《指数函数的概念、图象和性质》教学设计一

2/2《指数函数的概念、图象和性质》教学设计一教学设计一、创设情境，引入新课情境：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.这句话告诉我们什么道理？你能联系我们现在的学习解释这一道理吗？假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样？两年后、三年后会怎样？如何计算？（实际上，一天后是1.01，两天后是，三天后是，一年后是.）如果我们用x表示天数，那么你获取的知识量y与天数x之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢？（结论：）假设知识的减少量也按照每天1%的速度计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，如何表示？（结论：）问题1：上述两个函数有何共同特征？问题2：根据上面的特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗？设计意图：以“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”这句话蕴含的道理，抽象出数学表达式，根据表达式提出问题，让学生抽象概括指数函数的概念，目的是激发学生学习的兴趣和热情，培养学生数学抽象的核心素养.二、探究新知师生活动：教师提出上面的两个问题，让学生思考、讨论、交流，引导学生如何把这两个具体的函数一般化.从底数上看，一个函数的底数是101，一个底数是0.99，所以我们把底数一般化，可以用一个字母a来表示.问题3：这里的底数a是否能取全体实数？为什么？可以在约定自变量x取一切实数的前提下，让学生用计算器计算一些（任意选取）幂的值，如，等，学生会发现，当底数为负数，指数为小数时，计算器都显示出错信息若底数取某个负数，如底数，观察，发现指数x取值的范围不连续，有的实数可取，有的不可取归纳起来，有：（1）若，那么当时，（“”表示“恒等”）；当，无意义；（2）若，那么对于x的某些数值，无意义；（3）若，那么对任意的，对它没有研究的必要.因此规定，且.指数函数的定义：是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数其定义域是R.设计意图：在指数函数的定义的教学中，不要把“规定，且”强加给学生，通过上述探究讨论的过程，“规定，且”就显得比较自然、合理.问题4：你能结合指数函数的定义，得出指数函数的哪些性质？师生活动：教师引导：你能得出函数的值域吗？生：由于，且，x取全体实数，所以y的取值范围为正实数，也就是函数的值域为.问题5：指数函数的图象是否过定点？为什么？指数函数的图象过定点，因为当x取0时，不论a取何值，y值总是1.问题6：根据指数函数的定义，你能判断下列函数哪些是指数函数吗？①；②；③；④；=5\*GB3⑤.根据指数函数的定义，③⑤是指数函数，其他的都不是.练习：若函数是指数函数，则实数___________.（答案：2）设计意图：掌握指数函数的定义，会用指数函数的定义判断一个函数是否为指数函数.判断一个函数是不是指数函数，只需判断其解析式是否符合指数函数（，且）的形式，并且必须严格满足这一形式.问题7：如何讨论一个函数的性质，用什么方法？从哪些角度进行讨论？用函数的图象研究函数的性质，以数形结合的方式讨论函数的性质.问题8：如何画出指数函数的图象？指数函数的图象是怎样的？师生活动：首先让我们研究底数大于1的指数函数的图象.探究1：同学自己按照列表、描点连线的步骤，可以借用所给的部分数据，先分别画出函数的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较.设计意图：给出部分数据，便于学生进行描点，投影学生画的图象，展示学生的作品，增强学生学习的信心.探究2：当时，指数函数的图象从左向右有怎样的趋势呢？是上升的还是下降的？师生活动：教师用几何画板演示当底数变化时，图象的变化过程学生观察随着a的变化图象的变化趋势.共同得出结论：当底数时，指数函数的图象从左向右看是上升的，而且底数越大，图象在y轴右侧的部分越靠近y轴.一般地，当时，指数函数的定义域是R，值域是，过定点，在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0.对于函数和：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，.问题9：前面研究了指数函数的图象和性质，那么当时，函数又有怎样的图象和性质呢？师生活动：教师留时间让学生根据研究的方法研究当时，函数的图象与性质，学生自主研究，教师让学生展示、分享研究结果.教师用几何画板演示底数时，当底数变化时，图象的变化过程，学生观察随着a的变化图象的变化趋势.共同得出结论：当底数时，指数函数的图象从左向右看是下降的，而且底数越大，图象在y轴左侧的部分越远离y轴.一般地，当时，指数函数的定义域是R，值域是，过定点，在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大.对于函数和：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，.问题10：你能用表格比较和的指数函数的图象和性质吗？学生观察图象得出指数函数的性质.图像性质（1）定义域：R（2）值域：（3）过定点，即时，（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在R上是增函数当x值趋近于正无穷大时函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0（5）在R上是减函数当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大三、典型例题例1比较下列各题中两个数的大小：（1）；（2）；（3）；（4）.分析：利用指数函数的单调性进行比较，当底数时，在定义域R上是增函数，当底数时，在定义域R上是减函数.解：（1）因为函数在R上是增函数，且，所以.（2）因为函数在R上是增函数，且，所以.（3）因为函数在R上是减函数，且，所以.（4）因为函数在R上是减函数，且，所以.例2（1）求使不等式成立的实数x的集合；（2）已知方程，求实数x的值.分析：（1）把写成写成，利用指数函数的单调性，把指数不等式转化为普通的代数不等式求解.（2）把写成，把243写成，把指数方程转化为普通的代数方程求解.解：（1）因为，所以原不等式可化为.因为函数在R上是增函数，所以，即.因此，使不等式成立的实数x的集合是.（2）因为，所以原方程可化为.因为函数在R上是增函数，所以，即.例3求下列函数的值域：（1）;（2）.分析：（1）把函数化成，利用函数的值域进行求解.（2）把函数，化成，利用函数在的值域来求函数的值域.解：（1）因为可化为，而函数的值域为，所以函数的值域为.（2）因为函数可化为，而函数在R上是减函数，所以函数的值域为.设计意图：通过利用指数函数的性质比较大小和解不等式或方程的过程，可以使学生深入理解指数函数的概念和性质.四、巩固练习教材第87页练习第1，2题.五、课堂小结1.指数函数的图象特征.2.指数函数的性质：定义域、值域、单调性、过定点.3.指数函数图象和性质的应用.板书设计第1课时指数函数的概念、图象和性质1.指数函数的定义：是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数其定义域为R2.指数函数的图象和性质图像性质（1）定义域：R（2）值域：（3）过定点，即时，（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在R上是增函数当x值趋近于正无穷大时函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0（5）在R上是减函数当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大3.典型例题例1例2例34.课堂小结教学研讨本案例通过创设情境“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”这句话引申到知识的学习，并从中抽象出函数模型，利用抽象的函数模型归纳概括出指数函数的定义，极大地激发了学生学习的兴趣和热情，为学好本节课开了个好头在抽象出指数函数的定义的过程中，对底数a取值范围的规定，并不是强加给学生的，而是让学生用计算器进行求值探究，让学生去发现，去揭示这一规定的合理性这样做的目的是不仅让学生知其然而且知其所以然，真正让学生体会到知识的产生过程对于指数函数的图象与性