极值点偏移与拐点偏移问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1极值点偏移：加法型】.................................................................2

【题型2极值点偏移：减法型】.................................................................3

【题型3极值点偏移：乘积型】.................................................................4

【题型4极值点偏移：商型】...................................................................6

【题型5极值点偏移：平方型】.................................................................7

【题型6极值点偏移：复杂型】.................................................................8

【题型7拐点偏移问题】.......................................................................9

►命题规律

1、极值点偏移与拐点偏移问题

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题

常常出现在高考数学的压轴题中，是高考考查的热点内容，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，

计算量较大，解决极值点偏移，称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.

►方法技巧总结

【知识点1极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移的概念

（1）已知函数产/3是连续函数，在区间（。力）内只有一个极值点配，"1）=々2）,且X0在XI与X2之间，由

于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有X。力上产，这种

情况称为极值点偏移.

（2）极值点偏移

若考玉Wxo,则极值点偏移，此时函数外）在尸犹两侧，函数值变化快慢不同，如图⑵⑶.

图（2）ffl（3）

（左陡右缓，极值点向左偏移）若义X1）=/（X2）,则X1+X2>2XO;

（左缓右陡，极值点向右偏移）若若"X1A/（X2），则％1+工2<2配.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数“X)存在两个零点Xi,X2且X1WX2,求证：Xl+X2>2xo(xo为函数於)的极值点)；

(2)函数火X)中存在Xl,X2且X1WX2,满足兀V1)=/(X2),求证：Xl+X2>2xo(xo为函数/(X)的极值点)；

(3)函数4X)存在两个零点Xi,X2且X1WX2,令Xo=%j“2,求证：/(xo)>o；

(4)函数加)中存在Xi,X2且X1WX2,满足令Xo=%产2,求证：y(X0)>0.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：

①对结论Xi+X2>2xo型，构造函数尸(x)=/(x)-/(2x0-X).

②对结论X|X2>X(?型，方法一是构造函数尸(x)=/(x)—/(乎)，通过研究尸G)的单调性获得不

等式；方法二是两边取对数，转化成hui+liU2>21ruo,再把liui,I1U2看成两变量即可.

(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换，=工化为单变量的函数不等式，利用

函数单调性证明.

【知识点2指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题】

极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数

均值不等式.

1.对数均值不等式

结论1对任意的a,b>Q(a^b),有\J~ab<―rv<—4—.

in。一in。z

2.指数均值不等式

m+nmnmn

e—ee-Le

结论2对任意实数加，几(加W〃)，有e2<----------<-----5-----

、/m-nZ

►举一反三

【题型1极值点偏移：加法型】

【例1】(2024•江苏扬州•模拟预测)已知函数/(%)=ln(mx)-x(m>0).

(1)若/(%)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)若/(%)有两个不同的零点久1，%2，证明％1+冷>2.

【变式1-1](2024,辽宁•三模)已知/(%)=(x—l)ex+|ax2.

⑴讨论函数/(%)的单调性;

(2)当a>0时，证明：函数/(%)有且仅有两个零点%力％2，且%1+%2V。.

1

【变式1-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=%所一a(%>0),且/(%)有两个相异零点%力％2・

⑴求实数。的取值范围.

(2)证明：勺+型>

【变式1-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=—x2+21n%,g(%)=a(%2+2%).

(1)若曲线"%)在点。-1)处的切线与曲线g(%)有且只有一个公共点，求实数Q的值.

(2)若方程g(%)-/(%)=1有两个不相等的实数根第1，%2，

①求实数a的取值范围；

②求证：/+犯>2.

【题型2极值点偏移：减法型】

【例2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=d—(2+a)X+aln%,aER.

(1)讨论f(%)的单调性；

(2)设g(%)=亍一/(%)+好一Q+1)]一2。+(a-若g(%)存在两个不同的零点久「如且%iV松

(i)证明：2a>e+1；

,4a2—2a—1

(ii)证明:x-x<-------

22a-1l

【变式2-1](2024•湖南株洲一模)已知函数/(久)=(x+a)e&x在(1)(1))处的切线方程为y=e(x-l),

其中e为自然常数.

(1)求a、6的值及/(久)的最小值；

(2)设Xi，冷是方程/'(%)=卜/一2(fc>2)的两个不相等的正实根，证明：|%1-冷1>In*

【变式2-2](2024•北京朝阳•二模)已知函数f(x)=a%—ln(l—x)(aeR).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若f(x)>。恒成立，求a的值；

(3)若fO)有两个不同的零点巧,比2，且|%2->e-1，求a的取值范围.

【变式2-3](2024•河南•模拟预测)已知6>0,函数/(x)=Q+a)ln(x+b)的图象在点(1J(l))处的切线

方程为xln2—y—ln2=0.

(1)求a,6的值；

(2)若方程外久)=：(e为自然对数的底数)有两个实数根小,久2,且向<冷，证明：%2-^i<1+；+^

【题型3极值点偏移：乘积型】

【例3】(2024,全国,模拟预测)已知函数/(%)=Q/一Qn%)2(a£R).

(1)当Q=1时,讨论函数/(%)的单调性.

(2)若/(%)有两个极值点第1，%2.

①求实数。的取值范围；

②求证：%1%2>e.

【变式3-1](2024•四川眉山・三模)已知函数/(%)=-一2%.

(1)若过点(1,0)可作曲线y=/(%)两条切线，求a的取值范围；

(2)若/(%)有两个不同极值点第1，%2.

①求a的取值范围；

②当%1>4冷时，证明：%i%2>16e3.

【变式3・2](23・24高二下•重庆•阶段练习)已知函数/(%)=(%+a)R在点4(1,/(1))处的切线斜

率为1.

(1)求实数a的值并求函数/(%)的极值；

(2)若/(%1)=/(%2)，证明：,%2V

【变式3-3](2024•安徽合肥•模拟预测)已知函数f(%)=a(l-21nx)+4x6(aGR).

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若%1，%2(%1。第2)为函数9(%)=攵%2+十一In%的两个零点，求证：(%1%2尸>12e4.

【题型4极值点偏移：商型】

【例4】(2023•全国•模拟预测)已知函数人k)=匕券.

(1)设函数g(x)=e->0),若/'(x)<。(久)恒成立，求k的最小值；

(2)若方程/"(>)=m有两个不相等的实根比1、比2,求证：亮+£<汽瞥・

【变式4-1](23-24高二下•河南平顶山•阶段练习)已知函数/(%)=%2lnx-a(aeR).

(1)若/(%)恰有两个零点，求a的取值范围；

(2)若/(%)的两个零点分别为久i，%2(%1<第2)，求证：+<-|«

【变式4-2](2023・湖北武汉•三模)已知函数/(%)=a%+(a-l)ln%+：,aER.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

(2)若关于久的方程/(%)=xex一In%+[有两个不相等的实数根%1、%

(i)求实数。的取值范围；

exiex22a

(ii)求证:-----1----->-----

X2

【变式4-3](2024•全国•一模)已知——a

(1)若/(%)之0,求实数a的取值范围；

(2)设%1，%2是/(%)的两个零点，求证：①IV」一；®—<%1+%2-

【题型5极值点偏移：平方型】

【例5】(2024•福建南平・模拟预测)已知函数/(%)=嘿，其中e为自然对数的底数.

⑴讨论/(%)的单调性；

(2)若方程f(%)=1有两个不同的根%L第2・

⑴求a的取值范围；

(ii)证明:%?+%2>2.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(久)=5.

⑴求函数八久)在[1,3]上的值域；

2

(2)若方程/(X)=，有两个不相等的解句,％2，且尤1>o,x2>0,求证：a(蜉+%2)>2e.

【变式5-2](2024・四川凉山•二模)已知函数/(%)=%+asin%.

(1)若函数/(久)在R上是增函数，求。的取值范围；

(2)设g(%)=第一■|sinx—In%,若g(%i)=g(%2)(%i。%2)，证明：乒瓦<2.

【变式5・3】(2024嘿龙江哈尔滨・模拟预测)已知函数/(久)=x2lnx-租有两个不同的零点工「如且”蜡+

好.

(1)求实数爪的取值范围；

(2)求证：t<1；

(3)比较t与：及2机+：的大小，并证明.

【题型6极值点偏移：复杂型】

【例6】(2024•四川•一模)已知函数/(%)=a/+%一]n%—a.

(1)若a=L求/(')的最小值；

(2)若/(%)有2个零点X1，%2，证明：+%2尸+(%i+冷)>2.

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=/(qin%有两个极值点％L%2，且%i<%2・

(1)求Q的取值范围；

nx

(2)证明：x1lnx1+x2l2>第1+久2.

【变式6-2](2024•贵州•模拟预测)已知函数/(%)=为e%+i.

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若方程/(%)=4ex+4eln%有两个不相等的实数根巧,％2，证明：%i+刃+ln(xi%2)>2.

【变式6-3](2024•山东•模拟预测)已知函数/(X)=G+a)lnx+：—2,其中aeR.

(1)当a>1时，判断八支)的单调性；

(2)若/(%)存在两个极值点>0).

(i)证明：%2-％1+2>：;

(ii)证明：x6(1,+8)时，f(x)—~2~—2.

【题型7拐点偏移问题】

【例7】(23・24高三下•四川成都・期末)已知函数/(%)=e%—a%2.

(1)当a=l时，求/(%)在％=0处的切线方程；

(2)设函数g(%)=/(%)-sin%,当。=1时，若g(%i)+g(%2)=2(%】W冷)，证明：x1-^-x2<0.

【变式7・1】(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.

设0’0)为函数？(%)的导数，若a为，(%)的极值点，则(a,"(a))为曲线y=0(%)的拐点.

已知函数/(%)=aex一有两个极值点％1，第2，且Q(%o，f(%o))为曲线C：y=/(%)的拐点.

(1)求。的取值范围；

(2)证明：C在。处的切线与其仅有一个公共点;

(3)证明:f'Qo)(二.

【变式7-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=21n%+/+%.

(1)求曲线y=/(%)在点(Lf(l))处的切线方程.

(2)若正实数第1，久2满足/(%1)+/(%2)=4,求证：+%2之2.

【变式7・3】(23-24高二下・贵州贵阳•阶段练习)设厂(%)是函数/(%)的导函数，若，(%)可导，则称函数人(%)

的导函数为/(%)的二阶导函数，记为/〃(%).若/〃(%)有变号零点%二%。，则称点(%o，/(%o))为曲线y=/(%)的“拐

点”.

(1)研究发现，任意三次函数/(%)=ax3+bx2+c%+d(aW0),曲线y=/(%)都有“拐点”，且该“拐点”也是

函数y=/(%)的图象的对称中心.已知函数/(%)=%3+bx2-24%+d的图象的对称中心为(1,3),求函数/(%)

的解析式，并讨论/(%)的单调性；

(2)已知函数g(%)=A-emx-1+1mx3—%2+-^x——l(m>0).

(i)求曲线y=gO)的“拐点”；

(ii)若g(%i)+g(%2)=-2(久iH到)，求证：x1+x2<-.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/'(x)=In久+1-ax有两个零点/,%2，且X1＜乂2，则下列命题正

确的是()

2

A.a>1B.%i+%2<-

1

C.x1-x2<1D.x2—xr>--1

2.(2024•全国•模拟预测)若函数f(%)=aln%+；久2一2%有两个不同的极值点％1，久2，且+%2V

/(%2)-％1恒成立，则实数七的取值范围为()

A.(—8,—5)B.(—8,—5]C.(—8,2—21n2)D.(—8,2—21n2]

3.(2023・吉林通化•模拟预测)已知函数/(%)=(必+2)(炉一3Q%2+份满足：①定义域为R；②gvb<4；

③有且仅有两个不同的零点打，犯，则工+工的取值范围是()

%1X2

A.(-2,-1)B.(-1,-0C.&1)D.(1,2)

2

4.(2024•辽宁•三模)已知函数/'(X)=lnx+^x-ax存在两个极值点，若对任意满足/(打)=/(%2)=/(x3)

的%VX2V第3)，均有f(e*i)</(e*2)V/(e%3),则实数a的取值范围为()

A.(1间B.弓,2+2]

VeVe

7171

C-维，1+3D-峰，2+/

5.(2023,四川南充•一模)已知函数/(%)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同的零点;q,到(%1V%2)，

下列关于打，血的说法正确的有()个

mo

①工<e2m②久1>③ey<x<---④％i%2>1

xim+223—m

A.1B.2C.3D.4

6.(2023•全国•模拟预测)已知函数f(%)=ex—7n"有两个极值点％「冷(。<%iV%2)，函数g(%)=xlnx—

蠢％2一%有两个极值点均，％4(。〈久3<%4)，设时=言+导贝1J()

12+l

A.0<M<-B.0<M<e—

ee

e2+l

C.M>—D.M>e

e

7.(2023・四川成都•一■模)已知函数/(%)=(ln%)2+2%2有三个零点％］、冷、冷且％则

胆+%+g的取值范围是（）

XlX213

A.（-±，0）B.（-。0）C.D.（-;）0）

8.（2023•四川南充•一■模）已知函数/（%）=|lnx-|+2|-m（0<m<3）有两个不同的零点式「冷（％1<%2），

下列关于第1，犯的说法正确的有（）个

<e2m②%1>二—③%i%2>1

xim+2

A.0B.1C.2D.3

二、多选题

9.（2024・贵州毕节•二模）已知函数f（%）=%e-%,方程/（%）=Q有两个不等实数根久力冷，则下列选项正确

的有（）

A./（%）<,B.a的取值范围是（一8,J

InX1lnX2

C.-=1D.x±+x2>2

Xl-X2”

13

10.（2024•山西太原•三模）已知％是函数/（%）=%+mx+n（m<0）的极值点，若/（电）=/（x1）（%1H不），

则下列结论正确的是（）

A./（%）的对称中心为（0,几）B.7（->/（%i）

C.2勺+牝=0D.jq+久2>0

11.（23・24高二上•湖北武汉•期中）已知函数f（%）=与y=a有两个不同的交点，交点坐标分别为

（%1，为），（%2，、2）（%1<%2），下列说法正确的有（）

A./（%）在（0,1）上单调递减，在（L+8）上单调递增

B.a的取值范围为（一1,0]

C.x2—%i>ae+e

i

D.%2—<2a+eH—

三、填空题

x