数列求和问题（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第27讲数列求和问题

（7类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

考题示例考点分析

2024年天津卷，第19题,15由递推数列研究数列的有关性质等比数列通项公式的基本量计算求等

分比数列前n项和裂项相消法求前n项和

2023年天津卷，第19题,15等差数列与等比数列综合应用等差数列通项公式的基本量计算求等差

分数列前n项和写出等比数列的通项公式

2023年天津卷，第5题,5等比数列通项公式的基本量计算利用等比数列的通项公式求数列中的项

2022年天津卷，第18题,15等差数列通项公式的基本量计算等比数列通项公式的基本量计算错位

分相减法求和分组（并项）法求和

2021年天津卷，第19题,15等差数列前n项和的基本量计算由定义判定等比数列错位相减法求和

分数列不等式恒成立问题

2020年天津卷，第19题,15等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和等比数列通项公

分式的基本量计算分组（并项）法求和

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分

【备考策略】1.理解、掌握集数列通项公式的求法，能够利用证明等差数列与等比数列

2.能掌握数列的求和公式

3.具备数形函数的思想，会借用函数的特征求解数列的单调性与最值

4.会解数列的奇偶项求和与公共项等问题。

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推公式，求解数的通项与求和问题。

加.考点梳理•

考点一、分组与并项求和法

考点二、错位相减法

1.公式法考点三、裂项相消法

2.分组求和法.

知识点.数列求和的几种常用方法«3.错位相减法考点四、倒序相加法

考点五、奇偶项求和法

{4.裂项相消法

考点六、数列公共项问题

考点七、数列增减项问题

知识讲解

知识点.数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前"项和公式求和.

①等差数列的前〃项和公式：

-nal2-2,

②等比数列的前八项和公式：

"nalt(q=1)

Sn=_%一%也,丰

.1-q-1-q«)

2.分组求和法与并项求和法

①分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后

相加减.

②并项求和法

一个数列的前力项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如斯=(-1)%")类型，可采用两项合并

求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

常见的裂项技巧：

®nn~\-1nn~\-V

@nn+2=2^-^+2)

③2〃-12〃+1-2(2九-12〃+J

1—yjn+1—y[n.

/+1

号1」「」一]

nn~\~ln+22_nn+1〃+ln+2

考点一、分组与并项求和法

典例引领

1.（2022・天津・高考真题）设是等差数列，｛,｝是等比数列，且的=br=a2-b2=a3-b3=1.

（1）求｛a九｝与｛b｝的通项公式；

（2）设｛a九｝的前n项和为男,求证：（S九+i+an+1）bn=Sn+1bn+1-Snbn；

（3）求2%Ja/c+i一（一i）%口尻.

n-1

【答案】（l）%i=2n-l,bn=2

⑵证明见解析

（6n-2）4n+1+8

（）9

【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；

（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；

2k-1fc+1

（3）先求得[a2k-（-l）a2fc-i]^2fc-i+[a2k+i—（一1）2%2m62/0,进而由并项求和可得&=-4,

再结合错位相减法可得解.

【详解】(1)设｛&J公差为d,｛4｝公比为q,则a九=1+(九-l)d,bn=q"T,

由02—b2=CL3—b3=1可得92'4今d=q=2(d=q=0舍去)，

1+ZcZ—q=1

n-1

所以a九=2n—l,bn=2；

(2)证明：因为3+i=2%H0,所以要证(S九+i+%+1)%=SH+I^+I-S"打，

即证(S九+i4~a?i+i)b九=2bH—Snbnf即证S7T+1+a7T+i—2Sn+1—Sn,

即证a九+1=S九+1—Snj

而Q?i+1=^n+l—S九业然成_\7*，所以(S^i+i+=^n+l^n+1—'"?i；

(3)因为[。2上—(-1)2"一"2上-1]力2上-1+[a2k+l-(-l)2ka2fc]^2fc

=(4fc-1+4fc-3)x22k-24-[4/c+1-(4k-1)]x22fc-*1=2k•小，

所以2%』以+1—(一1)%上]瓦=Sfc=i[(a2k-(-l)2/C-la2fc-l)^2k-l+(a2k+l~(~V2ka2k)^2k]

=2"2k4,

设"=2：="4k

所以乃=2X4+4X42+6X43+-+2nx4n,

则4二=2X42+4X43+6X44+•••+2nx4n+1,

作差得一3"=2(4+42+43+44+…+4")-2n-4n+1=>"(一力―2nx4n+1

1—4

_(2-6n)4n+1-8

-3'

所以T”=(6吁2)「,

所以[以+]一(一1)%周尻=(6w-2)ri+8

2.(2019•天津•高考真题)设｛%J是等差数列,｛匕｝是等比数列.已知的=4'=6,b2=2a2-2也=2a3+

4.

(I)求｛an｝和物。的通项公式;

(II)设数列｛5｝满足q=1,cn=0，f：:苫，其中k£N*.

(i)求数列｛a2n(。2支-1)｝的通项公式;

(ii)求W，a,;c,；(nGN*).

nnn+1n+]

【答案】(I)an=3n+l；fan=3x2(II)(i)a2n(c2n-1)=9x4-l(ii)3x4+3X2-18(neN*)

【分析】(I)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；

(11)结合(I)中的结论可得数列他2“。2"-1)｝的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行

a2lc2i(neN*)的值.

i=l

【详解】(I)设等差数列的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q.

俄日而言汨f6q=2(4+d)-2=6+2d缶“14d=3

依题意得%2=2(4+2d)+4=12+4d,解得用=2'

n-1n

故a九=4+(n—l)x3=3n+l,bn=6x2=3x2.

所以，｛册｝的通项公式为=3n+1,｛%｝的通项公式为小=3x2n.

nnn

(n)(i)Q2”c2n-1)=a2n(bn-1)=(3x2+1)(3x2-1)=9x4-1.

所以，数列｛a2n(c2rl—1)｝的通项公式为a2n(c2n-1)=9x471—1.

acl

_^a2t^=2^^[a2t+-1)]=221a^=1A2~1)

=1+^?x3)+2M(9X4»_1)

4(1-4”)

=(3x2n+1+n-6)+9x；_J-n

=3x4n+1+3x2n+1-18(nGN*).

【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和

数列求和的基本方法以及运算求解能力.

即时检测

■一

1.(24-25高三上•广西•阶段练习)已知函数/(久)=ln(|±D+久一1,则22°：/(亳)=()

2023

B.-2023C.-1012D.-2024

A.2

【答案】A

【分析】先根据函数性质可得当％G(0,1)时,/(1-%)+/(%)=-1,最后应用分组求和即可.

【详解】当％E(0,1)时，1—%E(0,1),<0,f(%)=In+%—1,

所以/(I-%)+f(%)=In——+1—x—1+ln---Fx—1=In(—,--)—1=-1,

则Xif岛)=/岛)+f岛)+…+，嚣)

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分析得/(I-%)+/(%)=-1,从而得解.

an+1,cinV3,

幺c>&记｛%｝的前几项和为无，若的=1,

｛3，三3，

则S50=;若ai=|,keN*,贝!)S3k+i=•

【答案】996k

【分析】根据题意，当的=1时，得到数列｛&J是以1,2,3为周期的周期数列，进而求得Sso的值，当0<的<1

时，得到。3k1+。3上+。3日1=券+6,进而求得S3L+1的值.

CLn+1,CLn<3,

｛&c,2记｛%J的前几项和为治,

若=1,。2=。1+1=1+1=2,&3=。2+1=2+1=3,

则。4=半=1'a5=a4+l=l+l=2/a6=a5+l=2+l=3,

可以发现数列｛%J是以123为周期的周期数列，一个周期的和为1+2+3=6,

所以S50=16((11+g+。3)+%+。2=16x6+1+2=99；

当0<%V1时，g=+1，。3=+2,。4=%+3>3,

。5=j=j+1<3,%=@5+l=\+2v3,a?=寸+3>3,…，

a3fc-i=而三十La3k=布+4a3k+i=声T+3,…，

因为0<%<1时，可得0〈墨VI,则以三个为一组循环，

且的k-1+a3k+a3k+i=3X+1+2+3=^27+6，

则S3/C+I=+(。2+%+。4)+…+(a3k-l+a3k+a3k+l)

411

=%+(3%+6)+(的+6)+—F(fc_2+6)=(1+3+1+-+—F仆2)十i+6k

3[1—⑥町1111

=｛1+-不一｝@1+6々=3一天T+6k.

3

故答案为：y—^77+6k.

2

3.(24-25高三上•湖南长沙•开学考试)已知数列｛&J的前几项和为Sn=n-n,nEN+.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)设g=2。"，证明｛g｝是等比数列；

7

(3)设c”=bn+n,求数列｛&｝的前几项和k

【答案】(l)an=2几一2

(2)证明见解析

【分析】(1)根据an=Sn-Sn_i分段求出数列通项;

(2)应用等比数列定义证明即可；

(3)应用等差、等比求和公式分组求和即可.

【详解】(1)当九=1时，al=SI=1—1=。，

当n>2时，cm=Sn—Sn—l［(n2—n)—(n—I)2+(n—1~)］—2n—2,

因此数列｛即｝的通项公式为厮=2n-2；

2n2

(2)bn=2。”=2-,

因为乎=哗售=4是常数，neN*,

故｛5｝是等比数列；

(3)｛6n｝是等比数列，首项是&=2。1=2。=1,公比是4,

rln

bn=b1-4T=2al•空-1=4T,

n-1

cn—4+n,

所以T_L(I")(l+n>n_4"-ln(n+l)

n—1-42-32

4.(24-25高三上•江苏南京•阶段练习)己知｛即｝是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为治,

且=3,的,£13,成等比数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)定义在数列｛即｝中，使log3(an+1)为整数的a“叫做“调和数”，求在区间［1,2024］内所有“调和数”之和.

【答案】(l)an=n+l

(2)1086

【分析】(1)结合等比中项的知识求得等差数列的公差，从而求得通项公式.

(2)利用列举法写出“调和数”，结合等比数列前几项和公式求得及.

【详解】⑴因为的,。3，。7成等比数列，

所以a专=a1•CLy)

因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为d,

所以［a2=+d—3

l(Gti+2d)2—ar-Qar+6d)'

所以｛忆；，

所以与=a1+(n—l)d=n+1.

b

(2)设b=log3(an+1),所以an=3—1,

令1WbW2022,且b为整数，

6767

XSlog33=l,log33=729,log33=2187,log33<2022<log33,

所以b可以取1,2,3,4,5,6,

此时厮分别为31-1,32-1,33-1,34-l,35-l,36-l,

所以区间［1,2024］内所有“调和数”之和

*=(31-1)+&-1)+(33-1)+(34-1)+(35-1)+(36一1)

=(31+32+33+34+35+36)-6

3(1-36)

=----------------O

1-3

=1086.

考点二、错位相减法

■典-例-_引__领___

1.(2020•全国•高考真题)设｛即｝是公比不为1的等比数列，%为g，内的等差中项.

(1)求｛an｝的公比;

(2)若％=1,求数列｛九an｝的前几项和.

【答案】(1)一2；(2)Sn=i-(i+3；)(-2)：

【分析】(1)由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；

(2)由(1)结合条件得出｛即｝的通项，根据｛na"的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.

【详解】(1)设的公比为q,%为即，。3的等差中项，

2al=a2+。3,=°，•,•I2+q—2=0,

qW1,••・q=-2；

711

(2)设｛几册｝的前71项和为％,=ltan=(-2)-,

71

Sn=1x1+2x(—2)+3x(-2)2+…+71(—2)—1,①

3nln

—2Sn=1X(-2)+2X(-2)2+3X(―2)+…(M—1)(—2)+n(-2)f②

n

①一②得，3Sn=l+(-2)+(-2)2+…+(-2广-1-n(-2)

_l-(-2)nz八九_l-(l+3n)(-2)n

一年7一九(-2)--------3--------'

【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求

解能力，属于基础题.

2.(24-25高三上•四川达州・开学考试)已知数列｛即｝的前n项和为%,且2Sn+9=3与+4Tl.

(1)求数列｛%J的通项公式；

(2)求数列｛以厮-2)｝的前n项和七.

【答案】(l)an=3"+2

(2n-l)3n+1+3

(2叫=----4-----

【分析】(1)根据%,斯的关系，作差可得｛册-2｝为等比数列，即可由等比通项求解，

(2)利用错位相减法，结合等比数列求和公式即可求解.

【详解】(1)当?1=1时，2al+9=3a1+4,即的=5,

当n>2时，25n+9=3an+4n①，+9=3tzn_1+4(n—1)②，

①-②得:2an=3an_3an_1+4,即即=3on_^—4,所以斯—2=3(an_^—2).

因为%-2=5-2=3,

所以数列｛6-2｝是首项为3,公比为3的等比数列.

贝110^-2=3%即an=3n+2.

n

(2)由(1)得，n(an-2)=n-3,

所以〃=1x3+2x32+3x33+■■■+nx3n,

37^=1x32+2X33+•••+(n-1)X3n+nX3n+1,

n+12nn+1n+1

故2*=nx3-(3+3+­­•+3)=nx3-^112=(n-x3+

3—1\2/2

所以Tn=On-】)”一.

4

即时检测

1.(23-24高三下•江苏南通•阶段练习)已知各项均为正数的数列｛即｝的前几项和为工,且a2=3,即=图+

户二(nGN*且n>2).

(1)求｛5｝的通项公式；

(2)若g=引设数列｛%｝的前n项和心,求证：*<3.

【答案】⑴即-2n—1

(2)证明见解析

【分析】(1)根据anuSn-Snr的关系可得｛图｝为等差数列，即可求解为=足，进而可得a”=2n-l,

(2)利用错位相减法求和，即可求证.

【详解】(1)当n=2时，a?=居+如，

即3=,3+%+y[a[,解得的=1.

因为an=Sn-Sn_i(n>2),

所以Q九=-d+yjSn—J(n>2),

又+JS九t(n>2,n£N*),an>0,

所以用一向二=1(n>2),

又=V^i=VT=1,

所以数列｛店｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以=1+(71—1)=71,所以%=几2.

22

当n之2时，an=Sn-Sn_t=n—(n—l)=2n—1,

当九=1时，的=1,满足上式,

所以数列｛%J的通项公式为册=2n-l.

（2）由⑴知匕=爱=祭

所以=瓦+力2+力3+…+g=[+卷+卷+…+摩士

1,3,52n-l

所以1n=-H----7H----7+…H-----

2223242n+1

2n-l—Y)”

匚1,2,2,,22n-l.,1,1,.111271—132?1+3

所以=&+天+/+…+乔-^7=1+w+齐+…+布一习n+1

2-1-122n+122n+1

所以*=3-簧，

由于簧>0,所以"=3—箸<3

2.（2024.河南周口.模拟预测）记治为正项等比数列5｝的前n项和，已知S?=|,=蒋，neW*.

⑴求数列｛册｝的通项公式;

（2）设得=2n-1,7；为数列也｝的前n项和，证明：|<7；<3.

【答案】（1）厮=（I）"

（2）证明见解析

【分析】（1）设等比数列｛&J的公比为q（q>0）,结合等比数列求和公式可得的,q,即可得结果;

（2）由⑴得，b=宏，利用错位相减法可得〃=3-（2n+3）•（»,进而分析证明.

【详解】⑴设等比数列｛即｝的公比为q（q>0）,由S2=：,S4=普可知，q大1,

416

-_3

得1+//解得q=>负值舍去），

｛~16

1-q

将q=Y弋入也产=；，解得的=

Z1—Q42

所以数列｛册｝的通项公式为厮=a"T=（j）n.

（2）由（1）得，办=第，

则（=]+?+…+笥=可得|乃=京+卷+…+端9，

两式相减可得加=|+]+蠢+…+/一

30C/l\n+1

1」2n+15_(2n+3)七)

2

可得及=3-（2n+3〔G）“<3.

因为心=等>。，可知数列伍｝为递增数列，则7“271=点

综上可得:W&<3.

3.（24-25高三上•全国・单元测试）已知数列｛a九｝满足=2,nan+1-（n+l）an="黑；）,九€N+.

（1）求｛a九｝的通项公式；

（2）求｛厮｝的前几项和土.

【答案】（1）。九=4n—日工

⑵%=累+2恤+1）-8

【分析】（1）由几即+i—5+1）册=写季整理得+/=零+泰，故｛詈+£》｝为常数列，由题得

n+1

出+京=4,整理后即可求解.

（2）由错位相减法和分组求和法即可求解.

【详解】（1）由？—（71+1）厮="；：[；）

4Ban+l__111

何?1+1~~n~2rlT―2n-22n—1

故鬻+圭=中++，由此可得片+/｝为常数列，

1

又的=2,则詈+会=@1+京=4,

即册=4n-^.

(2)由(1)知a九—4H-2n_2，

由等差数列求和公式，知4(1+24---Fn)=2n(n+1),记A=2n(n+1),

记B=~7+彳+W+…-I—^~2'

2T2°212n-2

皿/_1,23,n

-

则—2="2°rd-217-^—227+H—2zntr>

两式相减得？=2++/+/+…+击)一/三=4一/J

故B=8一幽

所以｛即｝的前几项和%=4—8=累+2n（n+1）-8.

4.（24-25高三上•天津•开学考试）设｛即｝是等比数列，公比大于0,其前几项和为%（neN*）,｛%｝是等差数

歹（I.EIL矢口a1=1,（Z3=a?+2,<24=63+65，=64+2b6■

（1）求｛a。｝和｛4｝的通项公式;

⑵求况血应.

【答案】(1)册=2"t；bn=n.

⑵温=1尻•Sk=2+O-1)・2"+1-|n(n+1)

【分析】(1)设等比数列的公比为q,q>0,由等比数列的通项公式可得q,可得所求等比数列的通项公

式，设等差数列的公差为d,由等差数列的通项公式和性质，可得d,可得所求等差数列的通项公式；

(2)运用等比数列的求和公式可得％,由数列的分组求和和错位相减法求和，化简可得所求和.

【详解】(1)因为｛即｝是等比数列，公比q大于0,%=1,a3=a2+2,

可得q2—q—2=0,解得q=2(—1舍去)，

所以即=2"T,因为｛,｝是公差为d的等差数列，a4=b3+&5,劭=①+2公，

可得以+生=8,b4+2b6=16,

则/=4,b6=6,可得d=1,

则匕=①+八—4=九；

(2)因为Sn=?§=2般一1,

所以£2=1bk,S/e=(l，2+2,4+3,8+…+n，2n)—(1+2+3+…+n),

设〃=l-2+2-4+3-8+---+n-2n,

2〃=1•4+2•8+3•16+…+展2"+】，

nn+1

相减可得一4t=2+4+8+…+2”—n-2+i=2([j)一n-2,

化为7k=2+(n-l)-2n+i,

n+1

则bk-Sk=2+(n-1)-2-|n(n+1).

考点三、裂项相消法

典例引领

1.(2021・浙江.高考真题)已知数列5｝满足的=1,即+1=J^SeN*).记数列｛厮｝的前n项和为%,则

()

3Q9

A.-<Si。。<3B.3<Si。。<4C.4<Sloo<-D.-<S100<5

【答案】A

【分析】显然可知，S100>利用倒数法得到工=23-；，再放缩可得金<口+；，

2an+lanVan\Van?)4yt！n+1-Jan2

由累加法可得厮>』，进而由册+1=洋局部放缩可得皿<吟，然后利用累乘法求得厮<…，：",

(Tli1JliylCi-fl71T3\TlT1)(Tl十ZJ

最后根据裂项相消法即可得到I。。<3,从而得解.

【详解】因为@1=1,。九+1=号=(t1WN*),所以。九>0,S100>

1+janz

1

由册+1=氤=亳

4

根据累加法可得，白<1+==申,022）,当n=l时白=毛,

yjCl-n22y/d12

则口工字，当且仅当n=l时等号成立，

Van2

、4._anann+1

'.即2际R.""+】=IT为二^=^^厮

7i+n+l

.一+1vn+1

an—n+3

由累乘法可得anW（n+i；n+2），5N2）,且量=（1+1；1+2），

则"―西当且仅当n=l时取等号，

由裂项求和法得:

所以Sioow6cAl++…+全-圭）=6（：-需）<3,即|<Sioo<3.

故选：A.

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到阿，问二的不等关系，再由累加法可求得厮2益不，由题目

条件可知要证Si。。小于某数，从而通过局部放缩得到an,an+1的不等关系，改变不等式的方向得到与<

而低坛，最后由裂项相消法求得S】oo<3.

2.（2022.全国.高考真题）记立为数列｛即｝的前n项和，已知的=1,晚｝是公差为豹勺等差数列.

⑴求｛a九｝的通项公式;

（2）证明：-+-+•••+—<2.

ala2an

【答案】（l）an=^12

（2）见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得名=1+^5-1）=干，得到%=若&,利用和与项的关

a九3j3

2

系得到当7122时，an=Sn-Sn_i=妇|&—（计岁…,进而得:/;=合，利用累乘法求得%，二也畀,

检验对于71=1也成立，得到｛&J的通项公式为=的#;

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到工+工+…+三=2（1--进而证得.

a】a2an\n+1/

【详解】（1）=1,.*.Si=a=1,.*.—=1,

rai

又・・・佛｝是公差为抽等差数列，

l+i（n-l）=—,・・.S九=

CLfi333

.♦.当nN2时，Sn_i=5+"】

(?i+2)an(n+l)ani

,,an=S九_5九一］=

33

整理得：(n—l)an=(n+l)an_15

即工=半

an-l九一1

。2义。3

CL-yi~XX...X〜x-^-

ala2an-2an-l

.34nn+1n(n+l)

=1X-X-X...X-----X------=

12n-2n-12，

显然对于九=1也成立,

，｛%i｝的通项公式的i=吗+D；

(2)-=-^-=2(i-—\

an\nn+1/

—=2［(1-9+(*)+30总］=2(1-总＜2

。2an

即时检测

1.（24-25高三・上海•课堂例题）在（2—为"的展开式中，若/的系数为厮522）,则竺+^+…

02a3

+力=

an

【答案］即s

n

n2nTl

【分析】运用二项式定理的通项公式求出。式九22）,再对蓝+5+…+纭裂项相消求和即可.

【详解】根据题意运用二项式定理通项公式知道即=C含标2=n（n_1）.2n-3,

则二=88_8

n-3

ann(n-l)-2n(n-l)n-1n

则学+《+...+n=28888888_8_8(n-l)

-----1----------1----------r*■।---------=o----=-------

。2a3an2-123-134-14n-1nnn

故答案为：及口.

n

2.（24-25高三上•湖南长沙•开学考试）若数列｛/J的通项公式为与=导而，则其前10项和为（）

C

A.-B・芳-SD-V

2

【答案】C

【分析】利用裂项相消法求和即可求和.

【详解】由于a九=~~-=----

“n(n+l)nn+1

故其前10项和为1_|+|号+…+2一2=1一2=菖

故选：C.

3.（24-25高三上・江苏南京•阶段练习）记递增的等差数列｛&J的前几项和为%,已知Ss=85,且怒=7%.

⑴求心和无;

(2)设勾=求数列｛与｝的前n项和7；.

anan+l

2

【答案】(1)&九=6n—1；Sn=3n+2n

(2)7\=」一

7n6n+5

【分析】(1)利用等差数列性质求出通项公式和前几项和；

(2)利用裂项相消法求和即可.

【详解】(1)设｛即｝的公差为d,因为S5=%^=5a3=85,所以。3=",

又。6=7的，所以17+3d=7(17—2d),解得d=6,

所以G九=a3+(n—3)d=17+(n—3)x6=6n—1,

anan+1(6?i-l)(67i+5)6

1.11,,11,1

11+1117++6n-76n-l+6n-l

4.(24-25高三上•江苏无锡・开学考试)已知数列的前n项和为%,S3=620,Sn+1=5s7t+20.

(1)求证：｛S^+5｝是等比数列；

(2)求数列｛a九｝的通项公式；

(3)若匕=logs詈,数列｛b九｝的前n项和为G求，+*---1■白

4ii,213ln

【答案】(1)证明见解析

n

(2)an=4x5

【分析】(1)根据等比数列定义证明即可;

(2)应用前n项和公式及通项公式关系计算即可;

(3)先求等差数列的和，再应用裂项相消求和.

【详解】(1)因为包金=也上”=5,

S九+5Sn+5

S3+5=⑸+5)x52=625,Si+5=25

所以｛S九+5｝是首项为25公比为5的等比数列.

n+1n+1

(2)S九+5=25x5九t=5fSn=5-5,

n+1nn+1nn

当九>2时，an=Sn-S吁1=(5-5)-(5-5)=5-5=4x5,

当n=1时，=511=52—5=20,

n

an=4x5

(3)因为匕=logs詈=log55n=71,

n(l+n)12

所以7k==2G-a)，

2n(l+n)

Tn

…+—[(1++(；；)+…+(；+)]

/1\2n

=2(I_E)=E

考点四、倒序相加法

典例引领

1.(24-25高三上•广东・开学考试)若f(x)=(x-1)3+2(x—1)—ln£+2,数列｛an｝的前n项和为Sn,且

Si=M25n=nan+1,则求J/Q)+f(a2o_i)]=()

A.76B.38C.19D.0

【答案】A

【分析】由题意可知函数〃%)关于(1,2)对称，然后再通过2S“=nan+i，求解数列｛&J的通项，进而求解

比1[/3)+f(a2o-i)].

【详解】因为/(%)=(x-I)3+2(%-1)-ln-^-+2,

2-X

所以/(%)+/(2—x)=(x—I)3+2(%—1)—ln^-+2+(1—%)3+2(1—%)—+2=4

2—x%

所以"x)的图象关于点(1,2)对称，

因为2szi=71azi+i，

所以2s71T=(n-l)an(n>2),

所以2s九一2Sn_x=nan+1-(n-l)an(n>2),

所以2。九=nan+1—(n—l)an(n>2),

所以皿=幺(九22),

n+ln

又Si=2szi=nan+1,

所以的=Ma2=*

所以安M所以“枭

所以4+a2o-i=2aio—2,+f(.a2o-t)=4，

所以£2[<3)+"。21)]=£24=76.

故选:A.

2.(2024高三・上海•专题练习)已知函数/(X)=去。6R),若等比数列｛a*｝满足的。2020=1，则f(%)+

"。2)+"。3)+…+/a020)=()

20201

A.2020B.—C.2D.-

22

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可.

【详解】等比数列｛七｝满足的。2020=1，则的。2020=a2a2019=…=1，

函数/'（%）=备（久eR）,

f（%）+f（。2。2。）=3+、=2（2+。*/。2）=2,

八八202"1+a2l+a20002+a升谖ooo

所以2[/（%）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2020）]=2020x[/（%）+f（a2020）]=2020x2,

-a

所以/（%_）+f（a2）+/（。3）T---1f（2020）=2020.

故选：A.

1.（2024•四川成都.模拟预测）已知〃x）=/3—3/,财岛）+f岛）+…+/（翳）=（）

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8094

【答案】D

【分析】先得到/（%）+/（2-%）=-4,然后利用倒序相加来求和即可.

【详解】/（I一x）+f（l+x）=（1-%）3-3（1-%）2+（1+%）3-3（1+%）2=-4,

即/（x）+/（2-x）=-4

设“=/岛）+/（急）+…+f（SS）+f（翳）①，

则"=f（翳）+f（翳）+…+，（短）+，（盛）②

①+②得2M=[f岛）+f（翳）]+[f岛）+/（磊）]+…+[f（翳）+f岛）]+[f（翳）+

/岛）]

=-4x4045,

所以M=-8090,

又俏）="2）=8-12=—%

所以/岛）+）岛）+…+f（翳）=-8090-4=-8094.

故选：D.

2.（23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知｛加｝为正项等比数列，且a1oi2=1，若函数/（久）=宁-21n久+

1>贝!+/（。2）+…+/（口2023）=（）

2023

A.2023B.2024C.—D,1012

【答案】A

【分析】由等比数列的性质可得由•。2023=a2，a2022=a3,a2021=…=^1012=匕再由题意可得出/（%）+

fG)=2,由倒序相加法可求出答案.

【详解】因为｛%J为正项等比数列，且&oi2=l，

所以的,。2023=a2,。2022=a3'。2021=…=a1012=1，

由/(%)=-21nx+1可得/0=Q1—21n：+1=+2