基本不等式（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第03讲基本不等式

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式

2023年天津卷，第14题,5分

求积的最大值

2021年天津卷，第13题,5分基本不等式求和的最小值

2020年天津卷，第14题,5分基本不等式求和的最小值

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握基本等式的基本内容

2.能掌握基本不等式的解题方法

3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题

4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式

I「•考点梳理

考点一、直接法

1.基本不等式的形式考点二、配凑法

2.几个重要的不等式考点三、常数“1”的代换

基本不等式知识点：基本不等式〈

3.算术平均数与几何平均数v考点四、和积定值

4.利用基本不等式求最值问题考点五、消元法

考点六、双换元

知识讲解

知识点.基本不等式

1.基本不等式的形式：y[ab^r--

(1)基本不等式成立的条件：aNO,

(2)等号成立的条件：当且仅当a=A时取等号.

(3)其中陪称为正数a,力的算术平均数，4瓦称为正数a,6的几何平均数.

2.几个重要的不等式

⑴才+Z/22M>3b£R).

ho

(2)-+-^2(a,8同号).

ab

(3)a6W(^^)(a,力CR).

灯号(a,66R).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.算术平均数与几何平均数

设a〉0,b>0,则a,6的算术平均数为手，几何平均数为“瓦，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均

数不小于它们的几何平均数.

4.利用基本不等式求最值问题

已知x>0,y>0,则

(1)如果积灯是定值夕，那么当且仅当x=p时，x+p有最小值25.(简记：积定和最小)

2

(2)如果和x+y是定值R那么当且仅当x=y时，盯有最大值£.(简记：和定积最大)

考点一、直接法

典例引领

1.(2021•全国•高考真题)下列函数中最小值为4的是()

A.y=xz+2%+4B.y=Isinxl+—―-

/|sinx|

C.y=2X+22~XD.y=Inx+

//Inx

2.(2021•天津•高考真题)若a>0,6>0,贝壮+9+b的最小值为

ab2---------

♦♦即时啊

22

1.(2024•宁夏银川•二模)已知力(3,0),B(-3,0),P是椭圆[+三=1上的任意一点，则仍川“PB|的最大

2516

值为______

2.（2024•甘肃定西•一模）/+*«的最小值为（）

A.2V7B.3V7C.4V7D.5V7

3.（2024•全国•模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=l,则8*+犷的最小值为()

A.V2B.2V2C.3V2D.4V2

4.（2024•重庆•模拟预测）若实数a,b满足ab=2,贝！|小+2/^的最小值为（)

A.2B.2V2C.4D.4V2

5.（2024•安徽•模拟预测）若a>0,6>0,则“VH+乃W2”是aa+b<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024•四川成都•三模）若正实数满足小+fo2=m,贝ija+b的最大值为（用TH表示）.

考点二、配凑法

典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）若函数/（%）=%+*（%>3）在久=a处取最小值，则。=

2.（2022•重庆•模拟预测）已知》>0,贝屹丁+占的最小值为

即时性测I

1.（2023高三•全国•专题练习）若x>1,则二+2久+2的最小值为

X-1----

2.（21-22高三上-安徽安庆・期末）下列函数的最小值为2/的是（）

A.y=Icosxl+■,2,B.V=yfx+V8—X

J|cosx|

3.（2024•江西赣州•二模）已知y>久>0,则”——工的最小值为

y-x2x+y-------

4.（22-23高三下•上海浦东新•阶段练习）若关于x的不等式/+bx+c>0（b>1）的解集为R,则写产

的最小值为.

考点三、常数“1”的代换

典例引领

1.（2024•安徽•模拟预测）已知€（0,+8）,—+n=4,则小+2的最小值为（）

mn

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）已知正数a,b满足工+：=1,贝Uab+36的最小值为（）

ab

A.8B.9C.10D.12

即时检测

1.（2024•辽宁鞍山•模拟预测）若x>0,y>0,且x+y=l,贝仁+工的最小值为

xy-----

2.（2024•广西河池•模拟预测）若实数a>l>6>0,且a?+26=肝+2a,则工+：的最小值

a-1b

为.

3.（2024•上海徐汇•二模）若正数a、b满足工+!=1,贝U2a+b的最小值为

4.（2024•浙江•模拟预测）已知a>0,b>0,若—+则ab的最大值为（）

a2+2abb2+ab

A.2-V2B.2+V2C.4+2V2D.4-2V2

5.（2024•宁夏•二模）直线ax+by—1=0过函数f（x）=x+W'图象的对称中心，贝哈+三的最小值为

（）

A.9B.8C.6D.5

6.（2024•河南•模拟预测）已知点P（x,y）在以原点。为圆心，半径r=夕的圆上，则高+会的最小值

为（）

A.-B.过处C.-D.1

999

考点四、和积定值

典例引领

1.(2024•广西•模拟预测)已知a,b6(-8,0),且a+4b=ab-5,则ab的取值范围为()

A.[25,+00)B.[l,+oo)C.(0,5]D.(0,1]

2.(2023•河南焦作•模拟预测)已知正数x,y满足2v+2y-盯=0,则当孙取得最小值时，x+2y=

()

A.4+8A/3B.2+4V3C.3+6旧D.8+6百

即时楂测

1.（2024•山东•模拟预测）已知两个不同的正数a,b满足生比=@?，则ab的取值范围是

ab

2.（2024•湖北•模拟预测）若正数a,6满足：a3+b2=ab,贝Ua的最大值为（）

A.-B.-C.V2D.2

34

考点五、消元法

ei典照强

1.（23-24高三下•浙江•阶段练习）已知实数x,y满足比>3,且xy+2x-3y=12,贝!|x+y的最小值

为（）

A.1+2V6B.8C.6V2D.1+2V3

2.（2024•云南•模拟预测）已知正数满足比+y=4,则！一津最小值为.

即典性测I

1.（2024•陕西西安•三模）已知%>0,y>0,xy+2x—y=10,则％+y的最小值为.

2.（2024•浙江•模拟预测）已知a,b>0,a6=1,求5=工+」的最小值.

1+a1+2匕

3.（2024•山西•三模）已知正实数x,y满足/+3xy—2=0,则2x+y的最小值为（）

A.亚B.巫C.2D.i

3333

考点六、双换元

典例引领

1.（2024•四川成都•三模）设a>b>0,若。2+%炉工贮半，则实数2的最大值为（)

a-b

A.2+2V2B.4C.2+V2D.2V2

2.（23-24高三上•河南•阶段练习）正数a,b满足a>b,ab=4,则与吗的最小值为（

a2-b2)

A.2B.3C.4D.6

1.（2024•全国•模拟预测）已知%>y>0,-^―+-^―=1,贝！J2%—y的最小值为.

x+yx-y-----

2.（2024高三•全国•专题练习）设正实数％y满足%>>2,不等式二;+Jr之恒成立，求m的最

3y-23x—2

大值.

12.好题冲关•

基础过关

1.（2022•福建泉州•模拟预测）若正实数x,y满足：+y=2,则无+；的最小值是（）

9

A.4B.-C.5D.9

2

2.（2024•天津•二模）已知抛物线y2=2p%（p>0）的焦点为F,抛物线上的点M（4,y0）到F的距离为6,

22

双曲线a-竟=l（a>0,b>0）的左焦点&在抛物线的准线上，过点&向双曲线的渐近线作垂线，垂足为

则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）.

A.2B.V3C.V5D.3

3.（23-24高三下•北京顺义•阶段练习）已知a>0,6>0,则“a+b>2”是“ab>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023•天津南开•一模）已知实数a>0,b>0,a+6=1,贝U2a+2b的最小值为.

5.（2022•天津南开•模拟预测）若实数乃y满足x>y>0,且xy=4,则篇的最大值为.

6.（21-22高三上•天津南开•阶段练习）若。，b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值是.

7.（2024•天津•模拟预测）若a>0,b>0,且a+b=l,贝+£）（6+£）的最小值为

能力提升

1.（2024•天津河西•三模）已知FI，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且N&PF2=方，

若椭圆的离心率为％,双曲线的离心率为02,则黄+多的最小值为（）

A.3+V3B.—C.—D.4

22

2.（2024•天津•二模）已知向量N=（1,1）石=（2x+y,2）,其中N||3且xy>0,则曲的最小值为

（）

A.V2+1B.V2+2C.4D.V2-1

3.（2024高三•天津•专题练习）已知正项等比数列｛/J中，a*3a3,（15成等差数列.若数列｛时｝中存在

两项am，an，使得/的为它们的等比中项，则5+；的最小值为（）

A.1B.3C.6D.9

4.（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知正项等比数列的前几项和为%,且品-2s4=6,则的+

+。12的最小值为（）

A.10B.14C.20D.24

5.（2024•天津武清・模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，AB||CD,ABLAD,AB=2CD=2AD=2,

在等腰直角三角形CDE中，ZC=90°,则向量濯在向量至上的投影向量的模为；若血N分别为线段BC,

CE上的动点，且前•丽=李则说•丽的最小值为

E

6.（2024•天津•模拟预测）已知正AABC的边长为旧，中心为0,过。的动直线/与边AB,AC分别相交于

点M、N,AM=XAB,AN=11AC,BD=DC.

（1）若丽=2枇，则