利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明（3大压轴考法）解析版-2024-2025学年人教版高一数学压轴题攻略

专题05利用基本不等式、柯西不等式、权方和

不等式证明

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练........................................................2

题型一、基本不等式证明.......................................................2

题型二、柯西不等式证明.......................................................8

题型三、权方和不等式........................................................12

压轴能力测评(9题)...............................................13

x解题知识必备♦♦

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

(a2+b2)(c2+J2)>(ac+bd)2(a,b,c,dwR,当且仅当“d=bc时，等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)，4+/,Vc2+d2>\ac+bd\b.c.d当且仅当ad=加?时,等号成立.)

(2)1a2+Z72.J02+12习〃，+|b4(a,b,c,deR,当且仅当二Z?c时，等号成立.)

(3)(〃+Z?)(c+d)>+VM)2(a,b,c,dN0,当且仅当ad=be时,等号成立.)

3.扩展：+而+a；H-卜a；%：+/?；+b；H---卜+ct2b2+613b3----。”2了，当且仅当

q:4=%:4=…=a〃：2时，等号成立.

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对并不是不等式的形状，但变成

1*(12+12+12)*(«2+/+°2)就可以用柯西不等式了.

二、权方和不等式

权方和不等式：右a,A,x,y>0,则土+生》故土空，当且仅当q=2时，等号成立.

xyx+yxy

证明1：・.・a,b,x,y>0

要证《+

xyx+y

只需证也士&段±打

孙x+y

即证xya2+y2a2+x2b2+xyb1>xya2+Ixyab+xyb1

故只要证y2a2+x2b2>Ixyab

(ya-xb)2>0

当且仅当—M=0时，等号成立

即《+£之3+"）;当且仅当4=2时，等号成立.

y

a+;当

—+—)(x+y)2(a+6)2在y>0时，就有了—+^_>^^

%yxyx+y

当g=2=g时，等号成立.

xyz

工+…+小（q+02+…+。”）2,当卬=无白时，等号成立.

'2b"bx+b2+---+bn

w+lm+lzn+1

ri—+%+.・・+4〃2（"的+…+口”厂,当时，等号

bmbmbm（4+^2+…+西

12n

“压轴题型讲练♦♦

【题型一基本不等式证明】

一、解答题

1.（23-24高一上.安徽淮南•期中）己知。,6,c是正实数.

⑴证明：a+b+c>y[ab+\Jbc+4ac;

1119

（2）右a+Z?+c=2,证明：—•■—+—>—.

abc2

（3）已知。力是正数，且Q+Z?=1,求证：（改+外）（"+纱）之孙.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析；

⑶证明见解析.

【分析】(1)利用基本不等式证明不等式；

(2)应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式；

(3)由(ox+by)(Zzx+ay)=〃仇%之+,2)+孙(/+〃)，应用基本不等式有

{ax+by)(j9x+ay)>ab(2xy)+xy(a2+Z?2),即可证结论.

【详解1(1)由2。+2Z?+2c=(〃+A)+(Z?+c)+(a+c)22y[ab+lyfbc+2y[ac,

当且仅当a=b=。时等号成立，即a+b+c2++,得证.

/八,1111,a+b+ca+b+ca+b+cl^bcacab

(2)由—+—+—=-------+-------+-------)x=--(3+—+-+—+-+—+-

abc2abc2aabbcc

当且仅当Q=匕=c=.2时等号成立，则1上+1；1+上9之9,得证.

3abc2

(3)由(ax+by}(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2)>ab(2xy)+xy(a2+b2)=xy(a+b)2=xy,

当且仅当时等号成立，不等式得证.

2.(23-24高一上•江苏苏州•期中)已知〃，b,。都是正数.

(1)若Q+人+C=1,证明：F-H—>9；

abc

1

(2)若a+b=l,求的最小值.

a

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；

(2)方法一：利用基本不等式求出0<必[,则]+£|}+:24(日2+/+〃+1),利用结合二次函数

的性质计算可得；方法二：由(“+1[,+4]=成+4+2+1,利用基本不等式2+：求出的最小值，再由

Va)\b)ababab

对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.

ab

【详解】(1)方法一:•：a+b+c=\,且b,。都是正数，

111

+——9

abc

a+b+ca+b+ca+b+c八

=-------+-------+---------9

ab

b+ca+ca+b/

=----+-----+-------6

abc

bc(Z?+c)+QC(Q+c)+〃b(Q+b)—6abe

abc

a(b-c)2+0(c-[J+c(a-bj>0,当且仅当。=人=。=；时取等号,

abc

故工+：+，N9.

abc

方法二：•.,a+b+c=l,且〃，b,。都是正数,

所以工+1+，

abc

111

—+—+-•(q+b+c)

abc

当且仅当。=b=c=g时取等号,

(2)方法一:,.力、b都是正数,

:.a+b>2y/ab当且仅当a=b时取等号,

又Qa+Z?=l,14ab<1,所以4ab<1,当且仅当。=〃=；时取等号,

10+：14"=4(〃2+1),2+1)=4(Q2b2+〃+/+i)

QH-----

a"4-ra

Qa+b=l,

「.(a+Z?)2=1,gp+b2+2ab=lf

A^b2++/?2+1)=4(c^b1-2〃0+2)='I)+1J,0<cib.

令〃X)=4[(XT)2+1],其中

I4

25

所以/(%)如的最小值为不

方法二:因为

・・・。力都是正数,

.'.-+->2.--=2,当且仅当2=*,即。=6=1时取等号，

ab\abab2

又Qa+b=l,

:.G<ab=a(X-a\<-,当且仅当o=b=」时取等号，

'/42

令t=ab,下面即要讨论函数=f+的最小值；

首先，讨论函数；在(o,；上的单调性，

对V0<%<.2«],

有/(12)_/(%)=%2+；_%_；=«2F)[1_；]=(12—1)[；[]<0,

hI邛2)I”2)

二函数"/)=/+;在上单调递减.

，当/=；1,即时1，/⑴=/+』1取得最小值1一7.

42v7t4

+=2+曰+2=§,当且仅当Q=b=1时取等号.

1a八*abab442

3.(24-25高一上•上海•课后作业)(1)已知尤、丁都是正数，求证：(%+村(炉+力卜3+力28%3,3；

(2)已知a>0,b>Q,c>0,求证：—+-^+—>«+/?+c.

abc

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(D对尤+y,f+y2,V+y3分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论；

(2)对生+?,-+—,牛+或分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论.

abacbc

【详解】证明：(D..叮、y都是正数，

x+y>2y[xy>0,x2+y2>2^x1y2>0,x3+y3>2^3/>0,

2333

.".(x+y)(x+/)(x+;/)z2而.2Ap7'-=8xy>

当且仅当x=y时，等号成立.

(2),：a>0,b>0,c>0,

.beac-beab〜acab八

+—>2c,—+——>2b,——+——>2a,

abacbc

./beacaZ?Y、

••2---1----1---|>2(a+Z?+c),

\abc)

,beacab、.山口-、I/beacab

^r—+—+—>a+b+c,当且/仅T当——=:=——，

abcabc

即a=b=c时等号成立.

4.（2023•全国•模拟预测）已知x,y,ze（O,”）,且无+y+z=l.

(1)求证：,+正+我>1+C-Z;

⑵求d+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）通过3+«之26,2n三式相加，可得:

：+石+令+亦+++y/~zN2\/x++2^/^"—s~H--^=H-Nyfx+yj-y+\/z^.

7xy]yyjz<xJy，z'

再根据0<%<1，o<y<i,:.4x>x,6>丫，且x+y=i—z,可得结果.

(2)先用公式(x+y+z)2=%2+y2+z2+2xy+2yz+2zx和x+y+z=l把原式转化为：

l+3xy+2yz+2xzf再用(工+»之4孙和x+y+z=l进行消元，转化为z的二次三项式，再用配方法可求最

大值.

【详解】(1)因为x,y,z£(0,4w),

所以~i=+G22仃,—/=+\[y22A/Z,—j=+Vz>2y[x

Jy7z

y

以上三式相加得口+y/z22,\/x++2,x/z",

所以展+*&+$+&，当且仅当x=y=z时取等号.

7xy]y7z

因为x,y,z£(0,+oo),且x+y+z=l,所以0<x<l,0vy<l,所以G>x，6>y,

所以H—广H—7=2yfx+^l~y+>fz>x+y+y[~z=1+yfz—z.

<x<z

故5/>i+Gz.

(2)x2+y2+z2+5xy+4yz+4%z=(x+y+z)?+3孙+2yz+2xz=1+3xy+2yz+2xz,

3

3xy+2yz+2xz=3xy+2z(x+)；)<—(x+y)2+2z(x+y)

33

=-(1-Z)2+2Z(1-Z)=-z+—=

424

当且仅当x=y=g2,z=g1时取等号,

9

x2+y2+z2+5xy+4yz+4xz的最大值为--

【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的

简单不等式，可分别证明，再相加.

5.（22-23高一上•天津•期中）已知%>0,y>0.

2

⑴求证：11

—I—

xy

2（x+2y）（2x+y）

的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑵述

2

【分析】（1）根据综合法结合基本不等式即可证明；

2a+2y）（2x+y）7----------------J------------

⑵把.；+/化为，+一K'利用（D的结论即可求得最值.

【详解】（1）因为X>0,y>0,所以/+丁之2孙，x-i-y>2y/xy,

所以X1Z2±Z>W叵2—7扇孙一2历卫一尤+广雪工，

%y

2/*+y2

所以yj—且当且仅当%=y时等号成立，得证.

%y

2

2（x+2y）（2x+y）2（x+2y）（2%+y）=----------------------------------

（2）3（x+y）Jx2+V（x+2y+2x+y）^x2+y2G+-

因为％>0,y>0,所以1+2y>0,2%+y>。，

所以由（D知（[+]]卜+2"+（2'+>）2'/1

_l5x2+5y2+Sxy1/5x2+5y2+4（x2+y2）13^/2

当且仅当尤+2y=2x+y且x=y时等号成立，即x=>时等号成立.

所以y=23(x0+2+y)y(2)x+Ey)的最大值为0平/7.

【点睛】易错点点睛：利用基本不等式解题的注意点：

(1)首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成

立.

(2)若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方

法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等.

(3)多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.

【题型二柯西不等式证明】

一、解答题

1.(22-23高一上•江西景德镇•阶段练习)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=3.

⑴求证：乡+葺+/=3；

⑵求证：/+夕+°2=3.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可.

【详解】(1)方法一：Va>0,b>0,'勺>o，

•**—+<2>2^—•a=2A/^=2b,即~~+«>2^,

a\a'

同口J的-+-b>2c,-.c>2a9

将以上各式相力口得：§+葛+(+“+〃+。=2。+2&+2。，即9+葛+(=3.

当且仅当“=b=。=1时，取等号.

方法二：a>09b>0,c>0,

由权方和不等式可得：色土空上厂=3，

abca+b+c

当且仅当萼=葛=/，即-0=1时，取等号.

方法三：a>0,b>09c>0,

由柯西不等式可得：

.b1c1a1_

abc

当且仅当。=b=。=1时，取等号.

(2)方法一：Va2+b2>2ab,。一『二2。。，b2+c2>2bc,

2a2+2Z?2_|_Ze?>2ab+2ac+2bc,

112222222

:.3a+3b+3c>a+b+c+lac+lab+2bc,BP3(«+c)>(«+z,+c)=9,

.二a2+Z72-F-c2>3,

当且仅当—。=1时，取等号.

方法二：•/<7>0,b>09c>0,

由权方和不等式可得：〃+夕+°2=Q+Q+三'W,

1111+1+1

222a+b+C

：.a+b+c>^^=3

3

当且仅当。=〃=。=1时，取等号.

方法三：a>0,b>0,c>0,

由柯西不等式可得：

(a2+b2+c2)(l2+I74-12)>(axl+fexl+cxl)2,整理得d+&2+i=3,

当且仅当。=〃=c=l时，取等号.

2.(2023•广西南宁•二模)已知a,b,。均为正数，且4+2廿+3/=4,证明：

⑴若a=c,则"4走；

2

Q)a+2b+3cM2瓜

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(D由基本不等式证明；

(2)用柯西不等式证明.

【详解】(1)•••a2+2b2+3c2=A,a=c,：-4a2+2b2=4,

4a2+2〃22.2。・叵，

当且仅当°=变，6=1时取等号，

2

4>2-2a-y/2b,BPa/?<—;

2

(2)Va,b,c均为正数，且。+-2+3。2=4,...由柯西不等式得,

(a2+2b2+3c212+(码,+(可>(a+26+3c)2,

•e•(Q+2Z?+3C)2<4X6,

a+2b+3c<2A/6,当且仅当。=/?=。=^^时取等号.

3

[8]

3.（2024.陕西安康.模拟预测）已知％y，z均为正数，且—+—+—=1.

xyz

I-44

⑴证明：yjy-~r+~/=；

7x7z

2

⑵求入2+上+z2的最小值.

64

【答案】（1）证明见解析

（2）27

【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明；

2

（2）首先由柯西不等式证明X+3+Z29,再构造柯西不等式，求+的最小值.

864

/、181144144

[详解]（1）因为％y,z£（0,+x）,所以：+（+==：+:十二+二之厂厂+厂厂，

'7xyzxyyz个y'z

当且仅当x=z=：=4时等号成立，所以12-4^+-4^,故l4+4

⑵由柯西不等式得卜+江）〉河154+启后+值曰=9,

当且仅当尤=]=z=3时上式等号成立，所以x+W+z29.

OO

再由柯西不等式得卜2+*+z2}12+12+12）21xxl+Wxl+zxj>92,

所以炉+亡+22227,

64

2

当且仅当尤=：=Z=3时上式等号成立，所以尤2+匕+Z?的最小值为27.

864

4.（23-24高一下•安徽安庆・开学考试）（1）己知尤,y>0,求不"+3一的最大值.

2x+y%+2y

1工2A丫2

（2）已知%>1,>>彳且不--+/>1,求。的最大值.

2a（2y—1）a2（x-11）A

【答案】（1）2-逑；（2）2&.

3

【分析】

（1）令尸d>:，把不等式转化为二一+三卜2斗（2+?）,结合基本不等式，即可求解;

[x+2y=b>02%+yx+2y3ab

⑵令rmr转化为亨+噌方，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.

【详解】

2x+y-a>02b-a2a-b

解：(1)由题意，令x+2f>0,解得股丁，》=丁

x2y2a-b2(2Z?-a)

贝!]-----+———=------+-------

2x+yx+2y3a3b

当且仅当2=当时，即6=缶时，等号成立,

ab

所以小+G的最大值为2一平

2y-l=u>0w+1

(2)由题意，令x-l=v>。'可得X7+1'尸丁

因为/人+滔可得白+若W即3+1)2।色+1)2

>a2>

UV

2

又由柯西不等式，可得[+^±1L](M+V)>[(V+1)+(〃+1)]，

UV

一(v+1)2(〃+l)2r(v+l)+(w+l)]24I4-

所以^——+——^->-~~————=(w+v)+——+4>2(w+v)-------+428,

uvu+vu+vVu+v

4

当且仅当〃+u=------，即〃+v=2时，等号成立，

u+v

所以〃248,解得-20WQW20,所以实数[的最大值为2vL

5.(2024高三・全国•专题练习)已知实数Q,b,。满足a+6+c=l.

19

(1)若2片+//+/=],求证：0工。工二；

(2)若。，b,CG(0,+OO),求证：-^―+-^—+-^>—.

\-a\—b1-c2

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)由题意可得b+c=l-匹又1-2/=〃+°2,结合基本不等式可得工_2/2上虫，化简求

22~2

2

^0<a<-f得证；

(2)法一，由已知条件得金+匕£22、金•上义=4,同理可得工+曰25,—+—>c,三式

1-a4\\-a4i-b41-c4

相加得证；法二，根据已知条件可得苴(1-。)+(1-=所以

卢+工+/二=：［(1-。)+。-5)+(1-可［卢+工+:二］,利用柯西不等式求解证明.

1-a1—b1—c2L」(1-Q1-b1—c)

【详解】(1)因为a+〃+c=l,所以>+c=l—a.

因为"+/+才=；,

所以4—2片=方+。2J"。)？=(1—")2,当且仅当人=c时等号成立，

2-22

2

整理得5。2-2。40,所以。4。号.

(2)解法一：因为a+b+c=l,且a,b,ce(0,+oo),

所以1一〃>0,l-Z?>0,l-c>0,所以金+以22」金.U=［,

\-a4\l-a4

同理可得工+上心Nb,—+—>c,

1-b41-c4

以上三式相加得三+号当且仅当“=b=c=^时等号成立.

解法二：因为。+6+。=1,且a,b,c£(0,+8),

所以1—〃>0,1—b>091—c>0,且51(1—Q)+(1—0)+(1—c)]=1,

所以匕+匕b2+±=g[(li)+(l-b)+(l-c)]a2b2

-----+-----+-----

1-a1-b1-c

1

>—=；(Q+Z?+C)2=g,

-2

当且仅当a=b=c=^时等号成立.

【题型三权方和不等式】

一、填空题

222

1.(2023高三・全国•专题练习)已知正数%%z满足无+y+z=l,则-^+上1+=；1的最小值为

y+2zz+2xx+2y

【答案】I

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数x,y满足x+y+z=l,

上+上+-2—(x+3_1,

所以=

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

；时取等号.

当日仅当------=---=------即片y=z=

y+2zz+2xx+2y

故答案为:—.

„24

2.（2024高三.全国•专题练习）已知a>l1>1,则£+J的最小值是

【答案】8

【分析】利用权方和不等式求解最值即可.

【详解】令。+8-2=t>0,

则金+22^<=3="+4224+4=8，

b—1a—1a+b—2tt

〃+。—2=2

当<q_上时，即〃=23=2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8.

力一1a-1

故答案为：8

3.（2023高三•全国•专题练习）已知a,b,c为正实数，且满足a+46+9c=4,则一二+1工+―1的最小

Q+1b+1C+1

值为.

【答案】2

【分析】直接根据权和不等式即可得结果.

【详解】由权方和不等式，可知

J_+J_+-4।92（+2+3『42,

a+1b+1c+1tz+l4Z?+49c+9（a+l）+（4+4b）+（9c+9）18

当且仅当。=2,6=g,c=0时等号成立,

所以占+占+占的最小值为2

故答案为：2.

”压轴能力测评”

一、填空题

1.已知x>。，y>。，且分1+J=l'则x+2y的最小值为----------

【答案】A/3+—

【详解】解法一：设1+2y=4（2x+y）+&（y+l）+r,

133

可解得4=54=5，=-万，

133

A®+=—(2x+)/)+—(3/4-1)--

13

=a(2x+y)+5(y+l)

22

当且仅当x=!+,y=时取等号.

233

故答案为：A/3+—.

解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：必+生…"也，

xyx+y

1=—1―+—庞Q+后n2x+4y+34+273,

2x+y3y+32%+4y+3

所以x+2y.市+：,当且仅当x」+3,y=3时取等号.

2233

故答案为：+—

2.（2023高三・全国•专题练习）已知％+2y+3z+4〃+5y=3。，求/+2/+3z?+4/+5y的最小值为

【答案】60

【分析】应用权方和不等式即可求解.

22222f（2y>（3Z）2（4〃>（5v）2

x+2y+3z+4"+5v=一+-—+-~~—+-——+-~~—

12345

［详解］.、2

（x+2y+3z+4w+5v）302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

当且仅当1=》=2="="时取等号

故答案为：60

二、解答题

3.（24-25高一上•上海•课后作业）已知x、y为正实数，且满足x+y=l.证明：^+-J+^+-j>y.

【答案】证明见解析

【分析】先由题意可得‘+'=（犬+》）（1+1］,化简后利用基本不等式可证得然后再利用基本

xy（xy）xy

不等式可证得结论.

【详解】证明：因为X、y为正实数，且满足尤+，=1,

所以，+L=(x+y)［工+工］=2+2+222+2=4,

xyy)yx

当且仅当X=y=g时取等号，

所以［T+［旧］

［x+』+y+口(1+工+口

、lxy)Axy)

~2--2-

：(1+盯=25,

22

当且仅当x=y=：时取等号，

所以原不等式成立.

4.(2024.陕西西安.模拟预测)已知〃涉,c均为正实数，且工+厂1+一1=1.证明:

ab+1c+2

(l)a+Z?+c>6；

(2)若b=2c,则/,+9c2218.

【答案】⑴证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(D根据给定条件，利用柯西不等式推理即得.

(2)利用(1)的结论，再作差比较推理即得.

【详解】(1)由。也。均为正实数，得。>0力+1>1,。+2>2,X-+-^+—=1,

aZ?+lc+2

贝！IQ+b+c=Q+S+1)+(c+2)—3=[a+S+1)+(c+2)](，d——-——i——--)-3

ab+1c+2

N,~j=+y/b+1-j+y/c+2•—j===)2-3=6,当且仅当a=〃+l=c+2=3时取等号,

所以a+Z?+cN6.

(2)当Z?=2c时，由(1)得：tz+3c>6,

因此"+9L_("=(a-3c)-w0,当且仅当。=3c时取等号，

224

a=3c

贝（J"+9c222（三当2218,由,

b=2c,即得〃=31=2,。=1取等号,

所以。2+9,218.

5.(2024・四川南充・三模)若a,6均为正实数，且满足4+〃=2.

⑴求2a+3A的最大值；

(2)求证：4<+Z?3j(a+/?)<—.

【答案】(1)医

(2)证明见解析

【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；

(2)由分析法转化为求证4<4+2仍-2/62q。，换元后由函数单调性得证.

【详解】⑴由柯西不等式得：(a2+^2)(22+32)>(2a+3Z7)2,

即(2a+36『W26,故2a+3b〈叵,

_2726

[3a=2b"—13

当且仅当2小°,即1fL时取得等号，

[a2+b-^23A/26

b=----

I13

所以2a+36的最大值为后.

(2)要证：4<(a3+&3)(a+^)<|,

9

<

只需证：4W/+/+皿/+/)-2-

只需证：4<(a2+b2^+ab(a2+b2)-202bl<1,

g

即证：4<4+2ab-2a2b2<~,

2

由“，。均为正实数，且满足/+户=2可得2=4+6222az

当且仅当。=人=1时等号成立，即0<〃匕W1,

设而=/e(O,l],则设/(f)=-2/+2r+4jG(0,l],

•・"⑴在[。,£|上单调递增，在[gj上单调递减，

X/(0)=/(l)=4./Qj=|,,-.4</(0<|,

BP4<(a3+Z73)(a+Z7)<|.

6.(23-24高一上・云南曲靖•期末)已知a>0,b>0,且4+8=2,证明:

(Da'b+ab，<2;

⑵小+

。+1b+1

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（D利用基本不等式，求得0〈必进而证得/0+如2<2.

（2）化简贮±^+2±£,然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得上^+"£'2.

〃+1/7+1〃+1/7+1

【详解】(1)c^b+ab1=ab^a+b)=2ab,

因为4>0,b>0,2=a+b>2y[ab,贝！|0<aZ?«l,当且仅当a=b=l时等号成立,

所以片6+"2<2；

⑵a3+b+b3+a_a3+(2-«)Z?3+(2-Z?)_(<23-tz)+2(Z?3-Z?)+2

a+1Z?+1Q+1Z?+1Q+1Z7+1

〃(Q+1)(Q—1)+2b(b+l)(b-l)+2

=a2+b2-a-b-\———十

Q+1Z?+1〃+1Z?+1

-L+，2(a+Z?+2)

=a2+b2+2—2=(Q+Z7)—2aZ?+-2

Q+1Z7+1(tz+l)(Z?+l)

QQ

2ab+2=----------2ab+2,

ab+a+b+1--------------ab+3

由(1)有0<abWl,有"+3K4,-ab>-1,有一-—>—,-2ab>-2,

ab+34

Q1

有^^23228丁2+2=2,当且仅当”人1时等号成立,

所以之±^+叱£22.

。+1Z?+1

7.（23-24高一上・江苏南京•期中）已知正数〃，6满足a+2b=他.

（1）求Q+Z?的最小值;

小、42a8Z7,,./上

⑵求口+口的取小B值.

【答案】⑴3+20

⑵18

【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值

(2)将已知式分解因式为5-2)3-1)=2,利用常数分离法将所求式化成10+」4\+78\,再运用基本不

a—2b—1

等式即可求得最小值.

21

【详解】(1)因为〃>0,b>0且〃+2Z?=",贝!]—+—=1,

9ab

所以”+6=(4+6)(2+,)=2+1+殳+323+2*/殳-3=3+20,

abab\ab

当且仅当竺即a=①,即a=2+夜，6=0+1时等号成立，

ab

故a+b的最小值为3+2夜.

(2)因为〃>0,b>09且a+2b=ab,所以(〃一2)(匕-1)=2,

山22a8b2(〃-2)+48(Z?-l)+8481八。「8-

所以----+——=—--------+———--=10+-------+——>10+2J---------------=118O,

a-2b-1a-2b-\a-2b-\\a-2b-1

48

当且仅当」==9，即a=b=3时等号成立，

a-2b-1

故乌+生的最小值为18.

a-2b-1

8.(22-23高一上•广东广州•阶段练习)已知正实数〃，b,。满足〃+b+c=3.

(1)求'+；+’的最小值；

abc

b2c221

求证：———+———+—a——>—(ab+bc+ca\.

(2)222

a+lb+lc+l2V7

【答案】⑴3

⑵证明见解析

1111

【分析】(1)由a+h+c=3,有：(〃+力+c)=l,与▲+；+人相乘，利用基本不等式求最小值.

3abc

川22]O1

(2)要证M+A+枭2=(。匕+儿+以)，利用柯西不等式转化为证明2V2+A+,

a2+lZ?2+lc2+l2'7