湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省常德市沅澧共同体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合，所以.故选：B.2.函数为幂函数，则该函数为（）A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】D【解析】由题意知，即，则该函数，此时函数定义域为全体实数集，该函数在定义域内有增有减，不是单调函数；函数满足，为偶函数.故选：D.3.下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】对于A，的定义域为，，定义域为，定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确；对于B，，定义域为，的定义域为，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；对于D，由解得，故的定义域为，由解得或，故的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故D错误.故选：A.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以.故选：A.5.设集合，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（）A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.②【答案】B【解析】对于①，从图中可看出，函数的定义域是，不符合集合到集合的函数关系；对于②，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；对于③，函数的定义域、对应法则和值域都符合集合到集合的函数关系；对于④，任取，在图中可看到有两个的值与之对应，不符合函数定义的要求.故②，③可表示集合到集合的函数关系.故选：B.6.已知的定义域为则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为的定义域为，所以，所以，所以，所以的定义域为.故选：C.7.已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于函数为偶函数，故，且在上单调递减，所以，即.故选：D．8.已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且，不妨设，即，得，即，则，即，令，即，因此在上单调递减，不等式中，，则有，又，于是，则，解得，所以不等式的解集为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分．9.关于x不等式的解集为或x>2，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为关于x不等式的解集为或x>2，则且的两根为和，由韦达定理得到，得到，故易知选项A正确；对于选项B，因为，所以选项B错误；对于选项C，，所以选项C错误；对于选项D，，所以选项D正确.故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.已知，则的最小值为B.当时，的最小值为C.设，则“”是“”成立的充分不必要条件D.命题：，是真命题，则实数【答案】ABC【解析】对于A，当时，，，所以，当且仅当时等号成立；所以当时，的最小值为，A正确；对于B，因为x∈0，2，所以，当且仅当所以当x∈0，2时，的最小值为，B对于C，不等式，等价于或，所以由可推出，由不能推出，所以“”是“”成立的充分不必要条件，C正确；对于D，由命题为真命题可得有两个不等实根，所以，所以，D错误.故选：ABC.11.已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（）A. B.C.为增函数 D.为奇函数【答案】ACD【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足，令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确；令，可得，即，当时，，即，设，即，即有，则在R上递增，故C正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，是偶函数，则实数的值为______．【答案】【解析】因为是偶函数，则其定义域关于原点对称，所以，解得.13.已知是二次函数，且，若，则的解析式为______.【答案】【解析】由已知设，因为，所以，因为，，所以，解得，所以.14.若函数的定义域和值域均为，则b的值为________．【答案】3【解析】由函数，可得对称轴为，故函数在上增函数.函数的定义域和值域均为，，即.解得，或.，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知奇函数.（1）求实数的值；并作出y=fx的图象；（2）若函数在区间上单调递减，求a的取值范围．解：（1）设，则，，函数fx是奇函数，，；如下图：（2）由图象可知，，，故a的取值范围为：．16.记全集，集合，或．（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围．解：（1）当时，，则或，因此或或或.（2）若，则，解得，故的取值范围为.（3）若，则，当时，，解得，当时，或，解得，或，综上知，的取值范围为.17.中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，由市场调研知，若每辆车售价万元，则当年内生产的车辆能在当年全部销售完．（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）当2024年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意知利润收入总成本，所以利润，故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为.（2）当时，，故当时，，当时，，当且仅当，即时取得等号;综上所述，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元.18.已知.（1）当，解关于的不等式；（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.解：（1）若即，原不等式为，解得，即原不等式的解集为；若即，方程的解为和，当时，，原不等式的解集为或；当时，，原不等式的解集为R；当即时，，原不等式的解集为.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R.（2）由，得，对于方程，，所以在R上恒成立，故，令，则，得可变形为，即，对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，为，所以在上的最大值为，得.综上，a的取值范围为.19.已知函数.（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1