双变量问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点07双变量问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1双变量单调性问题】...................................................................2

【题型2双变量的最值（取值范围）问题】......................................................3

【题型3双变量问题转化为单变量问题】........................................................4

【题型4与极值点有关的双变量问题】..........................................................5

【题型5与零点有关的双变量问题】............................................................6

【题型6双变量的恒成立问题】.................................................................7

【题型7双变量的不等式证明问题】.............................................................8

【题型8与切线有关的双变量问题】............................................................10

【题型9双变量的新定义问题】................................................................11

►命题规律

1、双变量问题

导数是高中数学的重要考查内容，是高考常考的热点内容，而导数中的双变量问题在高考中占有很重

要的地位，主要涉及双变量的恒成立问题、双参数不等式问题以及双变量的不等式证明等问题，一般作为

解答题的压轴题出现，难度较大，需要灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的双变量问题】

1.导数中的双变量问题

导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数

不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【知识点2导数中的双变量问题的解题策略】

1.转化为同源函数解决双变量问题

此类问题一般是给出含有XI，X2,於1），加2）的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式

相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.

2.整体代换解决双变量问题

（1）解此类题的关键是利用代入消元法消去参数。，得到仅含有XI,X2的式子.

⑵与极值点Xl,X2有关的双变量问题：一般是根据xi，X2是方程/（X）=O的两个根，确定Xl，X2的关系,

再通过消元转化为只含有XI或X2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为XI，X2的齐次式，然后

转化为关于g的函数，把些看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.

3.构造函数解决双变量问题的答题模板

第一步：分析题意，探究两变量的关系；

第二步：合二为一，变为单变量不等式；

第三步：构造函数；

第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；

第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.

►举一反三

【题型1双变量单调性问题】

【例1】(23-24高二下•江苏常州•期中)已知函数/'(%)=xInK-ga/,aeR.

(1)若以久)=与，求函数g(x)在区间［l,e］上的最大值；

(2)若对于任意的打，x2e+X1^x2,都有号号詈<1，则实数a的取值范围.

【变式1-1］(23-24高二下•上海•期末)已知/(久)=2x+l—xln久.

(1)求曲线y=/(%)在％=1处的切线方程；

(2)若对任意的％i，%2e(。，+8),且久1w无2，都有£"豆一"、2)>m(%1+上)，求实数血的取值范围.

%1一%2

【变式1・2】(23・24高二下•上海,期末)已知函数/(%)=一(。+2)%+in%

(1)当a=1时，求函数f(%)的极大值；

(2)若丝:？)>_2对一切o<打<久2都成立，求实数a的取值范围.

【变式1-3](2024・山西吕梁•三模)已知函数/(%)=d一2%+aln%,(aeR).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若对任意的比1/2e(0,+00),X1丰x2,使"⑶)>0恒成立，则实数a的取值范围.

久1一％2

【题型2双变量的最值(取值范围)问题】

【例2】(2024•安徽合肥•模拟预测)已知函数/■(久)=Inx-a久一3

(1)若f(x)N0,求实数a的取值范围；

(2)若g(x)=f(x)+x2+2有两个极值点分别为巧，%2(xi<x2)>求2goJ-。(冷)的最小值.

【变式2-1](2023•湖北武汉•一模)已知关于无的方程a光—Inx=0有两个不相等的正实根比i和久2,且打<①

(1)求实数a的取值范围；

(2)设k为常数，当a变化时，若若久2有最小值e,，求常数k的值.

【变式2-2](2024・四川成都・模拟预测)已知函数/(£)=詈-m/e(0m).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若比1<x2,满足/O1)=/(%2)=0-

(i)求m的取值范围;

(ii)证明：%i+%2V兀

【变式2-3](2024•四川泸州•一■模)已知函数/(%)=a%+1-％ln%的图像在％=1处的切线与直线％-y=0

平行.

⑴求函数/(%)的单调区间;

(2)若V%i，%2€(。，+8),且;q>和时，/Ui)-/3)>M(年一老)，求实数m的取值范围.

【题型3双变量问题转化为单变量问题】

【例3】(2024•全国•模拟预测)已知函数-当，a>0.

(1)若/(%)存在零点，求。的取值范围；

(2)若无1，%2为/(%)的零点，且证明：a(%i+%2)2>2.

【变式3-1](2024・广东佛山・二模)已知/(%)=-1e2%+4ex-ax-5.

(1)当a=3时，求/(%)的单调区间；

(2)若/(%)有两个极值点第1，冷，证明：/Oi)+。(冷)++%2Vo.

【变式3-2](2024•四川•模拟预测)已知函数/(x)=(a+l)e，-1/+i(aeR).

(1)当a=1时，求曲线y=/(比)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)设比<小)是函数y=f'0)的两个零点，求证：+X2>2.

【变式3-3](2024•安徽阜阳•一模)已知函数/(%)=31nx—ax.

(1)讨论f(%)的单调性.

(2)已知久i，%2是函数/(久)的两个零点(第1<%2)・

(i)求实数a的取值范围.

(ii)Ae(0;)，//(%)是/(%)的导函数.证明：/[A%!+(1-A)X2]<。.

【题型4与极值点有关的双变量问题】

【例4】(2024・四川南充•二模)已知函数/(%)=ae汽一%3(。£R)有三个极值点%(%1<%2<%3).

⑴求实数a的取值范围；

(2)若%322%2，求实数a的取值范围.

【变式4-1](2023•全国•模拟预测)已知函数/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t-l)x(t6R).

(1)当t=0时，讨论函数/(%)的极值；

0

(2)已知F(%)=/(%)-e%,函数产(%)存在两个极值点%1，冷，证明：%i+%2<-

【变式4-2](2023•四川攀枝花•模拟预测)已知函数/(%)=ae%-%(aER).

(1)当a=1时，求/(%)的单调区间；

(2)设函数g(%)=(%2-l)ex-%-/(%),当g(%)有两个极值点%<%2)时，总有旭(%2)之(2+%i)(eX2+

成一3)成立，求实数力的值.

【变式4-3](2023•上海松江•模拟预测)已知函数/(%)=a%-aln%

(1)若。=0,求函数y=/(久)的极值点；

(2)若不等式/(%)<0恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若函数y=/(%)有三个不同的极值点久1、%2、%3，且/(%1)+/(%2)+f(%3)43e2-e,求实数a的取值范

围.

【题型5与零点有关的双变量问题】

【例5】(2024•四川•一模)已知函数/(%)=a/+%-In%-a.

(1)若a=l,求/(%)的最小值；

(2)若/(%)有2个零点％1，%2，证明：+%2尸+(%i+冷)>2.

【变式5-1](2023・河南•模拟预测)已知函数其中e为自然对数的底数.

(1)当a=1时,求/(£)的单调区间；

2

(2)若函数gO)=/(%)-《有两个零点2aLV%2)证明：X1-x2>e.

【变式5-2](2023•贵州贵阳•模拟预测)已知函数/(%)=a%-In%有两个零点％

(1)求a的取值范围；

2e

(2)求证：%1+%2>(其中e是自然对数的底数).

【变式5・3】(2023•海南海口•模拟预测)已知函数/(%)=疣计2.

(1)求/(%)的最小值；

(2)设尸(%)=/(%)+a(x+l)2(a>0).

(i)证明：/(%)存在两个零点%0%2；

(ii)证明：F(%)的两个零点％0犯满足%1+%2+2V0.

【题型6双变量的恒成立问题】

【例6】(2023・四川自贡•二模)已知函数/(%)=-好有两个极值点%1、%2.

(1)求a的取值范围；

(2)若％2>3勺时，不等式％1+尢Q22%62恒成立，求入的最小值.

【变式6-1](2023•河南•二模)已知函数/(%)=3租%2+(7n-1)%-ln%(m€R),g(%)=/-9+i.

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)当血>0时，若对于任意的第1e(0,+8),总存在％2e[1,+oo),使得/(%i)>g(%2)，求血的取值范围.

【变式6-2](2023•全国•二模)已知函数/(%)=%lnx-一%+R),/'(、)为/(%)的导函数.

(1)当a=：时，若g(%)=/，(%)在[匕力+l](t>0)上的最大值为九(。，求八⑷；

(2)已知%1，%2是函数/(X)的两个极值点，且％1<%2，若不等式ei+血<皆恒成立，求正数m的取值范围.

【变式6-3](2023•安徽淮南•一模)已知/(%)=a\nx+%有两个不同的零点％力第2(。<<x2).

(1)求实数〃的取值范围；

(2)若&="1个=工_1),且/'(%o)>o恒成立，求实数a的范围.

1+Z

【题型7双变量的不等式证明问题】

[例7](2023•安徽六安•模拟预测)已知函数/(%)=x2+2cos%,/'(%)为函数/(%)的导函数.

⑴讨论函数/(久)的单调性；

(2)已知函数g(%)=/(%)-5%+5alnx,存在g(%i)=5(x2)(xi。]2)，证明：%i+%2>2a.

【变式7-1](2024•湖南长沙•三模)已知函数/(%)=%—1sin]—+1.

(1)当TH=2时，试判断函数/(%)在(7T,+8)上的单调性；

(2)存在%1，%2W(°，+8),%1(%2，f(%l)=/(%2)，求证：第1久2<租2.

【变式7・2】(2023•福建龙岩•二模)已知函数/(%)=In%,g(x)=%-

(1)若%o满足/(%o)=比|,证明：曲线y=/(%)在点Z(%oJn%o)处的切线也是曲线y=e*的切线;

XQ—1

(2)若F(x)=/(x)一g(x),且F'Qi)=F(X2)(^I*x2),证明：尸(打)+F(x2)<41n2-7.

【变式7-3](2024•天津河西•模拟预测)已知函数/'(x)=/dnx+9(keR).

(1)若函数y=/(x)为增函数，求k的取值范围；

(2)已知0<Xi<x2.

(i)证明：1

e2e"ixi%i

(ii)若W=得=匕证明：

【题型8与切线有关的双变量问题】

[例8]（2023・四川成都•模拟预测）若函数/（久）=alnx-^x2+a+j（x>0）有两个零点/,冷，且/<冷一

（1）求。的取值范围；

（2）若/1（X）在01,0）和（K2，。）处的切线交于点（乂3,>3），求证：2X3<xr+x2.

【变式8-1]（2024•广东•二模）已知/（X）=ga%2+（1-2a）久一21nx,a>0.

⑴求f（x）的单调区间；

（2）函数/（久）的图象上是否存在两点4（久1，）71）,8。2，丫2）（其中打工久2），使得直线A8与函数/（久）的图象在Xo=

中处的切线平行？若存在，请求出直线A以若不存在，请说明理由.

【变式8-2]（2024・四川宜宾•三模）已知函数/■（久）=（m+\）lnx+，久，（其中常数相>0）

（1）当m=2时,求/1（%）的极大值;

（2）当me[3,+8）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（*i，/Qi））、。（孙/3）），使得曲线y=/（%）在点P、

Q处的切线互相平行，求久1+久2的取值范围.

【变式8-3]（2024•重庆•模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法一牛顿

法.具体做法如下：如图，设r是/'（X）=0的根，首先选取久o作为r的初始近似值，若f（x）在点Qo"（%o））

处的切线与久轴相交于点。1,0）,称打是厂的一次近似值；用打替代刀。重复上面的过程，得到冷，称久2是「

的二次近似值；一直重复，可得到一列数：久0，勺，久2,…,引，”••在一定精确度下，用四舍五入法取值，当

%九-1，%式几€N*)近似值相等时，该值即作为函数f(%)的一个零点厂.

(1)若/(%)=炉+3/+久一3,当％0=。时，求方程/(%)=0的二次近似值(保留到小数点后两位)；

⑵牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数g(%)=?-3在点

(2,g(2))处的切线，并证明：ln3<l+*

(3)若/i(%)=%(1-In%),若关于久的方程/i(%)=。的两个根分别为％i，%2(%i<%2)，证明：x2->e-ea.

【题型9双变量的新定义问题】

【例9】(2024・浙江绍兴•三模)若函数以式)有且仅有一个极值点机，函数/?(%)有且仅有一个极值点九,且m>n,

则称a(%)与口(%)具有性质a-p//m>n.

(1)函数@1(%)=sin%-/与%(%)=e"一％是否具有性质的一(jP2//x0>。?并说明理由.

xx

(2)已知函数/(%)=ae-ln(x+1)与g(%)=ln(x+a)-e+1具有性质/-g//xr>x2.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：

【变式9-1](2023・湖北•二模)设f(%)是定义在区间(1,+8)上的函数，其导函数为，(%).如果存在实数。

和函数八(%),其中八(%)对任意的%€(1,+8)都有％(%)>0,使得f'(%)=%(%)(/一+1),则称函数/(%)

具有性质P(a).

(1)设函数/(x)=Inx+七(%>1),其中6为实数.

(i)求证：函数汽幻具有性质P(b)；

(ii)求函数/(x)的单调区间.

(2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定的,比26(1,+8),xr<x2>设加为实数，

a=mxr+(1-m)x2,/3-(1-m)xr+mx2,且a>l,/?>1,若|g(a)—g(0)|<IgOJ-g(%2)l，求机

的取值范围.

【变式9-2](2024•浙江温州•二模)如图，对于曲线「，存在圆C满足如下条件:

①圆c与曲线r有公共点4且圆心在曲线r凹的一侧；

②圆c与曲线r在点力处有相同的切线；

③曲线r的导函数在点a处的导数(即曲线r的二阶导数)等于圆c在点a处的二阶导数(已知圆(％-a)2+(y-

2

b)2=M在点AQojo)处的二阶导数等于六下)；

kb-yo)

则称圆c为曲线r在力点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

(1)求抛物线y=炉在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线y=[的曲率半径的最小值；

(3)若曲线y=e%在0”刃和3户)(％]H冷)处有相同的曲率半径，求证：%i+x2<-ln2.

【变式9-3](2023•上海徐汇・二模)已知常数k为非零整数，若函数y=f(x),x€[0,1]满足：对任意犯,比26

fefc

[0,1],1/(x0-/(x2)|<|(%1+l)-(x2+l)|,则称函数y=f(x)为L(k)函数.

(1)函数y=2x,xe[0,1]是否为L(2)函数？请说明理由；

(2)若y=f(x)为乙⑴函数，图像在xe[0,1]是一条连续的曲线，f(0)=0,f⑴=,，且/(%)在区间(0,1)上

仅存在一个极值点，分别记/(x)max、f(久)min为函数y=/O)的最大、小值，求f(Wmax-f(久)min的取值范围;

(3)若a>0,f(x)=0.05x2+O.lx+aln(x+1),且y=/(x)为L(-l)函数，g(x)=/(%),对任意久,y£[0,1],

恒有|g(x)—g(y)|WM,记M的最小值为M(a),求a的取值范围及M(a)关于a的表达式.

►过关测试

一、单选题

1.(2023•吉林长春•模拟预测)已知a,b满足0。=一四-2,b(\nb-2)=e4,其中e是自然对数的底数，

则ab的值为()

A.-eB.—e2C.-e，D.—e4

2.(23-24高三上•广东江门•阶段练习)已知/(%)=alnx+|x2(a>0)若对于任意两个不等的正实数%八x?,

都有"》)-八3>2恒成立，贝必的取值范围是()

-％2

A.(0,1]B.口+8)C.(0,3]D.[l,2e)

3.(23-24高二下•福建福州,期末)已知%,y为正实数，In%+Iny=；-则()

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

4.(2023•江苏南通•模拟预测)已知直线y=kx+力与函数y=Asin(3%+夕)Q4>0,3>0)的图象恰有两个

切点，设满足条件的左所有可能取值中最大的两个值分别为的和七，且的>心，则()

A.|<^-<-B.-<r<-C.-<r<-D.-<r<-

5故75k233々235k23

5.(23-24高二下•福建福州•期中)已知函数f(%)=下一2)e%,若f(%i)=f(%2)，且第1。％2，-x2>0,

则()

13

A.>-B.x2<-C.%1%2>1D./+X2V2

6.（2024・四川成都•一模）已知a>b,且e。一a=—b=1.01,则下列说法正确的有（）

①61；@0<a<1；®b+a<0；®a—b<1.

A.①②③B.②③④C.②④D.③④

7.（2024•四川广安•模拟预测）已知0<x<y<TT,且eVsinK=e^siny,其中e为自然对数的底数，则下

列选项中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sinx>siny

8.（23-24高二下•四川眉山•阶段练习）已知函数/（%）=e%+a%有两个零点％1，久2，且久i>第2，则下列说法

不正确的是（）

A.a<—eB.+冷>B(%I%2)+2

C.x±x2>1D./(%)有极小值点

二、多选题

9.(2024•海南海口•模拟预测)设函数/(%)=+(1-％)ln(l-贝！J()

A./(%)=/(I-x)

B.函数/(%)有最大值-ln2

C.若久1+冷=1，贝1+%2,(%1)之一ln2

D.若%1+%2VL且]V*<1，贝()/(%2)</(%1)

10.（2024•广东广州•一模）已知直线y=for与曲线y=In%相交于不同两点N（x2,y2）,曲线y=Inx

在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（%o，yo）,则（）

1

ex

A.0<k<-B.%62=oC.yi+y2=1+y0D.y42<1

11.(2023•广东广州•一模)已知a>0,h>0,abea+\nb-1=0,贝!]()

1i

A.Inh>-