安徽省 合肥市肥东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.抛物线的开口方向是（）A.向右 B.向上 C.向左 D.向下2.在中，，则的长为（）A. B. C. D.3.下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.4.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的函数表达式为（）A B. C. D.5.如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（）A B. C. D.6.若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是（）A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y17.若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（）A. B.

C.

D.8.已知中，是高，，，，则为（）A. B. C.或 D.或9.如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（）A.6 B. C.3 D.10.的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11.设，那么______________12.如图，直线，若，，，则的长为_____．13.如图，在中，为上一点，且于，连结，则_____．14.在二次函数中，t为大于0的常数．（1）若此二次函数的图象过点，则t等于______；（2）如果，，都在此二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，满分64分）15.计算：16.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；（2）以点为位似中心，将放大为原来2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．17.已知抛物线．（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x取何值时，？18.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．19.学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机机翼模型，形状如图所示．测得，，，，，求边的长．（参考数据：，，，，，）20.如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴．（1）求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；（2）如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长；（3）若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号）21.如图1，E是矩形边的中点，F是边上一点，线段和相交于点P，连接，过点A作交于点Q．（1）求证：；（2）已知，，，求长；（3）当F是的中点时，求值．

九年级数学期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.抛物线的开口方向是（）A.向右 B.向上 C.向左 D.向下【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握“，开口向上，，开口向下，”即可求解．【详解】解：中二次项系数为，，抛物线开口向上．故选：B．2.在中，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，再把已知条件代入即可得到答案．【详解】解：故选：B．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的含义，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．3.下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查正比例函数、反比例函数以及二次函数的增减性，掌握相关函数的图象与性质即可解题．【详解】解：A、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．B、，当时，y随x的增大而减小，符合题意．C、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．D、，当时，y随x的增大而增大，不符合题意．故选：B．4.将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的函数表达式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”即可得到答案．【详解】解：根据“上加下减，左加右减”，向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，故平移后表达式为，即为．故选A．5.如图，C是线段的黄金分割点，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．根据黄金分割的定义得出，即可得到答案．【详解】解：C是线段的黄金分割点，，，故选D．6.若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是（）A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y1＜y2 C.y2＜y3＜y1 D.y3＜y2＜y1【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据反比例函数的图象与性质求解即可．【详解】解：由题意得，，∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，又∵，∴，，即，故选：B．【点睛】此题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．7.若反比例函数图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（）A. B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的图像，根据象限得到系数的取值范围是解题的关键．根据题意得到即可得到答案．【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，，故二次函数开口向上，且交轴的负半轴，故选D．8.已知中，是高，，，，则为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论，①AD在三角形内部，②AD在三角形外部，分别画出图形求解即可．【详解】①当AD在三角形内部时：∵tan∠B==1，tan∠C==，∴∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-45°-30°=105°，②当AD在△ABC外部时：∵tan∠C==，tan∠ABD==1，∴∠C=30°，∠ABD=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°，故选C.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分类讨论并熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.9.如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移的特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题．【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴，沿y轴向上平移3个单位长度至，且，，，四边形为菱形，，设，则，，且点D为的中点，，与都在反比例函数图象上，，解得，即，，，即，，即．故选：B．10.的边上有D、E、F三点，各点位置如图所示．若，，，则根据图中标示的长度，求四边形与的面积比为何？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．【详解】解：∵，，，，∵，，，，，∵，，，，同理可证，∵，，，四边形与的面积比，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11.设，那么______________【答案】【解析】【分析】根据比例式的性质求解即可．【详解】解：∵，∴．故答案为．【点睛】本题考查了比例的基本性质．如果，那么．12.如图，直线，若，，，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长．【详解】解：∵l1∥l2∥l3．AB＝6，BC＝10，∴，∵EF＝9，∴DE．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．13.如图，在中，为上一点，且于，连结，则_____．【答案】【解析】【分析】作，将的值转化为与的比，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正切值与三角形边的关系，代入三角函数进行求出与的长．【详解】解：如图，作出，垂足为，则，设，则，，，，．，，，，，．故答案是：．【点睛】本题考查了比例线段性质和锐角三角函数的概念，熟悉相关性质是解题的关键．14.在二次函数中，t为大于0的常数．（1）若此二次函数的图象过点，则t等于______；（2）如果，，都在此二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______．【答案】①.②.或【解析】【分析】本题考查根据点坐标求未知数的值，（1）根据题意将代入中即可得到本题答案；（2）根据题意求得对称轴，再利用增减性及题干条件分情况讨论即为本题答案．【详解】解：（1）∵若此二次函数的图象过点，∴将代入中得：，解得：；（2）∵，，都在此二次函数的图象上，∴二次函数对称轴为：，即：，∵，即：，解得：，∵，∴在对称轴左侧，在对称轴右侧，在中，令，即：，∴与轴的交点为，∴关于对称轴直线的对称点为，∵，∴，即：，①当，都在对称轴左侧时，∵随增大而减小，且，∴，解得：，②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，∵，∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，∴，解得：，∴此时满足的条件是，故答案：或．三、解答题（本大题共7小题，满分64分）15.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入，然后运用实数运算法则进行计算，即可解题．【详解】解：．16.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；（2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．【答案】（1）图见解析，点E的坐标为．（2）见解析【解析】【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键．（1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题；（2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到．【小问1详解】解：点E的位置如下图所示：由图知，点E的坐标为．【小问2详解】解：得到如图所示：17已知抛物线．（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x取何值时，？【答案】（1），（2）或【解析】【分析】本题主要考查了顶点式，熟练掌握函数的图形和性质是解题的关键．（1）用配方法变成顶点式即可得到答案；（2）令，确定函数图像与轴的交点，结合开口方向即可得到答案．【小问1详解】解：，顶点坐标，对称轴；【小问2详解】解：令，即，解得或，由于抛物线开口向下，故当或时，．18.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．【答案】经过秒或秒钟，与相似．【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可．【详解】解：设经过秒钟，与相似．由题意得，，，，，，与相似，当与对应时，有，即，解得，当与对应时，有，即，解得，综上所述，经过秒或秒钟，与相似．19.学校科技创新社团制作了一种固定翼飞机的机翼模型，形状如图所示．测得，，，，，求边的长．（参考数据：，，，，，）【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．作，在中求出；证四边形是矩形得；在中求出即可求解．【详解】解：作，如图所示：在中，，∴∵，，∴∴四边形是矩形，∴在中，，∴∴20.如图1放置的木板余料，下方边缘为，上方边缘呈抛物线形状，最大高度为．如图2，建立平面直角坐标系，在轴上，轴正好是此木板的对称轴．（1）求木板上方边缘对应的抛物线的函数表达式；（2）如图3，若从此木板中切割出矩形，且边在轴上，求此矩形的最大周长；（3）若从此木板中横向切割出短边为的矩形木板若干块（矩形的长边与轴共线或平行），然后拼接成一个短边为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出此时的切割方案，并直接写出拼接后矩形长边的最长长度．（结果保留根号）【答案】（1）（2）（3）见详解，【解析】【分析】（1）根据已知可得抛物线的顶点坐标为，，，再设抛物线表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；（2）在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，因此矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；（3）如图画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．【小问1详解】根