集合与常用逻辑用语-2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

题型一：集合运算问题三.易错点：对集合表示方法的理解存在整

题型二：集合中的含参问题易错点：忽视（漏）空集导致错误

萼三暨第野二解决G易错点：忽飕合元却1互摊

兀素与集合关系问题

题型四：判断充分性必要置口易错点：判断充分性必要性位置颠倒

题型五：由含有逻辑联结词的命题

e易错点：忽略分类讨论

的真假求参数的取值范围

易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题

两种解题方法）

方法一：列举法

列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

其解题具体步骤如下：

第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围;

第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；

第三步：定结果。

方法二：赋值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项

之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项.

其解题具体步骤如下：

第一步：辨差异:分析各选项，辨别各选项的差异；

第二步：定特殊:根据选项的差异，选定一些特殊的元素；

第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；

第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（1前），研究对象是点集还是数集，

故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.

例已知集合/={中＜耳，8={(x,y)卜＞2},则集合/口3=()

A.0B.(2,%)C.(-8,2)D.(-<»,%)

破解：根据交集定义计算，可以认为A是数集，B是点集，Nc8=0故选：A

变式1：已知集合4=卜卜-l)(x-4)<0},2=(y卜=2-x?},则()

A.0B.{x[l<x<4}

C.(x|l<x<2^D.{x|2<x<4j

破解：=8=(-双2],/cB=(l,2],故选：C

注意一个研究对象为数集一个为点集

变式2：已知集合/={(*,//+必=1衣,)€用，3={x[x+y=l,x,yeR},贝!]()

A./口8={0,1}B.NcB={(O,l),(LO)}

C.A=BD.AcB=0

破解：由题意可知集合3="婕+了=1户/€11}为数集，

集合/={(%,//+了2=1,尤,”R}表示点集，故选D.

变式3：已知集合力=卜|1吗(》-1)<0},5={x||x-2|<2},则()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|0<x<4}D.{x|x<4}

破解：因为/={尤|log?(尤-1)<o}={X11<x<2}

5={x||x-21<2}={x10<x<4}

所以4n5={x[l<x<2}n{x[0<x<4}={x[l<x<2},故选：A

1.集合/={(x,y)»=3x-2},8={(x,y)|y=x+4},则()

A.{3,7}B.{(3,7)}C.{7,3}D.{x=3,^=7}

【答案】B

【分析】根据交集的定义求解即可.

[详解]因为所以/口8={(3,7)}.

故选：B

2.已知集合/=卜，-2》<0},集合B={y|y=log2(2-/)},则/口8=()

A.(0,1]B.(-00,1)C.(一叫2)D.(0,2)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可得集合a根据对数函数性质可求得集合2,根据集合的

交集运算即得答案.

【详解】由题意/=卜|/一公<0}=(0,2),

由于0<2-尤2V2,故log2(2-力41,

故2={»B=log2Q-.)}=(一oo,l],

所以/「8=(0』，

故选：A

3.设全集U=R,集合尸={y|y=3x,-l<x<0},Q=\x\^->o\,则尸c四。等于

[x+2J

()

A.(-2,0)B.[-2,0)C.(-3,-2)D.(-3,-2]

【答案】B

【分析】化简集合/,B,根据集合的交集、补集运算.

【详解】全集U=R,集合尸={“尸3羽-1<》<0}=(-3,0),

0=1x]X2~°,=K।x(x+2)>0(xA-2}={x/20或x<-2},

所以电Q={x|_24x<0},

则尸ca0={x|-2Wx<0}.

故选：B.

4.已知集合/=5€用一1《》<4},8=[x'=lg(-尤2+2x+3»,则/口8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.[-1,3)D.(-1,3)

【答案】B

【分析】先化简集合/,B,再利用集合的交集运算求解.

【详解】解：集合/={xeN|T4x<4}={0,1,2,3},

由一X2+2X+3>0,得X2-2X-3<0,解得-l<x<3,

所以8={x[—l<x<3},

所以/05={0,1,2},

故选：B

5.已知集合〃={x|—lW%W2},N={x|y=lnx},则McN=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}C.{x10<x<2}D.或

x>2}

【答案】c

【分析】先化简集合N,再求McN即可解决.

【详解】N={x|y=lnx}={x|x>0},

则WPlN={x|-1VxV2}A{x|x>0}={x[0<xV2}.

故选：C.

6.已知集合W={x卜4cx<2},N={xeZ卜2Vx<3},则McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】^={xeZ|-2<x<3}={-l,0,l,2},所以WcN={-1,0,1},

故选：B

7.下列表示正确的个数是（）

(、zx[2x+y=101z、

(1)0g0；(2)0c{l,2}；(3)<(x,y)j3x_v_5『{3,9；(4)若A=B,则

AC\B=A.(5)0e{0}

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从

而确定正确答案.

【详解】空集没有元素，所以0e0正确，也即（1）正确；

空集是任何集合的子集，所以0U｛1,2｝正确，也即（2）正确；

2x+y=10x=32x+y=10

由解得，所以=｛（3,4）｝,所以（3）错误;

3x-y=5y=43x-y=5

若/=即A是8的子集，所以/n8=N,所以（4）正确;

根据元素与集合的关系可知0e{0}正确，也即（5）正确.

所以正确的个数是4.

故选：A

易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）

1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于0是任意集合的

子集，若已知非空集合B,集合A满足A^B或AuB,则对集合A分两种情中的含参问题

况讨论：

（1）当A=0时,若集合A是以不等式为载体的集合，则该不等式无解;（2）当A彳0时，要利用子

集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系，从而构造关于参数

的不等式（组）求解.

2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为：

第一步：化简所给集合；

第二步：用数轴表示所给集合；

第三步：根据集合端点间关系列出不等式（组）;（4）解不等式（组）；

第四步：检验，通过返回代入验证端点是否能够取到.

第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn图进行求解.

易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于0是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何

集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。

例已知集合/={x|l《x<5},B={x\-a<x<a+?>].若8=（4口功，则。的取值范围

为（）

A.B.（-℃，-1]

CD.1泊

破解：根据集合的关系分类讨论求参数即可，由6=（，门5）,可得5右4

3

当5=0时，—+即一一,满足题设

2

3\-a>\,3

当时，一〃<〃+3,即——，且〈，可得——<a<-\

2。+3<52

综上，°的取值范围为（-叫_1],故选：B

变式1：集合/=付2/一5X+2=0},5=何"-2=0},若B=4CB,则实数。的取

值集合为()

A.{-1,-4}B.{0,-1,-41C.口,4}D.{0,1,4}

破解：首先求出集合A,依题意可得3=",再分8=0、8={2}、2=,；}三种情况

讨论

因为/={x|2f-5x+2=0},B=A^\B,所以3=/,又B={x|ax-2=0}

当8=0,贝lJa=O,当8={2},即2a-2=0,解得a=l,当8=1}，即go-2=0,

解得。=4,综上可得实数a的取值集合为{（M,4},故选：D

变式2：设集合U=R,集合/={X|-24X<5},8={Hm-6<x<2m-\\,若/cB=0,

则实数加的取值范围为（）

1

A.—00,------B.(11,+8)C.——,11U(11+0°)

29

破解：结合3是否为空集进行分类讨论可求加的范围

当5=0时，AcB=0,则加—622加—1,即加V—5

m-6<2m-1m-6<2m-1

当5W0时，若%c5=0,则或

2m—1<-2m-6>5

解得-5<加4-；或加>11,综上，实数加的取值范围为，咫-；u（n，H

故选：D

变式3：已知集合/=卜€2卜2<3},8=*卜<》<°+|j,若/c8有两个元素，则实

数。的取值范围是（）

A.-5<Q<—11B,JQ-5<Q<O:

C.--1-D»-5<a<0>1]

破解：先解出集合A,结合有两个元素求解即可

因为/={xeZ,2<3}={-1,0,1},B=\xa<x<a+^A,由于有两个元素

Cl<-1-1<tz<0

31

则Q>1角军得一一<a<一1或——<a<0

j+l,产22

2

所以实数0的取值范围是或-;<a<0卜故选：c

1.已知集合/={尤|1Vx<5},8={x|-a<x4a+4},若31（4口3）,则。的取值范围

为（）

A.{司-2<a<-1}B.（司4<-2}

C.（a|a<-1}D.[a\a>-2j

【答案】C

【分析】由81(/CIB)可以得到8aA,从而对集合3分类讨论即可求解参数。的范围.

【详解】•.•已知BqpnB),又因为(/C3)u3,

AACiB=B,即8=/,

①当8=0时，满足3=”,此时-a2a+4,解得aV-2;

—ci<〃+4

②当8/0时，由8=4,得<-a>l,解得一2<Q4—1；

。+4<5

综上所述，a<-l.

故选：C.

2.设集合/={x|2a+lVxW3a-5},S=^x|x2-2U+80<oj,AC\B=A,贝|（）

A.{a|2<a<7^B.（a|6<a<7jC.[a\a<7^D.[a\a<6j

【答案】C

【分析】解不等式化简集合3,再利用集合的包含关系求解即得.

【详解】显然8=卜卜2一2R+80V0}=15VxV16},由4nB=4,得/=

当/=0时，即2a+l>3a-5,解得a<6,满足/0贝！Ja<6；

当/W0时，则5V2a+lV3a-5W16,解得6WaW7；

所以a《7.

故选：C

3.已知集合初=卜|/=1},N={尤|亦=1},若McN=N,则实数a的取值集合为

()

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}

【答案】D

【分析】分。=0和aW0讨论，根据集合关系可解.

【详解】McN=NoNuM,

当a=0时，N=0,满足NuM；

当a/0时，N=M={1,-1},由NuM可知！=1或工=一1,得a=l或a=-l.

laJaa

综上，实数。的取值集合为{LT。}.

故选：D

4.设集合/={尤[1<尤<3},B={x\x<a}},若AuB=B,则。的取值范围是()

A.{a|a31}B.{a|a<l}

C.{a|fl>3}D.{(z|a>3}

【答案】D

【分析】根据Nu5=5得到两集合间的关系，再由集合间的关系，求得。的取值范围.

【详解】由得/=已知/={x|l<xV3},B={x\x<a],

从而得。>3.

故选:D.

5.设集合4={x|x(4-x)N3},B=\x\x>a\,^AC\B=A,则。的取值范围是()

A.(-8,1]B.(-oo,l)C.(-℃,3]D.(-<»,3)

【答案】B

【分析】求出集合A,分析可知/=由集合的包含关系可得出实数。的取值范围.

【详解】解不等式X(4-X)N3,即--4x+3V0,解得IV尤W3,即4={x|lVxV3},

因为=且3={小>力，则/=所以，a<1.

故选：B.

6.已知集合/={小2-1=0},8=卜版=1},=则实数a取值集合为(

A.{-1}B.{1}C.{-1/}D.{-1,0,1}

【答案】D

【分析】由题意知8。/,分别讨论8=0和3/0两种情况，即可得出结果.

【详解】由/魂8=3,知3g/,因为/={小2-』0}={-1,1},B={x\ax=Vi，

若8=0,则方程ax=l无解，所以。=0；

若8N0,aW0,则3={x|ax=1}=x=J,

因为8=/,所以工=±1,则。=±1；

a

故实数。取值集合为{T0」}.

故选：D.

7.已知集合4="比>。},3="比</},且但⑷nB=3,则实数a的取值范围为(

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.S，0]

【答案】A

【分析】求出4/，依题意可得3可得关于。的不等式，即可得解.

【详解】因为/={x|x>a},所以4/={x|xVa},

又做/)n8=B,所以3口a”，

又2=,卜</},所以解得OVaWl,

即实数。的取值范围为[0』.

故选：A.

8.已知集合M={x|-l<x<3},N={讣R},若McN=M,则实数a的取值

范围是()

A.[-1,+<»)B.(-co,-l]

C.[-1,3]D.(-1,3)

【答案】B

【分析】根据河门"=可得河="可得答案.

【详解】因为“cN=M,所以AfqN,所以。4-1.

故选：B.

9.已知集合“=k|。<%<(22+1,。£2},B={x\2<x<6},若405=4,贝!]〃=(

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可.

【详解】由zn8=N,得4=易知集合A非空,

a>2卜22

贝I卜a2+1<6=><-J~5<a<45,

aeZaeZ

解得a=2.

故选：B.

10.已知集合4=「k2一2_¥-3<()},3={无卜l<x<-〃“，^AC\B=A,则实数加的取

值范围为()

A.(-3,+oo)B.(-oo,-3]C.[3,+oo)D.(-1,3]

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合4再利用集合的包含关系求解作答.

【详解】解不等式一-2*-3<0,得-l<x<3,于是工=(一1,3),而5=(-1,一间，

因为4n3=2,则NgB,因此-加23,解得加V-3,

所以实数,2的取值范围为(-*-3].

故选：B

II.已知集合/斗B=111(3工--+4)},3=>|>=/+,},若4nB=4,则实数f的取

值范围是()

A.(-oo,-l]B.(-℃4]

C.(-00,-1)D.(-°0,1)

【答案】A

【分析】首先分别求两个集合，再根据包含关系，求参数，的取值范围.

【详解】由已知得Z={H3x--+4>0}=(_1,4),8=也+8),

由4nB=/,得所以/(-1.

故选：A.

易错点三：忽视集合元素的互异性(利用集合元素三性解决

元素与集合关系问题)

茸

类型1有限集中元素与集合间关系的判断

⑴待确定元素与已知集合无关:如果待确定元素的值只与自身有关，只需将元素化简、求

值，再与该有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素.若存在,则属于

(e)；若不存在,则不属于任.

(2)待确定元素与已知集合有关:当一个待定集合中的元素与一个已知集合有关，确定元

素与待定集合的关系(或待定集合中元素个数)时，应先将待定集合中的元素根据题中限

定条件求出(常会用到列举法和分类讨论思想)，然后根据题目信息进行分析判断(常依据

集合中元素的互异性进行检验).

类型2无限集中元素与集合间关系的判断

⑴将待确定元素进行变形，看能否表示成无限集合中元素的形式，如果可以，则属于;否则

不属于.

(2)假设法:假设该对象是集合中的元素,代人看是否与集合限定条件相矛盾，若不矛盾，则

属于;否则不属于.

易错提醒：利用集合元素的“三性”尤其是互异性是解题的关键，求解过程中务必注意:用

描述法表示的集合,要先认清代表元素的含义和集合的类型，是数集、点集，还是其他类

型的集合，如y=2"},{xIy=2*},{(x,/y=2'}表示不同的集合.如果是根据已知

列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.

例已知集合尸=徊"=2"1,丘N*,1V1O},0={2,3,5},则集合7={切中

元素的个数为()

A.30B.28C.26D.24

破解：P={小=2"l#eN*,4410}={1,3,5,7,9,11,13,15,17』9},0M2,3,5}

因为7={成当xe尸,y=2时，9为偶数，共有10个元素

当x",y=3时,孙为奇数，此时砂=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10个元素

当xe尸/=5时，孙为奇数,此时孙=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重复数字

15,45,去掉，共有8个元素.

综上7={孙K©尸,ye。}中元素的个数为10+10+8=28个，故选：B

变式1:设集合M=若,则实数加=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

破解：根据元素与集合的关系，分别讨论2加-1=-3和机-3=-3两种情况，求解加并

检验集合的互异性

设集合四={2加-1,加-3},若一3eM,-1=一3或小一3=-3。

当2〃?-1=-3时，"?=T,此时M={-3,-4}，当相-3=-3时，根=0,此时M={-3,-11

所以"?=-1或0,故选：C

变式2：已知集合/={1,2,3},B={a-b\a^A,b^^,则集合8中元素个数为（）

A.5B.6C.8D.9

破解：集合力={1,2,3},B=\^a-b\a^A,b^,则当。=6时，有〃一/?=0,当时,

〃一6=1或Q—6=2,当Q<6时，。一6=-1或〃一6=-2,所以5={-2,-1,0,1,2},集合

3有中5个元素，故选：A

变式3：若。41,3,/},则。的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

破解：根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断。的可能取值

4=0,则。£{1,3,0},符合题设，。=1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合

题设，"3时，则”{1,3,9},符合题设，・・・4=0或。=3均可以.故选：C

1.对于复数。,bed,若集合S={〃也c,d}具有性质“对任意X/ES,必有肛ES”，则

a=1

当6=1时，6+c+d等于（）

c2=b

A.1B.-1C.0D.i

【答案】B

【详解】试题分析：集合5={。,6,。,力中“/°4各不相同

22

a=lb=l:.b=-l：.c=-\:,c=+i,由已知“对任意x/eS,必有肛eS"可知c=z•时

d=—i,c=-iS^d=i.\b+c+d=-1

2.2知集合4={1,2M—1},5={0,3,4+1},若4m2},则实数Q的值为

A.±1B.-1C.1D.0

【答案】B

【详解】因为Nc8={2},则/+1=2,即々=±1.但当。=1时，A={1,2,0},

止匕时415={0,2},不合题意，舍去，所以〃=—1,故选B.

3.已知集合/={0,2Q+1,"-2},若一1〃，则实数。=（）

A.1B.-1C.0D.i1

【答案】A

【分析】根据得/—2=-1或2〃+l=-1,分类讨论结合集合中元素的互异性求

解即可.

【详解】由—可得〃之一2二一1或2。+1=-1,解得：。=1或-1,

当〃=1时，集合Z={0,3,7},符合题意；

当。二一1时，集合力={0,-1-1}不满足集合的互异性；

综上，a=\.

故选：A.

4.已知集合/={4,x,2y},B=[-2,x1,\-y],若幺=B,则实数x的取值集合为（）

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2}

【答案】B

【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.

【详解】因为/=3,所以-2e/.

当x=—2时，2y=1-y,得y=；；

当2y=-2时，则x=2.

故实数x的取值集合为b2,2}.

故选：B

5.已知aeR,6eR,若集合",，1}={/〃一七0},贝I」〃刈9+〃。2。的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.

【详解】•••集合分母a#0,

b=0，/=],旦/WQ-6=Q,解得a——1,

J6Z2019+Z?2020=_1

故选：B.

6.已知集合/={。+1,。2+40-9,2021},若-4”,则实数。的值为（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出。的值.

【详解】；/={a+1,。?+4。-9,2021},且_4e/,/.—4=a+1­4=a2+4a—9

⑴、当-4=6+4°-9即。=-5或a=l,

①、当°=-5时，a+1=-4,a2+4a-9=-4.止匕时/={-4,-4,2021},不满足集合元素

的互异性，故舍去；

②、当a=l时，a+1=2,a2+4a-9=-4,此时/={2,-4,2021},符合题意；

⑵、当。+1=-4即。=-5时，此时/={-4,-4,2021},不满足集合元素的互异性，故舍

去；

综上所述：实数。的值为1.

故选：B

7.已知x为实数，A=[2,x,x2},集合A中有一个元素恰为另一个元素的2倍，则实数x

的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由题意分情况讨论并判断即可.

【详解】由题意：

当2=2x时，x=l,此时集合/={2,1,1},不成立；

当2=2*时，x=±l,x=l时不成立，工=-1时，集合4={2,-1,1},成立；

当％=2x2=4时,集合，={2,4,16},成立；

当x=2/时，x=o或x=x=0时集合Z={2,0,0}，不成立，、=；时集合/=12,（,；:

成立；

当炉=2x2时，x=±2,x=2时集合Z={2,2,4},不成立，了=—2时集合4={2,—2,4},

成立；

当％2=2x时，x=0或x=2,x=0时集合”={2,0,0},不成立，x=2时不成立;

故xs1-2,-1,—,4

故选：B.

8.已知集合/={12,/+4a,a+10},5eA,贝|。=()

A.-5B.-5或1C.ID.5

【答案】C

【分析】分1+4.=5和。+10=5两种情况进行求解，要检验是否与互异性矛盾，得到

答案.

【详解】当1+4“=5,解得。=-5或1,

当。=-5时，a+10=-5+10=5,与元素互异性矛盾，舍去;

当°=1时，^={12,5,11),满足要求，

当a+10=5时，解得a=-5,显然与元素互异性矛盾，舍去,

综上，a=1.

故选：C

易错点四：判断充分性必要性位置颠倒

1.充分条件与必要条件的相关概念

(1)如果p=>q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;

(2)如果p=>q,但q4p,贝ljp是q的充分不必要条件;

(3)如果p=>q,且q=>p,则p是q的充要条件；

(4)如果q=>p,且p4q,贝Up是q的必要不充分条件;

(5)如果p4q,且p,则p是q的既不充分又不必要条件

2.从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现，即A={p(x)},B={q(x)},则关于充分条件、

必要条件又可以叙述为：

(1)若A=B,则p是q的充分条件；

(2)若B=A,则p是q的必要条件；

(3)若A=B,则p是q的充要条件；

(4)若B,则p是q的充分不必要条件;

(5)若A及B,则p是q的必要不充分条件；

(6)若A&B且A[B,则p是q的既不充分又不必要条件.

易错提醒：(1)A是B的充分不必要条件是指:AnB且B芬A;

(2)A的充分不必要条件是B是指:BnA且A4B,在解题中要弄清它们的区别，以免出现

错误.

例命题“▽》€[1,2],一一。(0，，为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a<4B.a>4C.a<5D.a>5

破解：求解命题，曾«1,2],/一0〈0，，为真命题时024,即可根据真子集求解

命题"Vxe[l,2],x2-a<0”为真命题，则02/对Vxe[10恒成立，所以。2仁心，故

a>4,所以命题“Vxe[1,2],一一。vo”为真命题的充分不必要条件需要满足是｛4024｝

的真子集即可，由于卜卜25｝是,卜24｝的真子集，故符合，故选：D

变式1:已知命题〃：Vxe[-4,2],1x2-a>0,则？为真命题的一个充分不必要条件

是()

A.a<-2B.a<0C.a<8D.a<16

破解：先分离参数求出。的取值范围，则〃为真命题的一个充分不必要条件应该是

(-巴0]的一个真子集，由题设命题为真，即aV；/在xe[-4,2]上恒成立，所以

=0,则。为真命题的一个充分不必要条件应该是(-8,0]的一个真子集，

故选：A

变式2：记方程①：x1+ax+1—0>方程②：X2+6X+2=0,方程③：x2+ex+4=0,

其中a,b,c是正实数.若a,6,c成等比数列，则“方程③无实根”的一个充分条件是()

A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根

破解：根据判别式以及充分条件的定义逐项分析

由题意，b=aq,c=bq=aq2,其中q>0,

对于A,如果—+办+1=0有实根，贝以=/_420,/2,如果，+法+2=0有实根,

则4=62-820,622VLq有可能大于等于及.则&=/-16=//-16,即冬有可

能大于等于0,即由①②不能推出③无实根，A不是充分条件，

对于B,有022,6<2后，则必有qV/，即&=制2-16<0,方程③无实根，所以B

是③无实根的充分条件.

22

对于C,有a〈2,b±2®,:.q>®,A3=bq-16>Q,方程③有实根，C不是方程③无

实根的充分条件，

对于D,有aV2,6V2后，q的值不确定，有可能小于0,也有可能大于血，不能保

证方程③无实根，例如a=0.1,b=2,贝必=2=20,A,=22X202-16>0

a

所以D不是方程③无实根的充分条件，故选：B.

变式3：若x/eR,贝的一个充分不必要条件可以是（）

A.冈>»|B.x2>y2

C.->1D.2T>2

破解：由W>M，/>必推不出》>九排除AB

YV—Uy

由—>1可得-->0,解得x>y>0或x<y<0,所以—>1是x>y的既不充分也不

VyV

必要条件，排除C,2f>2nx>y,反之不成立，D正确，故选：D

三^^009

1.设。,6为实数，贝『'a>b>0”的一个充分非必要条件是（）

A.Va-1>V^-lB.a1>1^

C.—>—D.a-b>b-a

ba

【答案】A

【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与a>b>0推出关系即

可.

【详解】由，^万>跖二，贝八八，可得。>621,可推出a>b>0,反向推

/?-1>0

不出，满足;

由/>〃，则推不出a>6>0,反向可推出，不满足;

由，>,，则a>b>0或6>0>。或0>。>6,推不出a>b>0,反向可推出，不

ba

满足；

由-q,则。>6,推不出a>6>0,反向可推出，不满足；

故选：A

2.使“Q<6”成立的一个充分不必要条件是()

A.VxG(0,1],a^b+xB.VxG(0,1],a+x<b

C.3XG[0,1],a<b+xD.3XG[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可.

【详解】对于A,若VXE(0,1],a^b+x,当Q=b时，a=b<b+x成立,

所以“Vx£(0,l],f+A不满足条件；

对于B,VxG(0,1],a+x<b,贝！Ja<〃+%</?,即Q<6,

所以“Vx£(0,l],a+x〈b"="a〈b”,

若a<b,则Vx£(0,l],不妨取q=l,6=1.2,x=0.5,则a+x>6,

所以“Vx£(0,l],"x<b"中"a<b”,

所以“Vx£(0,l],a+是的充分不必要条件，B满足条件；

对于C,若a<b,则使得+即a<6+x,

即"a,a<b+x”,

所以Fxw[0,l],+是的充分条件，C不满足条件；

对于D,若a+x^b,则aWa+xWb,即〃当且仅当x=0时，等号成

立，

所以a+x&b"N«a<b",D不满足条件.

故选：B.

3.若不等式—Q+1<X<Q+1的一个充分条件为0<x<l,则实数。的取值范围是()

A.Q〉0B.6!>0C.a>1D.a>\

【答案】D

【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可.

【详解】若不等式-。+1<%<。+1的一个充分条件为0<x<l,

0>-tz+1

则（0,1）=（-。+1,a+1）,所以<-Q+1<Q+1,解得

tz+1>1

则实数〃的取值范围是。〉1.

故选：D.

4.命题“VXER,2米2十日—<o”为真命题的一个充分不必要条件是（）

8

A.左£（一3,0）B.A;G（-3,0］C.左£（一3,1）D.左£（一3,+“）

【答案】A

【分析】先求命题“VXER,2履2+京—<0，，为真命题的等价条件，再结合充分不必要的

O

定义逐项判断即可.

03、［左<0

【详解】因为VXER,2AX+履一A<0为真命题，所以左=0或<207八0-3<左《0,

8［左+3左<0

对A,（-3,0）是命题“VxeR,2质?+履一<0，，为真命题的充分不必要条件，A对，

O

3

对B,（-3,0］是命题“VxeR,262+丘-弓<0”为真命题的充要条件，B错，

O

对C,（-3,1）是命题“VxeR,2履2+履一?<0，，为真命题的必要不充分条件，c错,

O

3

对D,（T+S）是命题“VxeR,2丘?+依<0，，为真命题的必要不充分条件，D错，

O

故选：A

1a

5.如果不等式归-4<1成立的充分不必要条件是则实数。的取值范围是（）

-lMlB.11-卜⑷唱+8）

D.卜8,；上百+8）

【答案】B

【分析】解绝对值不等式，得到。-l<x<l+a,结合题干条件得到卜是

{x|a-l<x<l+a}的真子集，从而得到不等式组，求出实数。的取值范围.

【详解】卜-。|<1,解得：a-l<x<l+a,

13

所以成立的充分不必要条件是

故小|是｛x|a-l<x<l+a｝的真子集,

1I

a-\<—

2

所以

1313

a+l>—a+\>—

22

I3

解得：

22

'l3,

故实数。的取值范围是

故选：B

6.命题“Vxe(l,2),log?尤-。<0”为真命题的一个充分不必要条件是()

A.a>0B.a>2C.a>\D.a<4

【答案】B

【分析】对命题▼龙€(1,2),1084-“<0进行求解，可得。21,再通过充分条件和必要条

件进行判断即可.

【详解】因为命题网€(1,2),108炉-。<0是真命题，当xe(l,2)时，0<log2x<l,若

oAlog^x恒成立，则。加，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是。22,

故选：B.

7.函数/(无)=x3-ax+a-1有两个零点的一个充分不必要条件是()

A.a=3B.a=2C.a=\D.a=0

【答案】A

【分析】先因式分解得/■(x)=(x-l)(f+X+1-O),再分类讨论求解当有两个零点

时。的值，再根据充分不必要条件的性质判断选项即可

【详解】/(x)=x3-l-a(x-l)=(x-l)(x2+x+\-a),/⑴有两个零点，有两种情形:

①1是kf+x+l-。的零点，贝1=3,此时y=/+x-2有1,2共两个零点

②1不是y=/+x+l-a的零点，则判别式1-4(1-°)=0,即0

。=3是/⑴有两个零点的充分不必要条件

故选：A.

8.已知a,beR,贝！］“。6片0”的一个必要条件是()

A.a+bwOB.a2+b2^0C.a3+b3D.—+7*0

ab

【答案】B

【分析】利用。=31=-3否定ACD选项，进而得答案.

【详解】解：对于A选项，当。=3/=-3时，。6力0,止匕时a+b=O,故不是

仍W0的必要条件，故错误；

对于B选项，当油W0时，成立，反之，不成立，故/+/w0是仍w0的必

要条件，故正确；

对于C选项，当。=3,6=-3时，w0,但此时〃+〃=o,故Y+户wo不是仍20的

必要条件，故错误；

对于D选项，当a=3,6=-3时，ab/0,但此时，+，=0,故故:w0不是abW0的

abab

必要条件，故错误.

故选：B

易错点五：由含有逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范

围

根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤：

第一步：求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围；

第二步：根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性；

第三步：根据命题p,q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围.

易错提醒：此类题目一般会出现“p或q”为真,“p或q”为假,“p且q”为真,“p且q”为假

等条件，解题时应先将这些条件转化为p,q的真假.p,q的真假有时是不确定的，需要讨论,

但无论哪种情况，一般都是先假设p,q为真,求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即

可。

2

例已知P：Vxe[1,2],x