四

倍，则力B面积的最大值为（）

A.8V2B.8C.4V2D.y

4.（23-24高二上•河北石家庄•期末）在平面直角坐标系内，曲线/=y+l与x轴相交于4,2两点，P

是平面内一点，且满足|P*=&|PB|,则48面积的最大值是（）

A.V3B.2V3C.V2D.2近

5.（23-24高二下•陕西宝鸡•期中）已知点/为直线3x+4y—5=0上一动点，点P（>n+2,l—n）,B（2,0）,

且满足爪2+n2=2n-4m-4,则2|4P|+|BP|的最小值为（）

A.-B.-C.—D.-

5355

6.（2024・广东•二模）法国数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点

轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆。乂2+弓=1的一个外切长方形

（M的四条边所在直线均与椭圆C相切），若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则M的面积为（）

A.13V3B.26C..D.音

7.（23-24高二下•浙江•期中）在中，BC=2,/.BAC=。为5c中点，在△4BC所在平面内有一

动点尸满足丽•丽=丽•丽，则存•前的最大值为（）

A.—B.—C.V3D.—

333

8.（23-24高二下•山东青岛•开学考试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚

历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4（2>0,且,

那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到4（-1,0）,B（l,0）的距离之比为百，则点C到直

线无一2y+8=0的距离的最小值为（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

二、多选题

9.（23-24高二上•福建泉州•期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262〜前190）发现：平面内到

两个定点的距离之比为定值4（4K1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知A（—1,0），5（2,0）,动点P满足£5［直线I:mx—y+

"IL

爪+1=0,贝ij（）

A.直线2过定点（—1,1）

B.动点P的轨迹方程为。+2）2+y2=4

C.动点P到直线Z的距离的最大值为迎+1

D.若点。的坐标为（—1,1）,则|PD|+21PAi的最小值为标

10.（2024•山西太原•二模）已知两定点力（一2,0）,B（l,0）,动点M满足条件|M川=2|MB|,其轨迹是曲线

C,过8作直线/交曲线C于尸，。两点，则下列结论正确的是（）

A.|PQ|取值范围是［2旧,4］

B.当点4,B,P,。不共线时，△4PQ面积的最大值为6

C.当直线I斜率k力0时，AB平分NPAQ

D.tan乙P4Q最大值为机

11.（23-24高二上・江苏苏州•阶段练习）画法几何的创始人一法国数学家蒙日发现：在椭圆C：S+/=

l（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、

短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆。的蒙日圆，其圆方程为久2+y2=02+。2.已知椭圆C

的离心率为乎，点/,8均在椭圆C上，直线久+ay-4=0,则下列描述正确的为（）

A.点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为b

B.若/上恰有一点P满足：过P作椭圆C的两条切线互相垂直，则椭圆C的方程为9+y=1

C.若I上任意一点。都满足9-QB>0,则0<b<l

D.若6=1,椭圆。的蒙日圆上存在点M满足MALMB,则△AOB面积的最大值为日

三、填空题

12.（24-25高二上•江苏徐州•阶段练习）已知点力（—3,0）,8（1,0）,平面内的动点P满足PB-3P4=0,则

点P的轨迹形成的图形周长是.

13.（23-24高二下•湖南•开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262〜公元前190年）的著作《圆

锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数乂441)的点的轨

迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点。(0,0),力(3,0),动点P(x,y)满足翳=:，则点P的轨迹与

圆C:0-1)2+y2=1的公切线的条数为.

14.(23-24高二上•山东枣庄•阶段练习)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切

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线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点/、3为椭圆(0<fo<V3)上任

意两个