四川省自贡市某中学2025届高三年级上册开学考试数学试卷（含解析）

自贡一中高2025届高三上期开学考试

数学试题

第一部分（选择题共58分）

一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

1.已知集合A={xeZ"x<3},叼巾―）},则AC5=（）

A{-1,0,1,2}B.（-1,3）C.{0,1,2}D.（-1,+<»）

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,根据对数函数的性质求出集合3,再根据交集的定义计算可得；

【详解】解:A={xeZ|-3<x<3}={-2,-1,0,1,2},

B=|x|y=ln（x+l）}={尤|龙）一1},

所以={0,1,2}；

故选：C

2.已知函数八％）的定义域为R,且对任意两个不相等的实数都有（。―研/㈤―则不

等式/（3x—1）</（》+5）的解集为（）

A.（7,3）B,（3,+co）C.（-<»,2）D,（2,+»）

【答案】B

【解析】

【分析】由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.

【详解】任意两个不相等的实数ah。

因为（a4）［/（，）一/（叫>0,

所以a—人与/（a）—异号，

故"％）是R上的减函数，

原不等式/（3x—1）</（1+5）等价于3x—1>%+5,

解得%>3,

故选：B.

3.已知〃尤)为二次函数,fi/(x)=x2+/,(x)-l,则/(%)=()

A.x2-2x+lB.%2+2x+l

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-1

【答案】B

【解析】

【分析】设/(%)=依2+云+0.彳0),根据已知条件可得出关于。、bc的方程组，解出这三个未知

数的值，即可得出函数/(%)的解析式.

【详解】设/(x)=ov2+bx+c(aw0),则/'(%)=2ox+Z?,

由/(x)=f+/，(%)一1可得以?+区+。=九2+2or+(/?-1),

4=1a—\

所以，《b=2a,解得〈人=2,因止匕，/(X)=X2+2X+1.

c=b-lc=l

故选：B.

xy

4.若y〉°'A3k1,则小的最大值为(

1111

A.-B.—C.—D.—

9121620

【答案】C

【解析】

3x+y武的最大值.

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得——^的最小值，即可得到

孙

【详解】因为x>0,y〉0,x+3y=l,

3x+y31f31Yx3%3y国一方in,,

则------=—+—=—+-(x+3y)=——+—+10>2——x上+10=16,

孙yxNyx

3x3y1

当且仅当一=一时，即x=y=—时，等号成立；

yx4

盯J孙

所以。＜<—,即一—的最大值为

3x+y163x+y16

故选：c.

4Xx>Q

5.已知实数aWl,函数/'(%)=一，若/(I—a)=/(a—1),则。值为()

2,x<Q

11

A.-B.-

32

C.-D.-

48

【答案】B

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分。<1和。〉1两种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，函数f(x)=I,,

',[2、<0

当a<l时，41-a=21>即2?-2。=2]，解得。=,；

2

当a>1时，4"T=2"一(〜)，即=22fl_1,此时方程无解，

综上可得，实数。的值为上.

2

故选：B.

6.已知函数〃x)=2f—Inx,若〃％)在区间(2加,加+1)上单调递增，则加的取值范围是()

"』]B.卜”

C.D.[0,1)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数求出函数/(%)的单调递增区间为1;,+s],进而可得出(2加，加+1)R[；,+OO],可得出关于实

数加的不等式组，由此可解得实数机的取值范围.

【详解】因为/(x)=2%2—Inx的定义域为(0,+8),/(x)=4x--,

X

由/'(x)>0,得4%——>0,解得x>—,所以“X)的递增区间为5,+8)

%2

m+1>2m

所以1，解得机<1.

2m>—4

2

因此,实数机的取值范围是-,1.

故选：A.

【点睛】方法点睛：利用函数/■(力在区间。上单调递增求参数，可转化为以下两种类型:

(1)区间。为函数/(%)单调递增区间的子集；

(2)对任意的xe。,/'(x"0恒成立.

同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.

7.已知函数/(九)是定义在R上的偶函数，在区间(0,+8)上单调递增，且/(—1)=0,则

(2工—l>/(x)〉0的解集为()

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-l,0)U(0,l)

C.(fD.(-l,0)U(l,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集.

【详解】•.・函数"X)是定义在R上的偶函数，在区间(0,+8)上单调递增，且=

\f(x)在(—8,0)上单调递减，且/⑴=0,

显然x=0不是(2*-1)•/(x)〉0的解，故此不等式可转化为：

'2r-l>0f2x-l<0

<.\c。小或4\c"八’

/(x)<O=/(-l)

解得：％>1或一l<x<0.

故选：D

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力.

8.已知函数“DTogJf—2依+2),以下说法错误的是()

2

A.mawR使得了(%)的偶函数

B.若"％)的定义域为R,则行,拒)

C.若/(%)在区间(-<*』)上单调递增，则

D.若/(x)的值域是(-8,2],则ae<—■，弓

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值判断A,当2℃+2>0恒成立时函数的定义域为R，得到A<0,从而判断B,

令g(x)=f—2双+2,则g(x)在(-8,1)上单调递减且大于0恒成立，求出参数。的值，即可判断C,

由g(x).=[求出a,即可判断D.

【详解】对于A：令a=0,则/(力=1。8工(/+2),此时函数的定义域为R,

2

2

且"f)=logi(x+2)=/(x)；即/(x)=logA(V+2)为偶函数，故A正确；

22

对于B：因为/(%)的定义域为R,则V—2依+2>0恒成立，

即A=(-2a)2-4x2<0,解得—夜<a<&,即行,忘)，故B正确；

对于C：令g(x)=f—2依+2,因为>=l°g广在定义域上单调递减，

要使函数了(%)在区间(-8』)上单调递增，则g(x)=£-2依+2在(-8,1)上单调递减且大于0恒成

立,

所以a>八\。a>l3

即《,解得l<a4—故C错误;

12-2«+2>02

对于D:因为函数“X)的值域是(—,2],所以“x)max=2=log

24

所以g(x)mm=；，即g(a)=—1+2=：,解得a=±YZ,即ae<一今,今，，故D正确;

442

故选：c

二、多选题(每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分)

9.下列结论正确的有()

A.若〉/,贝I]B.若>62,贝|]

C.若ac2>bc?,则D.若贝ija>>

ab

【答案】AC

【解析】

【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.

【详解】若标>犷，贝|/一分3=(4——,+<“+/2>0,

有a>〃，A选项正确；

若〃=—2力=0,满足〃2>/，但，不成立，B选项错误；

若砒2>/7c2,则有片〉。，可得a>b,C选项正确；

若当次?>0时，有D选项错误.

ab

故选：AC

|2'-l|,x<2

10.已知函数/(%)=3若方程/(x)—。=0有三个不同的实数根，则实数。的取值可能是

------,x>2

、％-1

()

,11

A.0B.—C.-D.1

23

【答案】BC

【解析】

【分析】作函数〃龙)的图象，数形结合即可解决.

\2x-l\,x<2

【详解】由题知，函数/(%)=<3的图象如下,

所以由图知方程/(x)—a=0有三个不同的实数根时，0<。<1,

故选：BC

11.下列命题中是假命题的是()

A.命题："X/xe(0,+oo),〉x+1”的否定为：“上:G(fo,0],Vx<x+T'

B.设4=卜卜2+工—6<0},B={0,/n},且有四个子集，则实数m的取值范围是(—3,2)

C.已知P：{尤|%=2左一1,左eZ},q-^x\x=6k+l,kGN},P是4的充分不必要条件

D.方程V+(a-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则。<0

【答案】ABC

【解析】

【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后

结合集合中元素的特征求加的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根

的判别式和韦达定理列不等式求解即可.

【详解】A选项：命题“Vxe(O,”)，«〉x+l”的否定为：“土武。，”)，«<x+l"，故A错；

B选项：A=1x|-3<x<2},因为AcB有四个子集，所以AcB中有两个元素，则且

m^O,即—3<7律<0,0<m<2,故B错；

c选项：p表示所有奇数，q表示部分奇数，所以P是“的必要不充分条件，故c错；

D选项：设方程得两个根分别为%,%2,因为方程有一个正根，一个负根，所以

△二(a-3)2-4a〉0…

v')，解得avO,故D正确.

%々=。<0

故选：ABC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题(每题5分，共15分)

12.已知函数/(%)=(病—是幕函数，则实数相的取值为.

【答案】0或2

【解析】

【分析】根据累函数的定义，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，可得病—2机+1=1，即7Mm—2)=0,解得机=0或2，

代入川2-根+1，则可得1或3,符合题意.

故答案为：0或2.

13.已知函数〃力=@*,若(⑴=2,则。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】求出导函数，利用/'(1)=2列式求解即可.

【详解】由〃力=@*得r(x)=Wfh因为/'(1)=1—0=2,所以a=—1.

XX

故答案为：-1

14.定义在R上的偶函数八％)满足/(x—1)=/(%+1),且当xe［—l,0］时，/(%)=%2,函数g(x)是

定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=lgx,则函数/z(x)=/(x)—g(x)的零点的个数是

【答案】11

【解析】

【分析】分别分析“X)与g(目的性质，从而作出函数y=/(x)与函数y=g(x)图像，再观察其交点个数

即可得解.

【详解】因为/O(x+1),所以/(x)=/(x+2),则"处的周期为2,

又/(%)为偶函数，且当1,0］时，又x)=f,

所以可利用/(x)的周期性与奇偶性作出/(%)的大致图像,

因为g(x)是定义在R上的奇函数，当无>0时，g(x)=lgx,

所以函数y=/(X)与函数y=g(x)的大致图像如图所示，

考虑特殊位置，当尤=—1时，/(-1)=1,g(-1)=-g(1)=-1g1=0;

当x=9时，/(9)=/(l)=/(-l)=l,g(9)=lg9<l；

当％=11时，/(ll)=/(l)=l,g(ll)=lgll>l；

又函数h(x)=/(x)-g(x)的零点个数即函数y=/(x)与函数y=g(x)图像的交点个数，

所以由图像可知函数y=/(x)与函数y=g(x)图像的交点个数为11个.

故答案为：11.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图

象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题(共77分)

15已知全集。=11,集合A=[xeR[g<2x<2},集合3={xe叫0<(%+1)<"•求AcB,

AIJB,(^B)UA.

【答案】AnB={x|O<x<l},AU5={X[T«X<2},A={x|x<1或2}.

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数单调性即可解出集合A,8,再根据集合的交并补运算即可得到答案.

【详解】因为g<2'<2,即2T<2工<2、根据指数函数单调性可知—lVxKl，

则集合A={x|TW%Wl},0<log3(x+l)<l,gplog31<log3(x+1)<log33,

根据对数函数单调性知1W%+1<3,解得0<x<2,即3={乂0<%<2},

则4门6={1|0三芯工1},AUB={x|-l<x<2},={无<0或122},

（%3）。4=卜|工41或%»2}.

16.已知函数〃x）=^^是定义在（-U）上的函数.

⑴判断并证明函数“X）的奇偶性；

（2）判断函数/（%）单调性，并用定义法证明；

【答案】（1）奇函数，证明见解析

（2）/（%）在（一1,1）上为单调递增函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；

（2）根据单调性的定义判断和证明即可.

【小问1详解】

函数了（%）为奇函数

证明如下：函数无）的定义域为（—1,1），

x~+l

所以函数/（X）为奇函数.

【小问2详解】

/（%）在（—1』）上为单调递增函数

证明如下：

设一1<尤

石/（X,-%1）（%1%,-1）

'-X；+l焉+1（X；+1）（X；+1）

因为一,

所以马一番>0,-1<0,（X；+1）（%；+1）>0,

则/（石）<f（x2）.

故/（X）在（—1,1）上为单调递增函数.

17.已知函数〃x)=e*-2x

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若函数g(x)=/(x)—a,xe[—1』恰有2个零点，求实数a的取值范围

【答案】(1)x+y-l=O.

(2)2—21n2<aVe—2.

【解析】

【分析】(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；

(2)函数g(x)=/(x)-1』恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.

【详解】(1)因为〃x)=e'—2x,所以广(x)=e-2.

所以/'(O)=T.

又/⑼=L

所以曲线y="力在点(0,/⑼)处的切线方程为y-1=—羽

即x+y—1=0.(5分)

(2)由题意得，g[x)=Qx-2x-a,

所以g'(x)=e*—2.

由g'(x)=e*—2=0,解得x=ln2,

故当—lWx<ln2时,g'(x)<0,g(x)在[―Un2)上单调递减；

当ln2<xWl时，g'(x)>0，g(x)在0n2,l]上单调递增.

所以g(x)min=g(ln2)=2-21n2-a.

又g(-l)=e/2-a,=e—2—a,

若函数恰有两个零点，

g(-1)=e-1+2-a>0,

贝ijg(l)=e-2-aNO,解得2—21n2<aWe—2.

g(ln2)=2-21rl2-a<0,

所以实数a的取值范围为(2-21n2,e-2].

【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原

函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.

18.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销

售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.

（1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000

万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？

（2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：

提高价格到加欧元/平方米（其中相>25）,其中投入：（疗-600）万欧元作为技术创新费用，投入500万

欧元作为固定宣传费用，投入2机万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃销售量〃（单位/万平方

米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此

时的售价.

【答案】（1）40（2）102万平方米，售价为30欧元.

【解析】

【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得；

（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.

【小问1详解】

设该种玻璃的售价提高到x（x>25）欧元/平方米，

贝ij有［80-2（%-25）］%>2000,

解得：25<x<40,

所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.

【小问2详解】

mn?2000500+2m+|(m2-600),

2—2,

整理得：mn?1500

3

除以用得：?身也

n-m+2,

m3

受勾匙空为+

由基本不等式得：n?2+2222=102,

m3m3

当且仅当照=3根，即和=30>25时，等号成立，

m3

所以该种玻璃的销售量〃至少达到102万平方米时，

才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，

此时的售价为30欧元/平方米.

19.已知函数+(a-2)e"-X

(1)讨论"％)的单调性；

(2)若/(%)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)(0,1).

【解析】

【详解】试题分析：(1)讨论/(%)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对。

按aWO,a>0进行讨论，写出单调区间；(2)根据第(1)问，若aWO,/(x)至多有一个零点.若。>0,

当x=—Ina时，/(幻取得最小值，求出最小值/(—lna)=l—l+lna,根据。=1,ae(l,+s),ae(0,l)

a

进行讨论，可知当，£(0,1)时有2个零点.易知了(%)在(-8,-Ina)有一个零点；设正整数%