2024-2025学年上师大闵分高二上学期数学期中试卷及答案（2024.11）（含答案）

上师闵分宝分2024学年第一学期高二年级数学期中联考2024.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.有一根高为,底面半径为1的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.

2.已知四棱柱的底面是正方形,侧棱垂直于底面,底面边长为,高为3,则此四棱柱的对角线长为.

3.已知边长为3的正的三个顶点都在球的表面上,且OA与平面ABC所成的角为,则球的表面积为.

4.已知两条不同的直线,两个不同的平面,给出下列四个说法:

(1);(2);

(3);(4),其中正确的序号是.

5.直线垂直于平面内的两条不平行的直线，则直线与平面的关系是.

6.已知异面直线所成的角为在直线上,在直线上,,则间的距离为是.

7.正方体中,平面与平面的交线是所在的直线.

8.圆锥的底面半径为1,母线长为2,在圆锥体内部放入一个体积最大的球,该球的表面积为.

9.已知圆锥的顶点为，母线的夹角为与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为.10.在正方体中,二面角的平面角大小为.

11.已知正三棱柱的底面边长为,高为2,点是其表面上的动点,该校柱内切球的一条直径是,则的取值范围是.

12.已知正四面体棱长为2,点分别是内切圆上的动点,现有下列四个命题:

(1)对于任意点,都存在点,使;

(2)存在,使直线平面;

(3)当最小时,三棱锥的体积为

(4)当最大时,顶点A到平面的距离的最大值为.

其中正确的有.（填选正确的序号即可）

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点坐标是（）.

A.B.C.D.

14.设为两条不同的直线,为两个不重合的平面.下列命题中正确的是（）.

A.若,则B.若与所成的角相等,则与平行或相交

C.若内有三个不共线的点到的距离相等,则

D.若且,则

15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论:(1)当点是中点时,直线平面;

(2)直线到平面的距离是;

(3)存在点,使得；

(4)面积的最小值是.其中所有正确结论的个数是（）.

A.0B.1C.2D.316.如图所示,四面体的体积为,点为棱的中点,点分别为线段的三等分点,点为线段的中点,过点的平面与棱分别交于,设四面体的体积为,则的最小值为（）.

A.B.C.D.

三、解答题（本大题满分78分）

17.(满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

在棱长为2的正方体中,为的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值;

（2）求三棱锥的体积.18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,四棱锥的底面为正方形,分别为的中点,且平面平面.

（1）证明:;

（2）若,当四棱锥的体积最大时,求直线与平面的夹角.19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图,在四棱锥中,,平面分别为棱的中点.

（1）证明:平面;

（2）求平面与平面的夹角的余弦值.20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．如图,已知长方体,直线与平面所成角为垂直于.

（1）若为棱的动点,试确定的位置,使得平面,并说明理由;

（2）若为棱的中点,求点到平面的距离;

（3）若为棱上的动点(除端点外),求二面角的平面角的范围.21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．一个几何系统的"区径"是指几何系统中的两个点距离的最大值,如圆的区径即为它的直径长度.

（1）已知为直角边为1的等腰直角三角形,其中,求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径;

（2）已知正方体的棱长为2,求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径;

（3）已知正方体的棱长为2,求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.（1）（4）;5.垂直;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.（1）（2）（4）11.已知正三棱柱的底面边长为,高为2,点是其表面上的动点,该校柱内切球的一条直径是,则的取值范围是.【答案】【解析】由题意，问题等价于已知是边长为的正内切圆的一条直径,为边上的一动点,求的取值范围.建立如图所示的直角坐标系，是边长为的正内切圆,内切圆的半径.正内切圆的方程为.

将之转化成到内切球球心的距离求解，当位于底面中心时位于顶角时,所以的取值范围的取值范围是.12.已知正四面体棱长为2,点分别是内切圆上的动点,现有下列四个命题:

(1)对于任意点,都存在点,使;

(2)存在,使直线平面;

(3)当最小时,三棱锥的体积为

(4)当最大时,顶点A到平面的距离的最大值为.

其中正确的有.（填选正确的序号即可）【答案】（1）（2）（4）【解析】正四面体棱长为2,点分别是,内切圆上的动点,

设,,的重心分别是,

以为原点,过作的平行线为轴，所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系，如图，则且

三个内切圆的半径均为,且可设:

对于(1),当确定后,取为关于平面的对称点,则垂直于平面,对于任意点,都存在点,使,故(1)正确;

对于(2),当时,有此时满足条件，故(2)正确;

对于(3),此时位于最上方,即,这时,点到平面的距离为,,故(3)错误；

对于(4),此时,根据对称性有此时在处取到最大值,此时的纵坐标都是,点到平面的距离为,故(4)正确.故答案为:（1）（2）（4）.二、选择题13.A14.D15.C16.C15.如图,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点在上,点在上,且,点在线段上运动,给出下列四个结论:(1)当点是中点时,直线平面;(2)直线到平面的距离是;

(3)存在点,使得；(4)面积的最小值是.其中所有正确结论的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对(1),如下图所示：因为是中点,,所以点是的中点,连接,显然也是的交点,连接,所以,而平面平面,所以直线平面,(1)对;

以为原点,建立如图所示空间直角坐标系,则,

对(2),分别是棱的中点,,平面平面,故平面,故直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为，得,(2)错:对(3),设,则,

则,,由,即,得,

由,故存在点,使得,(3)对;

对(4),由(3)得到的投影为,故到的距离面积为

由二次函数性质,当时,取得最小值为,(4)错.故选:.16.如图所示,四面体的体积为,点为棱的中点,点分别为线段的三等分点,点为线段的中点,过点的平面与棱分别交于,设四面体的体积为,则的最小值为（）.

A.B.C.D.【答案】C【解析】连接,由题意知：

令则所以,

因为四点共面,所以（当且仅当时取等号），所以,

设点到平面的距离为,则点到平面的距离为,

又,,

所以,即的最小值为.故选：C.三．解答题17.（1）（2）18.（1）证明略（2）19.（1）证明略（2）20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．如图,已知长方体,直线与平面所成角为垂直于.

（1）若为棱的动点,试确定的位置,使得平面,并说明理由;

（2）若为棱的中点,求点到平面的距离;

（3）若为棱上的动点(除端点外),求二面角的平面角的范围.【答案】（1）时,平面,（2）（3）【解析】（1）时,平面,证明如下:延长交于

因为平面,所以是直线与平面所成的角,即,所以,由,所以,

在上取点,使得,连接,,则,

又是平行四边形,,是平行四边形,是平行四边形,,,又平面平面,平面,即平面;

（2）

由长方体性质可得,,,设到平面的距离为,则由得,

（3）作,垂足为,作于,连接,则平面平面,同理,平面平面,

而平面是二面角的平面角,设,则由是矩形得,则,是锐角,.二面角的范围是.21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．一个几何系统的"区径"是指几何系统中的两个点距离的最大值,如圆的区径即为它的直径长度.

（1）已知为直角边为1的等腰直角三角形,其中,求分别以三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径;

（2）已知正方体的棱长为2,求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和外接圆构成的几何系统的区径;

（3）已知正方体的棱长为2,求正方形内切圆和正方形内切圆构成的几何系统的区径.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）如图,若几何系统中的两点分别在两圆上,不妨设其中一点在上,若另一点在上,则

当共线时取到等号;若另一点在上,则

当共线时取到等号;若两点在同一圆上,则最大距离为直径,即,

综上,该几何系统的区径为;

（2）记棱切球的球心为,即为正方体的中心,易求得棱切球的半径为,

因为为正三角形，记它的外接圆圆心为,得其半径为,又则球心到的外接圆上任意一点