2024北京大兴区高一（下）期末数学试题及答案

2024北京大兴高一（下）期末数学第一部分40分）（选择题共一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。−，z=（1）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(1，则复数的共轭复数z（A）1−iB）1+i（C）1−i（D）1+i（2）已知一组数据3，，4，667，88，则这组数据的80%分位数是（A）6（B）7（D）8和直线（C）ABCD−ABCDBCAD所成的角为1（3）正方体中，直线11111（A）30°（C）60°（B）45°（D）90°（4）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“两次都没中靶”互为对立是（A）至少一次中靶（C）两次都中靶B）至多一次中靶（D）只有一次中靶（5）某比例分配的分层随机抽样中，相关统计数据如下表．则此样本的平均数为（A）20样本量平均数（B）24（C）25（D）30第1层第2层20303020（6）已知是空间中两个不同的平面，mn是空间中两条不同的直线，mnm⊥n，则“”是“⊥”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得BDC=120，BCD=15=20，在点C处测得塔顶A的仰角为60，则塔高=（A）202B）203第1页/共12页（C）302（D）303111（8）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲，乙，丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，234且他们是否破译出密码互不影响，则至少有2人破译出密码的概率是147（A）（C）（B）（D）17212a=1)b=(−34)（9）已知平面向量，则下列说法错误的是2（A）cosab=1034a−（B）b在方向上的投影向量为(，)252543435（C）与b垂直的单位向量的坐标为(，)或(−−)555a+b与非零向量a−b共线，则=0（D）若向量（10）有下列说法：m①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概1率是；xx，，的方差为0，则所有的x(i=2，，都相同；i②数据12③某运动员连续进行两次飞碟射击练习，事件“两次射击都命中”的概率为0.25；④从3个红球和2个白球中任取两个球，记事件A=事件B=A与B互斥但不对立．则上述说法中，所有正确说法的个数为（A）1（C）3（B）2（D）4第二部分（非选择题共二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1−i（）复数=______．i（12）从鱼塘捕得同时放养的草鱼100尾，从中任选5尾，称得每尾的质量（单位：kg）分别是1.5，1.8，1.21.4，1.6，估计捕得的100尾鱼的总质量为______kg．（13系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，第2页/共12页一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为______．2A=−−（14）已知菱形ABCD的边长为2，，沿将△ABC折起得到二面角BD.当二面角33−−−−BBD为直二面角时，BD的长为______；当三棱锥BACD的体积为时，二面角2D的度数为______.−ABCD−ABCDBB的中点，Q为正方形BBCC内一动点11（15）如图，在棱长为1的正方体中，为棱P11111A1①平面截正方体的截面为等腰梯形；//A1CQCQ不可能垂直于直线；1②若平面，则直线62③若Q=，则点Q的轨迹长度为π；2443A−1PD④三棱锥的外接球的表面积为π．16则上述命题中，所有真命题的序号为______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1613分）a=e−eb=e+e，其中e=0)e=(0)．3241已知（Ⅰ）求（Ⅱ）求12212ab|a+b|，；a+b与a−b夹角的余弦值．（1714分）某学校为了解本校历史选科，物理选科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，从历史选科的学生中n随机抽取人的成绩得到样本甲，从物理选科的学生中随机抽取60人的成绩得到样本乙，分别得到如下频率分布直方图：第3页/共12页90)的有20个．已知样本甲中数据在n（Ⅰ）求和样本甲的频率分布直方图中的值；a（Ⅱ）试估计该校历史选科的学生本次模拟测试数学成绩的中位数；122（Ⅲ）设该校历史与物理选科的学生本次模拟测试数学成绩的平均值分别为，方差分别为ss，212，s与s21222试估计与1（1814分）6件产品中有4件一等品，2件二等品，从中随机取出两件产品．事件A=“两件产品中有一等品，事件B=“两件产品中有二等品”．（Ⅰ）用适当的符号写出该随机试验的样本空间；（Ⅱ）分别求事件B的概率；（Ⅲ）判断事件B是否相互独立，并说明理由．（1914分）AD==2AB，为CD的F如图，已知平面⊥，ACDDE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，中点．求证：（Ⅰ）AF平面BCE；（Ⅱ）平面⊥平面CDE．（2015分）ABCD−ABCD中，N，E，F分别是ADBCCD的中点．如图，正方体1111111111（Ⅰ）求证：E，F，B，D四点共面；（Ⅱ）设平面BNF与平面ABCD交于直线l，求证：//l；ADACD（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．1111第4页/共12页（2115分）记△的内角A，B，C的对边分别为ab，c，已知bsinA=aB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=3．（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC的面积．1条件①：a=6；条件②：a2c；条件③：=sinC=．3（ii）求△周长的取值范围．第5页/共12页参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共401A2D3D4A5B6D7C8B9B10C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25（）（12）1502（13）5（14）6（360°或°（21分）（15）①③（只写对一个得3分，有错误序号不得分）三、解答题（共6小题，共85分）（16分）e=0)e=，，(012以a=e−2e=(3−2)，………1分………2分12b=4e+e=(4)12ab=34+(−2)1所以=10，………4分a+b=(7−，………5分|a+b72+(−2=52．a=−，b=4………7分………1分（Ⅱ）因为(32)a−b=−−所以(1，所以|a−b=(−2+(−2=2，………分(a+b)(a−b)=(7−(−=7(−+(−(−，=4………4分，(a+b)(a−b)|a+ba−b|所以cos=−45210=25=−．………6分25第6页/共12页（17分）2090)0.04010=0.4，的频率为=0.4，解得n50；=由………2分n(0.006+0.016+0.020+0.040+a)10=1由甲样本频率分布直方图可知，，解得a0.018；（Ⅱ）甲样本频率分布直方图中前(0.006+0.016+0.020)10=0.420.5=………分43组的频率之和为，………1分前4组的频率之和为0.420.040100.820.5，………分+=2所以甲样本数据的中位数在第4组，设中位数为，………分x3由(x80)0.040.420.5，−+=………5分解得x82，所以甲样本数据的中位数为=82.………6分（Ⅲ），22.ss2………4分121（18共分）m4件一等品编号为1，2，4，记作，2件二等品编号为5，6n(mn).随机试验的结果可用表示，则该随机试验的样本空间用集合表示为Ω={（1，131，1516，2，，42（2，，433，4，，65）}.样本空间中共包含15个样本点．………3分（Ⅱ）A={（，6）}A共包含1个样本点，B={（1，1，，523，3，4，54（5，6）}，共包含9个样本点，………2分………3分由于该随机试验的每一个结果等可能发生，1所以P()=，151415P()=1−P()=，………5分93P(B)==．………7分155（Ⅲ）因为（，，，，，，，，，），事件={1516252635364546}共包含8个样本点，8所以P(AB)=而P()P(B)=，………2分15143P(AB)，………3分155B.………4分所以事件不相互独立第7页/共12页（19（共分）的中点G，连接FGBG，1因为F为的中点，所以//DE=,………1分2因为平面所以AB//DE，所以FG//AB，⊥ACDDE⊥，平面ACD，………2分………3分因为2，所以FGAB，所以四边形ABGF为平行四边形，………4分所以AF//BG，………5分BCEBGBCE6==因为AF平面，平面，………分………7分所以AF//平面BCE.（Ⅱ）因为△为等边三角形，F为CD的中点，所以AF，⊥………2分因为DE平面ACD，⊥AF平面ACD，所以，⊥………4分因为，所以AF⊥平面CDE，因为AF//BG，………5分所以平面⊥CDEBCE，，………6分因为BG平面所以平面BCE平面（20分）⊥CDE．………7分BDBD,11第8页/共12页EFBCCD的中点，1111因为分别是所以为的中位线，EF//1D………1分所以，1ABCD−ABCD因为所以所以为正方体，1111//AAAA//BB，11，==11//BB，1=11B所以四边形为平行四边形，1BD//………2分所以,11所以EF//BD,EFBD所以四点共面.………4分ABCD−ABCD（Ⅱ）因为为正方体，1111ABCD//，所以平面平面1111ABCD=,因为平面BNF平面1111平面BNF平面ABCD所以//l.=l,………3分………4分ABCD−ABCD111a棱长为，（Ⅲ）设正方体1ABCD−ABCD因为所以所以所以为正方体，1111AD⊥CDD,11平面11ADA−CDD1的高,………1分为三棱锥1111V=VD−ACDA−CDD11111113===S11aCDD111312a216a3，………3分设1到平面ACD的距离为h，11因为△ACD是等边三角形，且边长为2a，11第9页/共12页3322所以S所以V=(2a)2=a，413=ShD−ACD1111322=ah316=a3，………5分3所以h=所以sina，3h3==.………7分1D31（21共分）bA=aB，由正弦定理得，BA因为A(0π)，sinA0=3AB，………分1所以，………2分所以sinB所以tanB==3cosB，3，………3分因为B(0π)，所以B=.………4分3i）选条件②：因为B=b=3=2c，3由余弦定理，b2=a2+c−2acB,………1分2124c+c−22c222=3，所以解得c2=1，所以c1．=且△ABC唯一确定，………3分1所以△ABC=acsinB212323.………5分2第10页/12页选条件③：13因为B=sinC=,3所以BsinC，所以BC，所以C为锐角，223所以cosC=1−2C=，………1分26+1所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=，6且△ABC唯一确定，………2分bc=由正弦定理得，BC33c==所以1，322所以c，………3分31262+3所以△ABC=bcsinA=．………5分18=bB=3，（ii）因为3由余弦定理，b2=a2+c−2acB,21a2+c2−2ac=3，2所以a2+c2−=3，………2分(ac)+2=ac+3，因为a0c0，a+c所以ac()2，2当且仅当a=c时，等号成立.a+c所以(a+c)23(2)+3，2所以a+c23，………4分当且仅当a=c=3时，a+c=23，a+c3，3a+c23所以，………5分所以23a+b+c33，所以△的周长a+b+c(2333].………6分acb32π====2A+C=其他解