全国甲卷2025届高考数学一轮复习收官卷一理科含解析

Page12024届高考数学一轮复习收官卷（一）（全国甲卷理科）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·北京·北理工附中高二期中）已知i为虚数单位，则（

）A．1 B． C．i D．【答案】C【详解】.故选：C.2．（2024·天津·高三期中）已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，则，故选:C.3．（2024·福建·高三阶段练习），，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【详解】由得,即,解得,因为,解得.故选：D.4．（2024·四川·乐山市教化科学探讨所三模（文））四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（

）A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线【答案】A【详解】解：依题意可得拟合函数为，，即，，由向左平移个单位，再向上平移个单位得到，，因为在上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A5．（2024·河南·濮阳南乐一高高三阶段练习（理））把函数的图象向左平移（，）个单位长度，可得函数的图象，则（

）A．7 B．1 C．9 D．8【答案】A【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，则对于随意实数，有，故，，故.故选：A.6．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设正方体棱长为1，，如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体，由面面平行的性质可知：，延长，相交于点，则平面，且平面，又平面平面，所以在直线上，即三线共点，所以几何体为三棱台，其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，所以，解得：，所以.故选：C7．（2024·广西北海·一模（理））已知数列的前n项和为，且满意，则数列的前81项的和为（

）A．1640 B．1660 C．1680 D．1700【答案】A【详解】由，有，有．又由，可得，可得，则数列的前81项的和为．故选：A8．（2024·河南·一模（理））已知函数，，，，这四个函数的部分图象如图所示，则函数，，，对应的图象依次是（

）．A．①③②④ B．③②①④ C．①④③② D．③④①②【答案】A【详解】，当时，当时恒成立，则在上单调递减；当时，当时，，当时，，则在上单调递增，在单调递减；故对应得图象为①；，当时，当时恒成立，则在上单调递减；当时，，当时，，当时，，则在上单调递增，在单调递减；故对应得图象为③；的定义域为R，且，∴为偶函数，故对应得图象为②；的定义域为R，且，∴为奇函数，故对应得图象为④；故选：A.9．（2024·上海奉贤·二模）已知平面对量，，，满意，，则当与的夹角最大时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，不妨设，，则，，由可得，即，∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．明显当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．设圆心为，则，∴，则，∴，设与轴交于点，由对称性可知轴，且，∴，即当与的夹角最大时，故选：C10．（2024·天津·二模）已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，设四点均在以为球心的某个球面上，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】取AB中点D，连CD，SD，如图，因AB是等腰直角的斜边，则D是球O被平面所截圆圆心，，又，则有，而，即，，而，平面，则平面，由球的截面圆性质知，球心O在直线SD上，球半径或，由，即解得，或得无解，所以到平面的距离为.故选：A11．（2024·湖北·丹江口市第一中学模拟预料）已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：由抛物线的定义知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的横坐标为，设直线，将代入，得，则，解得，故直线l的方程为．故选：C．12．（2024·江苏·苏州外国语学校模拟预料）设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（

）A． B．1 C． D．0【答案】D【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．因为，所以在R上单调递增．不等式可转化为，所以，即对恒成立．令，则，令，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以，即，所以，且当时，取最小值0，故，即实数a的最大值为0．故选：D.二､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（2024·河南商丘·三模（理））写出同时满意下面两特性质的数列的一个通项公式______．①是递增的等差数列；②．【答案】（答案不唯一，满意d>0，即可）【详解】设等差数列的公差为d，由，得，由①可知，取，则，所以数列的一个通项公式．14．（2024·广西北海·一模（理））的绽开式中的系数为_____________．【答案】9【详解】，绽开式中的系数为．故答案为：915．（2024·全国·模拟预料）已知，分别是双曲线C：的左右焦点，双曲线C的右支上一点Q满意，O为坐标原点，直线与该双曲线的左支交于P点，且，则双曲线C的渐近线方程为______．【答案】【详解】设，则，．由双曲线的定义知，，，∴，．又，∴．在中，有，∴①．在中，有，∴②，由②化简可得，将其代入①中，得，即，∴双曲线的渐近线方程为．故答案为：．16．（2024·河南省杞县中学模拟预料（理））实数x，y满意，则的值为______．【答案】【详解】因为，所以．明显，令，则，且，令，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对，，即，当且仅当时等号成立．综上，当且仅当时，成立，此时，解得．故答案为：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．其中第17—21题为必做题，每个试题考生都必需作答，第22,23题为选考题，考生依据要求作答．）（一）必做题（共60分，每题12分．）17．（2024·四川省绵阳南山中学模拟预料（理））记的内角的对边分别为，已知.(1)的值;(2)若b=2，当角最大时，求的面积.【答案】(1)0(2)（1）∵，由正弦定理得：，∵，∴，∴，方程两边同时除以得：∴，（2）方法一：∵当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值.∵，∴，则，由正弦定理得：，即，解得：，∴当A最大时，方法二：∵，∴，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时A取到最大值为，∵，∴，∴当A最大时，18．（2024·湖北·丹江口市第一中学模拟预料）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).（1）证明：连接，因为，所以，因为，所以，由勾股定理得：，因为，故，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知两两垂直，以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．，由平面知是平面的一个法向量．设平面的法向量为，由得：，解得：，令，则，故，设平面与平面所成锐角为，即，所以平面与平面所成锐角的余弦值为．19．（2024·福建省漳州第一中学模拟预料）漳州某地打算建立一个以水仙花为主题的公园.在建园期间，甲､乙､丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎，假设水仙花球茎损坏后便不能运用，无损坏的全部运用.已知甲､乙､丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%，35%，40%，甲､乙､丙工作队采摘的水仙花球茎的运用率分别为0.8，0.6，0.75（水仙花球茎的运用率）.(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次，每次抽取一颗，记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为，求随机变量的分布列及期望；(2)已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能运用，求它是由丙工作队所采摘的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为(2)（1）解：在采摘的水仙花球茎中，任取一颗是由甲工作队采摘的概率是.依题意，的全部取值为0，1，2，3，且，所以，，即，，，，所以的分布列为：0123所以.（2）解：用，，分别表示水仙花球茎由甲，乙，丙工作队采摘，表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能运用，则，，，且，故，所以.即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能运用，它是由丙工作队所采摘的概率为.20．（2024·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校模拟预料（文））已知抛物线的顶点在坐标原点，开口向右，焦点为，抛物线上一点的纵坐标为4，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作直线交拋物线于两点，推断以为直径的圆是否过原点，并说明理由.【答案】(1)(2)过原点，理由见解析【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为：，所以点的坐标为，点的坐标为，因为，则,解得.所以抛物线的方程为：.（2）依题意可知直线与轴不平行，设直线的方程为，则联立方程得，所以，，因为，所以.以为直径的圆过原点.21．（2024·吉林·长春吉大附中试验学校模拟预料）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)若，求，；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)，(2)．（1）解：∵，∴，所以，即，又．又∵点在切线上，所以切点坐标为.∴，所以，又，所以，．（2）解：由(1)可知，，∵，在上恒成立，设，则在上恒成立，∴，又因为，，，当时，，所以在上单调递减，，不符合题意．当时，又∵，而当时．若，，，在上单调递减，，不符合题意．若1°当即时，在上恒成立，∴符合题意；2°当，即时，时，且当时，，在上单调递减，，不符合题意，故舍去．∴综上所述，的取值范围为．（二）选考题（共10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2024·四川攀枝花·三模（理））在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C和直线相交于A、B两点，A、B的中点为M，点，求．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）由直