平面向量、复数与不等式-2020-2024年北京高考数学复习试题分类汇编（解析版）

专集09率面向量、要核星系等式

・

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

考点1平面向1.平面向量问题以基础性为主，突

2020-2024：5年五考：向量的运算；垂直及平行

量出向量的线性运算和坐标运算，特

的向量表示；向量的坐标；向量模的运算

（5年几考）别是线性运算、夹角计算、数量积

2020-2024：5年五考：复数的四则运算；复数的考查较多，模的计算、向量的垂直与

考点2复数

坐标运算；共软复数的概念及计算；复数模长的平行也经常出现见,向量的综合问

（5年几考）

运算；复数的几何意义题间隔考查.平面向量重点突出其

工具功能.向量备考应重视基础知

识，要求考生熟练掌握基本技能。

2.复数主要以课程学习情境为主，

每年一题，以考查复数的四则运算

为主，偶尔与其他知识交汇、难度较

小,考查代数运算的同时，主要涉及

2020-2024:5年一考：基本不等式的应用；不等考查的概念有:复数的代数形式、共

考点3不等式

式的性质转复数、复数的模、复数的几何意

义等，考查学生的逻辑推理、数学运

算等学科核心素养。

3.不等式的性质和基本不等式这

部分内容主要以选择题或填空题

的形式出现见，这类题目主要考查

逻辑思维能力和运算求解能力。

5年真题•分点精准练

考点01平面向量

1.（2024•北泉-图考真题）设a,B是向量,贝广,+行｝但-5）=0"是"£=一分或％=石”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

K祥解I根据向量数量积分析可知,+可・（1-5）=0等价于同=忖，结合充分、必要条件分析判断.

【详析】因为,+孙卜-5）=矫-庐=0,可得/=片，即同=忖，

可知（苕+4"5）=0等价于同=跖

若1万或可得同明，即伍+力（”5）=0,可知必要性成立；

若伍+4（万一5）=0,即同=忖，无法得出IB或£=工，

例如益=（1,0）石=（0,1）,满足同=瓦但Z4且力与，可知充分性不成立；

综上所述，"W+4（"5）=0"是"心另且Z/工"的必要不充分条件.

故选：B.

2.（2022•北京•高考真题）在AABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P为AABC所在平面内的动点，且PC=1,

则丽・丽的取值范围是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[~4,6]

【答案】D

K祥解』依题意建立平面直角坐标系，设尸（cos&sin。），表示出丽，PB，根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详析】解：依题意如图建立平面直角坐标系,则C（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

设P(cos0,sin6),0e[0,,

所以R4=(3-cosa-sin。),PB=(-cos6*,4-sin61),

所以JR4•尸3=(-cos6)x(3-cos6)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos2(9-3cos^-4sin^+sin20

=l-3cos8-4sine

=1—5sin(0+9),其中sin0="|,cos夕=1，

因为-14sin(9+e)41,所以TWl-5sin(e+°)W6,即丽•丽e[T,6]；

故选：D

3.(2023,北京•高考真题)已知向量洒力满足日+石=(2,3),万-5=(-2,1),则|《『一|方『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

K祥解R利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详析】向量苕石满足4+5=(2,3),万一5=(-2,1),

所以1212TBi2=(£+B).([B)=2x(_2)+3xl=_L

故选：B

4.（2021•北京・高考真题）已知向量扇51在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为

1，则

(a+b)-c=；a-b=■

【答案】03

K祥解》根据坐标求出苕+B,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详析】以万,5交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则乙=(2,1)出=(2,-1),1=(0,1),

日+B=(4,0),「.(万+B)•乙=4x0+0xl=0,

.,.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案为：0；3.

—.1-.—,.

5.(2020・北京•高考真题)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足A尸=5(A3+AC),贝IJ|P0|=；

PBPD=・

【答案】非-1

K祥解』以点A为坐标原点，AB.AD所在直线分别为兄、V轴建立平面直角坐标系，求得点P的坐标,

利用平面向量数量积的坐标运算可求得忸耳以及丽.两的值.

【详析】以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为X、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、£>(0,2),

则点尸（2,1）,.•.丽=（一2,1）,丽=（0,-1）,

因此，附="可+(=布,pg.pD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案为：非;-1.

【『点石成金』】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点尸的坐标是解答的关

键，考查计算能力，属于基础题.

考点02复数

7

6.（2024•北乐考真题）已知：=—1—i,贝!Jz=（）.

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

K祥解R直接根据复数乘法即可得到答案.

【详析】由题意得z=i（—l—i）=l—i.

故选：c.

7.（2023•北京・高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,若），贝心的共辗复数乞=（）

A.1+疯B.1-V3i

C.—1+>/3iD.-1—\/3i

【答案】D

（祥解》根据复数的几何意义先求出复数Z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详析】Z在复平面对应的点是（_1,百），根据复数的几何意义，z=-l+畲，

由共轲复数的定义可知，z=-l-73i.

故选：D

8.（2022•北京•高考真题）若复数z满足i.z=3-4i,则忖=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

（祥解》利用复数四则运算，先求出Z,再计算复数的模.

【详析】由题意有Z=7=0]:[；T）=_4_3i,故|z|=J（-4）,（一3）2=5.

故选：B.

9.（2021・北京•高考真题）在复平面内，复数z满足（l-i）z=2,贝ljz=（）

A.-1-iB.—1+iC.i-iD.1+i

【答案】D

K祥解》由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

2_2(l+f)2(l+z)t|

【详析】由题意可得:1-i(l-z)(l+z)2'

故选：D.

10.（2020・北京•高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,贝!J〉z=（）.

A.l+2zB.—2+iC.1—2zD.-2—i

【答案】B

(祥解I先根据复数几何意义得Z,再根据复数乘法法则得结果.

【详析】由题意得z=l+2i,iz=i-2.

故选：B.

【『点石成金』】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

考点03不等式

11.(2024•北京•高考真题)已知(国,%),(%,%)是函数>=2”的图象上两个不同的点，贝U()

B.log2

【答案】B

(祥解』根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详析】由题意不妨设不<马，因为函数>=2,是增函数，所以0<2'<2»,即0</<%,

对于选项AB：可得-〉,2为?巧2=2,即乂±丛>22>0,

22

画+%2

根据函数y=logzX是增函数，所以log2七卫>logz2丁=七三，故B正确，A错误；

对于选项D：例如％=0,%2=1，则％=1,%=2,

可得1。82七匹=1。82|40,1),gpiog2^±^<l=x1+x2,故D错误；

对于选项C：例如西=-1,9=-2,则

10

nTWlog2=§2j=log23-3e(-2,-1),即log?>一3=%+%,故c错误，

2o2

故选：B.

1年模拟•精选模考题

1.(2024•北京西城•三模)在复平面，复数z对应的点坐标为(1,-1),则占=()

C.1-D.1+i

【答案】B

K祥解工由题可得z=l-i,再由复数除法法则即可求解.

【详析】Z对应的点坐标为(1,-1),所以z=l-i,

故选：B.

2.（2019•辽宁沈阳•模拟预测）向量扇瓦｝在正方形网格中的位置如图所示.若向量几1+5与*共线，则实数2=

【答案】D

（祥解》先由图得出用圆B表示E的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.

【详析】根据网格图中的商,反｝的大小与方向，易于得至IJZ=2£+B，

由向量彳@+6与C共线，可得X万+b=fc=f（2a+6）,解得：，=l,4=2r=2.

故选：D.

3.（2024•北京顺义•三模）设羽yNl,o>l,b>l.若q*=7/=3,a+b=2\/3,则一+一最大值为（）

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】C

K祥解』先利用指、对数的关系利用a,b表示苍y,再利用基本不等式求最大值.

【详析】四忆>21,<7>1,b>l,ax=by=3,

,c1,c1

0x=loga3=-----,y=log,3=-

log3alog3b

11,,,,,,(a+b^,202,

0m-+-=loga+logZ>=log<7Z?<log——=log(--)=1,

xy3333I2J32

当且仅当a=6=g,x=V=2时取等号.

回一+一的最大值为1.

xy

故选：c.

4.（23-24高一下•浙江杭州,期中）若i为虚数单位，复数2=三，则N=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

【答案】D

K祥解不首先化简复数，再求共聊复数.

【详析】z=i±i=O±ih=zl±i=i_i,贝壮=i+i.

11-1

故选：D

5.(2024•黑龙江•二模)已知忖=5,^=(-1,2),Z在后上的投影向量为碗=(-2,4),则向量£与石夹角余弦

值为()

A.—B.—C.-

555

【答案】A

K祥解》根据投影向量公式可求向量Z与B夹角余弦值.

【详析】£在石上的投影向量为|2卜命|看，故讲=(-2,4),

a-b

而后=(一1,2),故乔=2

忖

,5cos(a,b)/\

故r---}=_=2即ancos(a,b]=----

V5'/5

故选：A.

6.(2024•北京通州•三模)已知。>0,b>0,贝JC+》2>2"是"a+Z?>2"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

K祥解力举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.

【详析】不妨设。=1.51=0.4,止匕时满足/+〃=2.25+0.16>2,

但不满足a+Z?>2,充分性不成立，

a+b>2两边平方得4+2ab+b2>4,由基本不等式得2成>Wa?+6?,

当且仅当a=6时，等号成立，

^a2+b2>4-2ab>4-(a2+b2),解得"+从>2,必要性成立，

故>2"是"a+b>2"的必要不充分条件.

故选：B

7.(2024•黑龙江齐齐哈尔•二模)若zi=z+i,则z・彳=()

A.yB.1C.2D.4

【答案】A

K祥解》借助复数的运算法则及共软复数的概念计算即可得.

1i(i+l)1-i1-i1+i_1

【详析】z二---=z・z=-----

i-1(i-l)(i+l)V2~Y~2

故选：A.

8.（2024•北京海淀•二模）在中，/C=],CA=C3=2&,点尸满足存=2百+（1-彳）屈，且

CPAB=4,则2=（）

1133

A.B.-C.D.—

4444

【答案】B

k祥解》用而，目表示福，根据C?•屈=0,结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.

【详析】由题可知，CACB=0,

^CP-AB=[/ICA+（1-2）CB]-（CB-CA）=-/1|CA|2+（1-A）|C^2=-8A+8（l-2）=-16A+8,

故一16/1+8=4,解得2=—.

4

故选：B.

9.（2024•北京海淀•二模）设S.a>b,则（）

C.sin（a-6）<a-。D.3a>2b

【答案】C

K祥解》举反例即可求解ABD,根据导数求证五11X<了,工«0,+«>）即可判断仁

【详析】对于A,取。=21=一1,贝|2=一=>:=一2,故A错误，

a2b

ha

对于B,a=l,b=-l,贝Ij—+7=2,故B错误，

ab

对于C,由于y=sinx—%(%>0),y'=cosx-l<0,故丁=sinx-x在(0,+e)单调递减，故sinx—x<0,因止匕

sinx<x,x^(0,+00),

由于a>〃，所以〃一/?>0,故sin(a-Z?)va—Z?,C正确，

对于D,。=-3*=-4,则3"=工<2忆4，故D错误，

2716

故选：C

10.(2024•北京通州・二模)在梯形48。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,则荏.衣=()

A.4^B.8C.12D.8A/3

【答案】C

（祥解》作出图形，结合图形和已知，由向量数量积的定义求出即可.

【详析】

如图，取A8的中点E,则AE//DC,S.AE=DC=2,

所以四边形AECD为平行四边形，

则AD=EC=BE=3C=2,所以ACEB为正三角形，

过C作CB1AS于尸，

贝ljAF=3,

所以荏.*=|荏<05/042=1词J网=4x3=12.

故选：C.

11.（2024•北京通州•二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1,-1）,则§=（）

A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i

【答案】A

K祥解》由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可.

【详析】由题意可得z=l-i,

2i2i2i(l+i)

所以丁匚T(lT)(l+i)=j=T"'

故选：A.

12.（2024•北京房山•一模）已知a,A,C£R,则下列命题为假命题的是（）

A.若a>b,则a+c>b+cB.若a>6>0,则a。，〉。。，

a+cb+c

,八cn,.bb+c

C.若a>b,贝1JI<D.右a>力>0,c>0,贝|一>----

Iaa+c

【答案】D

K祥解了根据不等式的性质即可判断A；根据嘉函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利

用作差法即可判断D.

【详析】对于A,因为&>〃，所以a+c>〃+c,故A结论正确;

对于B,当a>8>0时，因为幕函数y=在（0,+力）上单调递增，所以“乜〉*。故B结论正确;

对于C,因为人，所以a+c>b+c,

a+cb+c

而函数y=1为减函数，所以1I<1故C结论正确;

bb+cb(a+c)—Q(b+c)c(b—a)

对于D,

aa+c〃(Q+C)4(Q+C)

因为a>〃>0,c>0,所以（:（人一々乂0,3（〃+0））0,

CCH.bb+cc{b-a)bb+c

所以々一二；=而3<°'所以7故D结论错误.

故选：D.

13.（2024•北京房山•一模）已知i是虚数单位，若复数Z=（M-i）・（3+i）是纯虚数，则实数m的值是（）

1]_

A.-3B.3C.——D.

33

【答案】C

K祥解》先根据复数的乘法运算求出复数z,再根据纯虚数的定义即可得解.

【详析】r=(m—i)•(3+i)=3m+l+(m—3)i,

因为复数z=（帆-i）•（3+i）是纯虚数,

3机+1=0解得7W=-g.

所以

"1一3w0

故选：C.

14.（2024•北京海淀•一模）已知向量2,4满足|阖=2石=（2,0）,S.\a+b\=2,则〈海〉=（）

5兀

D.—

6

【答案】C

（祥解』将|£+B|=2两边同时平方，将条件带入计算即可.

【详析】由已知l,=2，W=2,

rr、2rrrrrr

所以z+=a2+2b-a+b2=4+2x2x2xcos〈〃,b〉+4=4,

得cos〈a,B〉=—g,又〈心历£[0,兀],

所以&,历=胃.

故选：c.

15.（15-16高二下•新疆哈密・期末）若复数z满足力=l+i,贝1的共轨复数是（）

A.-1-iB.1+iC,-1+iD.1-i

【答案】B

K祥解』根据复数代数形式的除法运算求出复数z即可求解结果.

【详析】解：复数z满足力曰+i,所以z=^="li=土=IT.

11-1

所以Z的共辄复数是1+i.

故选：B.

16.(2024•北京朝阳•一模)在AABC中，AB=AC=2,BC=2A/L点尸在线段上.当丽.而取得最小

值时，PA=()

A.BB.也C.』D.1

2244

【答案】B

K祥解》首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得西的坐标，即可求解.

【详析】如图，以8c所在直线为x轴，以8c的垂直平分线建立y轴，建立平面直角坐标系，

由AB=AC=2,BC=1^3,则OA=,2?-(石丫=1,

所以4(0,1),网-石,0),C(V3,0),设尸(x,0),

则丽而=卜百-尤,0),

则PA.PB=_彳.卜道_了)=X?+6彳=［丁+^^,

当一争寸,

西•丽取得最小值,

故选:B

17.(2。24•北京朝阳•一模)复数.在复平面内对应的点位十()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

K祥解工利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解.

【详析】复数而i=寻i(讥3-i)号=l+可3i，所以复数对应的点为(〔163而AJ，为第一象限的点・

故选：A

18.(2022•北京丰台•三模)"1BC为等边三角形，且边长为2,则荏与砂的夹角大小为若

\BD\=1,CE=EA,则而.而的最小值为.

o/2»

【答案】120/—-3-73

（祥解1根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运

算和数量积的运算律计算可得AD.BE=-3+y/3cos<BD,BE>,结合平面向量夹角的范围即可得出结果.

【详析】由题意知，如图，

由AABC为等比三角形，得8=60°,

所以<丽能>=120°；

因为。=丽，所以点E为AC的中点，

umn1uuniuur

则B'BA+'BC,5LAD=AB+Bb，

所以而.屁=（题+而）•（g丽+；交）

=--\ABf+-ABBC+-BDBA+-BI5BC

।222

=--x4+-x2x2cosl20°+-Bl5（BA+BC）

222

=-3+BDBE=-3+^Bl5^BE\cos<BD,BE>,

=-3+^3cos<BD,BE>,

又〈丽，曲>e[0,180°],所以cos<丽，屉〉血n=—1，

所以（而•函.=-3-6

故答案为：120°；-3-6

,,