湖北省武汉市钢城第四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷

高中数学精编资源2/2钢城四中2021—2022(下)期中考试卷一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.下列各式运算结果为纯虚数的是A.(1+i)2 B.i2(1-i) C.i(1+i)2 D.i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算,再由纯虚数的定义,即可求解.【详解】由题意,对于A中,复数纯虚数,所以正确;对于B中,复数不是纯虚数,所以不正确;对于C中,复数不是纯虚数,所以不正确;对于D中,复数不是纯虚数,所以不正确,故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其四则运算技巧和常规思路.其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.2.已知四边形的三个顶点,,,且,则顶点的坐标为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本小题主要考查平面向量的基本知识,先设出点的坐标,根据所给的点的坐标,写出向量的坐标,根据向量的数乘关系,得到向量坐标之间的关系,由横标和纵标分别相等,得到结果.【详解】解:设顶点D的坐标为(x,y)∵=(4,3),=(x,y-2),且,∴解得故选A3.如图所示,中,点是线段的中点,是线段的靠近的三等分点,则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意根据平面向量线性运算法则计算可得;【详解】解:因为是线段的靠近的三等分点,所以,又是线段的中点,所以,所以.故选:A.4.已知向量,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,结合向量数量积的坐标运算和余弦的两角和公式,即可求解.【详解】解:因为向量,,所以.故选:C.5.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若的图象关于直线对称,则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】将函数的图像向右平移个单位后可得函数的解析式为:,的图像关于直线对称,则:,即:,令可得:.故选:B6.若,则A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【详解】试题分析:由,得或,所以,故选A.【考点】同角三角函数间的基本关系,倍角公式.【方法点拨】三角函数求值:①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化,通过相消或相约消去非特殊角,进而求出三角函数值;②“给值求值”关键是目标明确,建立已知和所求之间的联系.7.在中,角、、所对的边分别为、、,且,若,则的形状是()A.等腰且非等边三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先根据余弦定理可知,再利用边角互化,以及条件证明,从而判断的形状.【详解】根据余弦定理可知,因为,所以,根据正弦定理可知,所以,所以,则的形状是等边三角形.故选:C8.如图,在中,是线段上的一点,且,过点的直线分别交直线,于点,,若,,则的最小值是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理,以及三点共线,可确定的关系,即,可得,再利用基本不等式求最值即可.【详解】由条件可得,∵,∴,因为三点共线,∴,∴,∵,∴,则;当且仅当,即时取等号,故的最小值是;故选:C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.复数,i是虚数单位,则下列结论正确的是()A. B.z的共轭复数为C.z的实部与虚部之和为2 D.z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根据复数的四则运算,整理复数,再逐一分析选项,即得.【详解】由题得,复数,可得,则A不正确;的共轭复数为,则B不正确;的实部与虚部之和为,则C正确;在复平面内的对应点为,位于第一象限,则D正确.综上,正确结论是CD.故选:CD【点睛】本题考查复数的定义,共轭复数以及复数的模,考查知识点全面.10.下列命题中:其中正确的是()A.若,则或B.若不平行的两个非零向量,满足,则C.若与平行,则D.若,,则【答案】BC【解析】【分析】根据向量的概念、运算性质及平行关系进行判定.【详解】若,则,故A错;若,则,故B对;若与平行,则与夹角或,所以,故C对;若,则和任意向量都平行,故D错.故选:BC11.已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是()A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象【答案】BD【解析】【分析】由图象求出函数解析式,然后结合正弦函数性质判断各选项.【详解】由函数的图象可得,周期,所以,当时,函数取得最大值,即,所以,则,又,得,故函数.对于A,,故A不正确;对于B,当时,,即直线是函数的一条对称轴,故B正确;对于C,当时,,所以,函数在区间不单调,故C错误;对于D,将的图象向右平移个单位后,得到的图象,即D正确.故选:BD.【点睛】思路点睛:本题考查由图象求三角函数的解析式,考查正弦型函数的性质.解题思路是图象中最高点或最低点求得,由零点或最值点求出周期从而得,再由点的坐标求得,得函数解析式,然后利用正弦函数性质求解.12.如下图所示,B是AC的中点,,P是平行四边形BCDE内含边界的一点,且,以下结论中正确的是()A.当P是线段CE的中点时,,B.当时,C.若为定值时,则在平面直角坐标系中,点P的轨迹是一条线段D.的最大值为【答案】CD【解析】【分析】结合平面向量的线性运算、三点共线等知识对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】依题意,,A选项,当是线段的中点时,,A选项错误.B选项,若设分别是的中点,连接并延长,交的延长线于,则,且,所以,则点的轨迹是,,所以,B选项错误C选项,,,令、的中点为,由于,即,所以三点共线.设分别是的中点,连接,交于,则,是的中点,是的中点,则点的轨迹是,点的轨迹是,所以C选项正确.D选项,,由于平行四边形在的左上方,三点共线,所以,,故当取得最大值,取得最小值时,取得最大值,D选项正确.故选:CD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,填错位置,书写不清,模棱两可均不得分.)13.已知复数,满足,则__________.【答案】【解析】【详解】分析:根据复数的模都为1,可求得及间的关系,根据方程,得;表示出,代入即可求值.详解:设因为所以即化简得点睛:本题主要考查了复数模的定义及其相关运算,运算过程中注意熟练运用解题的技巧,属于基础题.14.的值__________.【答案】1【解析】【分析】由,结合辅助角公式可知原式为,结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】解:.故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式,考查了辅助角公式,考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15.在圆中,为圆心,,为圆上的两点,且满足4,则在方向上的投影向量的模是______.【答案】2【解析】【分析】取的中点,连接,则,由投影的定义可得答案.【详解】取的中点,连接,由垂径定理可得在方向上的投影向量的模为故答案为:2

16.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理,将转化为边,得到,将所求的转化成,结合,全部转化为的函数,再求出的范围,从而得到答案.【详解】根据正弦定理,将转化为即,又因为锐角,所以.所以因为是锐角三角形,所以,所以,得,所以故的取值范围是.【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积,正、余弦定理解三角形,余弦型函数的图像与性质,属于难题.四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.已知、、是同一平面内的三个向量,其中,,(1)若,求m的值;(2)若与共线,求k的值.【答案】(1)-1,(2)-2【解析】【分析】(1)先算出的坐标,再用平面向量数量积的坐标公式即可解得;(2)先算出与的坐标,再用向量共线的坐标公式即可解得.【详解】(1)因为,所以.(2),,因为与共线,所以.18.(1)已知,,其中,,求;(2)已知,,且,求的值.【答案】(1)-1;(2).【解析】【详解】试题分析:(1),根据条件求解即可;(2),只需求和三角函数即可.试题解析:(1)∵,,,,∴,,∴.(2)∵,,∴,∵,,∴,∴,∴.∴点睛:在三角化简求值类题目中,常常考“给值求值”的问题,遇见这类题目一般的方法为——配凑角:即将要求的式子通过配凑,得到与已知角的关系,进而用两角和差的公式展开求值即可.19.已知函数.(1)求的最小正周期和单调递增区间.(2)当时,求的最值.【答案】(1)最小正周期为,单调递增区间为,;(2)最小值1,最大值为2.【解析】【分析】(1)结合三角恒等变换化简函数解析式,进而判断图象性质;(2)利用整体代入法求函数的最值.【详解】(1)函数;∴的最小正周期为;令,;解得,;∴单调递增区间为,;(2)当时,,∴;∴时,取得最小值为1,时,取得最大值为2.20.在中,三个内角,,所对的边分别为,,,且.(1)求;(2)若,三角形的面积,求.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由题意结合正弦定理得,再由余弦定理可得,即可得解;(2)由(1)结合三角形面积公式可得,则利用余弦定理可得,计算即可得解.【详解】(1)由得,由正弦定理得即,,,由可得.(2)由(1)知,则,解得,又,,解得.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,属于中档题.21.如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台,已知射线为湿地两边夹角为的公路(长度均超过千米),在两条公路上分别设立游客接送点,从观景台到建造两条观光线路,测得千米,千米.(1)求线段的长度;(2)若,求两条观光线路与之和的最大值.【答案】(1)千米;(2)千米【解析】【分析】(1)在中利用余弦定理即可求得结果;(2)设,根据正弦定理可用表示出和,从而可将整理为,根据的范围可知时,取得最大值.【详解】(1)在中,由余弦定理得:千米(2)设,因为,所以在中,由正弦定理得:,当,即时,取到最大值两条观光线路距离之和的最大值为千米【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理求解实际问题,涉及到三角函数最值求解问题,关键是能够将所求距离之和转化为关于角的函数问题,得到函数关系式后根据三角函数最值的求解方法求得结果.22.已知向量,函数,