第07讲 拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）

第07讲拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）一、知识点归纳1、函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．2、函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点二、题型精讲题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的零点的个数.3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2.（1）求的值及的极小值；（2）讨论方程的实数解的个数.4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．(1)当时，求在上的单调性；(2)若，令，讨论方程的解的个数．5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数．(1)若为奇函数，求实数的值；(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．题型02利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)当时，求在上的最小值；(3)若在上存在零点，求的取值范围.2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数（）.(1)求在上的最大值；(2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围.3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在上存2个零点，求的取值范围.4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．5．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若.(1)当时，求的单调区间；(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.6．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题1．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.(1)若函数在上单调递增，求的最小值；(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．2．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．(1)当时，求在上的单调性；(2)若，令，讨论方程的解的个数．3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有三个根，求的取值范围．4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.(1)求的极值：(2)若有两个零点，求a的取值范围.5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数，函数，(1)已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；(2)若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.6．（2023·四川·校联考一模）已知函数.(1)求的单调区间；(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.题型04构造函数研究函数零点（方程的根）问题1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性．(2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围．2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的零点个数；(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自