极化恒等式与等和（高）线定理-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】.................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................5

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................8

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】.............................................II

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

（1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

|Z+R「+|力2（内2+㈤2）.

证明：不妨设4B=a,AD=石,贝！J/C=Q+B,DB=a-b,

I>|2►2/—»—\2LP—»—

\AC\=AC=（a+6）=a+2a-b+斤①,

同=齿=（力）2叩+同2②,

①②两式相加得：

就『+丽『=2忖2+麻卜成时+时

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：a4=i[p+s）2-（a-s）2]-------极化恒等式

平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的’.

4

（1）平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的L即：.刃=斗伍+盯一伍-同[（如图）.

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即

------>------->-------->2-------->2

AB-=儿©一出为3c的中点X如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若苏=/次+〃而（2,〃GR）,

则%+〃=1,由4OAB与/XOA'B'相似，必存在一个常数k,k^R,使得OP'=kOP,则

OP'—kOP—kXOA+k/LtOB,又。P=无0/+(x,yGR),.'.x+y=kX+k/n=k-,反之也成立.

（2）平面内一个基底｛53,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//OSa,/zeR）,若点P在直线AS上或在

平行于的直线上，则4+〃=网定值）；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和（高）

线.

①当等和线恰为直线N3时，Q1；

②当等和线在。点和直线Z8之间时，左e（O,l）；

③当直线N3在。点和等和线之间时，左e（l,+8）；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值后1,左2互为相反数;

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】（2024•贵州毕节・三模）如图，在△ABC中，。是BC边的中点，E,尸是线段4D的两个三等分点,

若瓦=BE-CE=2,则前•方=（）

【解题思路】利用几何关系将瓦而,而，在均用品,而表示出来，进而将瓦？•京,乔•亦表示成与丽，品

相关，可以求出仍2=1,阮2=8,同时丽，亦的数量积也可用配表示，即可求出结果.

【解答过程】依题意，D是BC边的中点，E,尸是线段4D的两个三等分点,

则丽•CA=Qpc-沏）.（-河-葩）二竺=刎7°2=7,

BE-CE=（-BC--AD'）■（--BC--AD）=-AD2--BC2=L-BC，=

\23/\23/944

因此而2=1,阮2=8,BF-CF^gfiC_厢）.（_：阮—而）=土产==-1.

故选：B.

【变式1-1］（23-24高三上•福建厦门・期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO,

则而•丽=（）

4

AA.——3C.-iD.

449

【解题思路】根据题意，得到丽•朋=-(岳+赤)•(施-左)，进行求解即可.

【解答过程】因为圆半径为1BC是直径，BF=2F0,

所以|函=5，

根据向量加法和减法法则知：FD^OD-OF,FE^OE-OF；

又OE是直径，所以砺=一OE,\OD\=\0E\=1,

则而-7E=(OD-OF)■(OE-OF)=Q-OE-OF)■(OE-OF)

=-(OE+0F)■(OE-OF)=|OF|2-|OF|2=|-1=-1

故选B.

【变式1-2](2024高三・江苏•专题练习)如图，在平面四边形48CD中，。为8。的中点，且。/=3,OC

=5.若存•通=—7,则阮•玩的值是9.

【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用福•丽=(而+砒)・(而+前)，求出[0面=

|前|=4,再利用阮•配=(前+觉)•(前+沆)，运算可求出结果.

【解答过程】在平面四边形4BCD中，。为2。的中点，且。4=3,0C=5,.•・■+前=6,

若前•而=一7,

贝1J西+瓯)•(而+前)=协+初苑+布•加+酒前=AO2+OA-(OD+OB)-OB2=32-

OB2=-7,

OB2=16,\OB\=\OD\=4,

：.BC-DC(BO+0C)■(DO+OC)^=BO-W+BOOC+OD-OC+OC2-BO2+OC-(BO+OD)+

OC2=-42+0+52=9.

故答案为：9.

【变式1-3](23-24高二下•湖南长沙•开学考试)如图，在平行四边形/BCD中，AB=1,4D=2,点E,

F,G,X分别是/£BC,CD,4D边上的中点，则前•丽+■•7而等于_|.

【解题思路】在平行四边形/BCD中，取HF的中点O,根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算

求解.

【解答过程】如图：

在平行四边形/BCD中，取HF的中点。，

则而-FG^EF-EH^（E0+0F）-（E0+0W）=的_丽2=1_d’在砧=丽.乔=（前+

077）•（GO+OF）==GO2-OH2=1-（1）2=

则丽•FG+GH-RE=I，

故答案为：*

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三・全国・专题练习）半径为2的圆。上有三点4B、C满足D1+通+就=6,点P是圆内

一点，则同•附+而•玩的取值范围为（）

A.[—4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【解题思路】设。4与BC交于点。，由D1+荏+前=6得四边形0B4C是菱形，。是对角线中点，

同，厢，两，定用前和其他向量表示并计算数量积后可得同-PO+PB-PC=2|PD|2-4,由点与的位置关系

可得|PD|的取值范围，得结论.

【解答过程】如图，。4与8C交于点£）,由/+而+前=。得：OB+AC=0,

A

所以四边形。BAC是菱形，且。4=。8=2,则4。=。。=1,BD=DC=瓜

由图知两=两+9，PC^PD+DC,而诙=一配，

：.PB-PC=PD2-DB2=\PD\2—\DB\2=\PD\2-3,

同理同=丽+3号PO^PD+D0,而m=一前，

J.PA-PO=PD2-DO2=\PD\2-|D0|2=\PD\2-1,

：.PA-PO+PB-PC=2\PD\2-4,

•.•点P是圆内一点，则OS|而|<3,：.-4<PA-PO+PB-PC<14,

故选：A.

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通•期中）正三角形力BC的边长为3,点。在边AB上，且丽=2瓦5,三

角形力BC的外接圆的一条弦MN过点。，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，丽•丽的取值范围

是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【解题思路】设。为△力BC外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN=2&,再由极化恒等式推

出丽.前=而2一3丽2,于是问题转化为求|丽|的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可

得解.

【解答过程】解：设。为△48C外接圆的圆心，

因为前=2瓦5,所以。D=（AC=1,

当弦MN的长度最短时，MNLOD,

在△ABC中，由正弦定理知，外接圆半径R=百，即。用=百，

2sinC2

所以MN=2MD=270M2-OD2=2j(V3)2-I2=2近,

因为（两+前）2=（PM-丽）2+4PM-PN,即（2万）2=~NM2+4PM-丽，

所以两.前=而2_[丽2=而2—[.（2或『=而2―2,

因为点P为线段BC上的动点，

所以当点P与点Q重合（DQLBC）时，I而Imin=\DQ\=|BD|sin60°=2Xy=V3；

当点P与点C重合时，|而Imax=\CD\,

在△BCD中，由余弦定理知，

\CD\2=\BC\2+\BD\2-2\BC\■\BD\cosz.ABC=9+4-2x3x2xg=7,

所以I而lmax=ICDI=夕，

综上，I而Ie[V3,V7],

所以两•前=而2-2e[1,5].

【变式2-2](2024・重庆•模拟预测)已知△O4B的面积为1,AB=2,动点P,Q在线段4B上滑动，且|PQ|=1,

则加­丽的最小值为

【解题思路】根据题意，记线段PQ的中点为“，由Sa。"=1且力B=2,可得点。到直线力B的距离为d=1,

由京-OQ=\[(OP+OQ)2-(OP-的沟,根据向量的运算代入求解即可.

【解答过程】记线段PQ的中点为H,点。到直线力B的距离为d,

则有SM4B=(48•d=1,解得d=1,

由极化恒等式可得：

1______

OP-OQ=-[(OP+所产-(OP-丽

4

=OH2-PH2=OH2-->d2

444

故答案为：

4

【变式2・3］（23・24高三上•上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中ZBCD中，乙DAB=3点、P

是4D所在直线上的一个动点，则丽2+而2一厢.玩的最小值为,遍_.

【解题思路】取BC的中点Q,连接PQ,利用极化恒等式可得而2+玩2_丽.而=|图2+力园2,

结合基本不等式与四边形面积可得最小值.

【解答过程】取BC的中点Q,连接PQ,则

PB+~PC=2PQ,而同=［［（而+丽）2—（而—丽）2］=［（4国函2）,

A而2+而2_丽.玩=（两+硝2_3而.丽=4附2T4西2T词2）,

232A/3

=\PQ\+y\BC\>2\PQ\--\BC\=yf3\PQ\\BC\>yf3S=2V3

4LABCD

当且仅当|PQ|=?|BC|且PQ1BC时取等号，

故答案为：2班.

【例3】（2024・四川成都・模拟预测）如图，在平行四边形4BCD中,BE=：BC,DF=沙日若方+〃通,

【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】在平行四边形ZBCD中，BE=§BC,DF=：DE,

所以而=AD+DF=AD+1OE=AD+^（DC+CE）

^AD+l（AB-［珂=^AB+^AD,

若而=AAB+[1AD,则;I=〃=贝I]%+〃=三.

42

故选：A.

【变式3-1]（2023•河北沧州•模拟预测）在△力BC中，屁=g丽，丽=：（育+就），点P为4E与BF的交点，

AP=AAB+iiAC,则％+“=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【解题思路】利用平面向量基本定理得到而=（1-忆）荏+J而，而=如前十|也荏，从而列出方程组,

求出々，血，得到2=]〃=；，求出答案.

L4

【解答过程】因为而：=（（瓦5+阮），所以F为4C中点，

B,P,尸三点共线，故可设加=左衣，即彳？一同=-彳瓦），

整理得衣=fc^F+（1-k）AB=（1-k~）AB+^kAC,

因为丽=；就，所以版一屈=；而_；版，即荏=：前+|屈，

4,P,E三点共线，

可得而=mAE=mQxC+1万）=^mAC+^mAB,

（2mj（1

—=14—fck7=-

所以13.i,解得｛\,

—=-km=-

I32I4

可得ZP=;AB则4=）〃=；,4+〃=:.

24244

故选：D.

【变式3-2]（23-24高一上•江苏常州•期末）在平行四边形ZBCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，

且CF=2DF.若就=4荏+“荏，4,〃均为实数，则4+〃的值为

【解题思路】设荏=五,四=无结合几何性质用瓦方表示荏，都，结合已知条件，构造方程组，即可求解儿〃

的值，即可求解.

【解答过程】解：设四=反而=及

•.•在平行四边形4BCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF,

.**AE=a+万b,AF=,a+b,

VXC=XAE+nAF,均为实数，AC=a+b,

**.AC——a+b——40+—b')+〃(弓a+b),

4+2=142

G3,解得：2=E，“=F

-+u-l55

2尸

A+/I=—.

【变式3-3］（23-24高一上・江苏苏州・期末）如图，在矩形A8CD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

MN=+左前，八左6R，则儿i+&的值为—.

【解题思路】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】因为M,N分别为线段BC,CD的中点，

所以丽=jfiD=^(AD-~AB)=^AD-^AB,

---»>--->--->1---»

AM=ABBM=AB+-AD,

2，

--->>>>1--->

BN=BC+CN=AD--AB,

2，

所以丽=小宿+42前=AiCXB+jZD)+A2(Z5-|XB)

=(A1-1A2)^+(iA1+22)>lD,

2=-1及=--

所以｛12A解得｛3，

-^1+A2=-A=-

2222z5

所以2]+A2=—+1=|>

所以41+%2的值为

故答案为：

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

【例4】（2024・山东烟台・三模）如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若万=%南+

yAC,则2K+2y的最大值为（）

84

A.-B.2C.-D.1

33

【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【解答过程】

作8c的平行线与圆相交于点尸，与直线N8相交于点£,与直线2C相交于点凡

设都=4族+〃衣，贝奴+〃=1,

VBC//EF,二设有=煞=%则ke[0,1]

'.AE=kAB,AF—kAC,AP-XAE+[1AF—XkAB+pkAC

x=Ak,y=

2x+2y=2(2+〃)fc=2/c<|

故选：A.

【变式4-1]（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2,点尸是区域力BCD内

任意一点（含边界），且丽=4同+〃前贝1U+〃的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,刀C.[0,3]D.[0,4]

【解题思路】根据题意，将图形特殊化，设4。垂直平分BC于点。，的。。=2AO,当点P与点4重合和点P

与点。重合时，分别求得4+〃的最值，即可求解.

【解答过程】根据题意，将图形特殊化，设4D垂直平分BC于点。，

因为△BCD与△A8C的面积之比为2,贝!）。。=24。，

当点P与点4重合时，可得Q=6,此时4=〃=0,即4+〃的最小值为0；

当点P与点n重合时，可得说=3AO=3X=^AB+|XC,

此时a=〃=|,即4+〃，此时为最大值为3,

所以4+〃的取值范围为[0,3].

【变式4-2]（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）在△4BC中，M为8c边上任意一点，N为线段上任

意一点，若前=4屈+"?（A,〃€R）,则4+〃的取值范围是」QJJ-.

【解题思路】根据题意，设前=tAM,然后分t=。与0<tW1讨论，结合三点共线定理代入计算，即可

得到结果.

【解答过程】

A

N

B，--------1-------"C

由题意，设前=t俞，(0<t<1),

当t=0时，AN=0,所以4同+4m=d,

所以a=〃=o,从而有a+〃=o；

当0<tW1时，因为前=XAB+[1AC(A,〃€R),

所以t俞=2同+〃前，即宿=:屈+%前，

因为“、B、C三点共线，所以：+”1,即4+4=te(0,1].

综上，4+〃的取值范围是[0,1].

故答案为：[0,1].

【变式4-3](23-24高一下•广西桂林•期末)已知。为△48C内一点，且4OA+8OB+5OC=0,点用在^OBC

内(不含边界)，若前=4胡+〃福贝IM+〃的取值范围是

【解题思路】设而=mAB+nAC,根据题意结合平面向量基本定理可得而=^AB+福芯,设3祈=xOB+

0<x+y<1__

y而，且%>0,整理可得前=偌+白—荏+信—Q+*)露进而可得结果.

,y>0

【解答过程】设而=巾荏+n而,m,neR,即瓦？=一同=一小四一n前，

可得费=OA+AB=dl-m\AB-nAC.OC=OA+AC=-mAB+(1-n)AC,

因为4OA+BOB+5OC=0,

即4(-mXB-nZc)+8[(1-m)AB-nAC]+5[-mAB+(1-n)AC]=0,

整理可得(8-17m)AB+(5-17n)XC-0,且同，前不共线，

or

则8—17m=5—17n=0,解得?n=石，九二不，

即而=且四+$而，OB=—AB-—AC,OC=--AB+—AC,

171717171717

0<%+y<1

又因为点M在△OBC内(不含边界)，设丽=x^+y而,x,yeR,且，x>0,

、y>0

可得而=d-刃)屈+(-/+||y)丽

则祠=而+丽=偌+3一Q）屈+信一*+抄）前,

2=-A--x--

可得《Y112'可得，+〃="+・(%+办

a=-----x4——y

广171717z

且0<x+y<l,可得2+〃=^|+*(x+y)€

所以4+〃的取值范围是借,1）.

故答案为：偌,1）.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•四川绵阳三模）如图，在△力BC中，AF=BF=6,EF=5,则丽•丽=（）

C.-15D.15

【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.

2

【解答过程】因为方工=（呼）2f~a-b

\2J

K22_>_>

=丽2_护=25_36=-11.

故选：A.

2.（2024•陕西西安•一模）在△A8C中，点。是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且加=Q=|南+

AAC,则2=()

A-IB-1C|D-i

【解题思路】依题意可得前=2AD,即可得到Q=lAB+2%而，再根据平面向量共线定理的推论得到：+

2/1=1,解得即可.

【解答过程】因为而=百，所以而=3而，即前=2而,

又族=(屈+4前，所以而=(荏+24而，

因为点P是线段BD上一点，即8、P、。三点共线,

所以；+24=1,解得2=之

36

故选：A.

3.(2024高三•全国•专题练习)在△ABC中，。是BC边上的中点，且版=g前，AF=2AE,AB-AC6,

丽•元=-2,则丽•阮=()

1

A.-1B.2C.--D.1

2

【解题思路】

利用向量的线性运算及向量的数量的运算律即可求解.

【解答过程】

ABAC=(AD+DB)■(AD-DB)=|可?-网?=6)

同理可得而-FC=|FD|2-|DB|2=-2,

又族=1而，AF=2AE,

所以府(=9]丽2,所以同『=],国『=3,

222

丽•阮=|£7)|-网2=4|FD|-\DB\=4x1-3=1.

故选：D.

4.(2024•陕西榆林•三模)在△4BC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边A8上任意一点，力E与CD交于点P,

若而=xCA+yCB,则3x+4y=()

33

A.-B.--C.3D.-3

44

【解题思路】利用向量的线性运算，得而=丽+丽=兄1+弓-而，再利用平面向量基本定理，可

得X=t,y=J—9,然后就可得到结果.

44

【解答过程】•；4P、E三点共线，设丽=tEACO<t<1),

则而=CE+~EP=+tEA=+t(TA-=tCA+,

又•.•丽=万方+丫而，所以x==：—即3x+4y=3.

故选：C.

5.(23-24高三下•湖南长沙•阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a-b=3(|前|就『)，我们称为极化恒等式.已

知在△力BC中，M是8C中点，AM=3,8c=10,则荏•前=()

A.-16B.16C.-8D.8

【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，前=g而,利用已知条件求解即可.

【解答过程】由题设，△4BC可以补形为平行四边形力BDC,

由己知得|俞|=3,|BC|=10,AB-ACi(4|AM|2-|BC|2)=[x(36-100)=-16.

故选：A.

6.(2024•全国•模拟预测)如图，在△ABC中，AN=tNCQt>0),BP=>0),若万=，左一;灰,

则4+t的值为()

【解题思路】表达出而，利用平面向量基本定理求出尢t,即可求出/l+t的值.

【解答过程】由题意及图可得，

'：BP=APN,

.・•利希+前=荏+言前=荏+言(-屈+前)=碧+薯

VA/V=tNC(t>0),

：.AN=—ACjP=普+--AC.

t+11+A(l+t)(l+2)

\'AP^-AC--BC^-AC--(-AB+AC'}--AB+-AC,

444八J42

••^=?解得：4=3,t=2,4+"5，

故选：C.

7.(23-24高三上•山东潍坊・期末)已知正方形/8CO的边长为2,九W是它的内切圆的一条弦，点尸为正

方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，两•西的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

【解题思路】作出图形，考虑p是线段48上的任意一点，可得出|司Ie[1,g,以及由=前+南，西=

PO-OM,然后利用平面向量数量积的运算律可求得PM-两的取值范围.

【解答过程】如下图所示：

考虑P是线段4B上的任意一点，PM^PO+OM,PN^PO+ON-PO-OM,

圆。的半径长为1,由于P是线段力B上的任意一点，^|PO|e[1,V2],

所以，PM-PN=(PO+OM)■(PO-W)=P02-OM26[0,1].

故选：A.

8.(2024•河北沧州・三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若前=4四+〃而，则2+〃的最大值为()

3

c-

D.2

【解题思路】过点M作MP〃BC,设/P=kAB,AQ=kAC,得到前=(fcx-V)AB+kyAC,再由前=XAB+

〃而，求得2+〃=k一1,结合圆的性质，当PM与半圆相切时，k最大,分别求得的长，即可求解.

【解答过程】如图所示，过点M作MP〃BC,交直线于点P,Q,

设丽？=xAP+yAQ,可得％+y=1.

设族=kAB,AQ=kAC,则前=AM-AB=(^kx-1)荏+kyAC,

因为—A,AB+[1ACj所以2+〃=kx—1+ky—k—1,

由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大,

又由力B=2,BE=-^=—,可得4E=2+苑="逋，

sin-333

所以k=若=片与即女最大为之真所以4+〃的最大值为日

AD33□

故选：B.

二、多选题

9.(23-24高一下•江苏南京•期中)在△力BC中，点。是线段BC上任意一点，点M是线段4D的中点，若存在

2,/zeR使的=2卷+fiAC,则尢〃的取值可能是()

313

A.A”=而B.4=1,〃=--

92c]73

A=--，n=-D.A=---,u=-

C.10T5

【解题思路】令丽=小前且me[0,1],根据向量对应线段的位置、数量关系用荏，前表示的，进而得到

机与尢4关系，最后求九〃范围和数量关系，即可得答案.

【解答过程】令丽=m或且me[0,1],而前=[（瓦5+前）=^（BA+mBC）,

又前=BA+AC,则前=|[BX+m（BA+AC）]=-詈同+yXC,

h=_业

所以1m，贝！〃e[0,g]且4+〃=一|>

故A、C满足，B、D不满足.

故选：AC.

10.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图，正方形A8CD中，E为力B中点，M为线段AD上的动点，若前=

ABE+fiBD,则4+〃的值可以是（）

【解题思路】设前=k而，其中OWkWl,利用平面向量的线性运算可得出『二2（1jk）,求出;t+A

的取值范围，即可得出合适的选项.

【解答过程】因为M在线段4。上，设前=k同，其中OWkWl,则前一或=k（前一瓦5）,

所以，W=（1-k）BA+kBD,

因为E为BA的中点，则瓦？=2丽，所以，~BM=2（1-k）BE+kBD,

又因为前=4场+〃前且旗、而不共线，则｛'=：?[幻，

所以，4+〃=2（1—fc）+/c=2—fc€[1,2],故ACD选项满足条件.

故选：ACD.

11.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）（多选）如图，在四边形力BCD中，48=60。，AB=3,BC=6,

且而=GR）,而•丽=一永贝1J（)

B.实数2的值为:

6

C.四边形2BCD是梯形D.若M,N是线段BC上的动点，且|说|=1,则丽•丽的

最小值为葭

【解题思路】利用数量积的定义，结合已知条件，计算判断AB；取4=1说明判断C；取MN的中点E,利

用数量积的运算律建立函数关系并求出最小值.

【解答过程】对于A,AB-BC^|XB||BC|cosl200=3x6x（-9,A错误；

对于B,由而=4阮，得AD〃BC,乙4=120。，此时2>0,

AD-AB\AD\\AB\cosA=3|ZD|COS120°则|前|=1=工|就|,即2=工，B正确；

266

11—

对于C,由选项B得=即有4D〃BC,4D<BC,则四边形48CD是梯形，C正确；

对于D,取MN的中点E,连接DE,则丽•丽=（历+前）•（历+丽）

=~DE2-EM2=DE2-由力。〃BC,得点D到直线BC距离等于点力到直线BC距离力Bsin60。=吟

即|尻|min="，所以丽•丽的最小值为（停>一：=D正确.

LL4Z

三、填空题

12.（2024・新疆・二模）在等腰梯形力BCD中，屈=2DC,点E是线段BC的中点，若族=AAB+fiAD,则4+〃=

5

~4~,

【解题思路】

连接CF,依题意可得口AFC。,利用平面向量基本定理，将获用荏和同表示出来即得.

【解答过程】

如图，取48的中点F,连接CF,则由题意可得CFIIAD,且CF=力》

■■■AE=AB+BE=AB+=AB+1(FC-FB)=AB+^(AID-=^AB+^AD,

31S

..•"二『〃=5"+〃=7

故答案为：J.

4

13X23-24高一下•黑龙江大庆•期末)如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是40上的两个三等分点瓦=

5,~BF-CF=-2,则丽・屈的值是

【解题思路】将反5,而,前，汴均用阮,而表示出来，进而将瓦？•仁？,丽•疗表示成与丽，阮相关，可以求

出师2=：,阮2=富，同时踮•在可用胡，阮表示，即可求出结果.

82

【解答过程】因为明•■=(-BC-AD)■(-工阮=4赤-痔=36而2-痔=5,

2244

!，B(：2

BF-CF=(-BC--AD)■(--BC--AD)=^-=_2,

23234

因此前2=2阮2=至BE-CE^(-BC-ED)•(--BC-ED)=，*痔=团二痔=3

8222448

故答案为：

O

14.(23-24高三・广东阳江•阶段练习)在面积为2的平行四边形力BCD中，点P为直线AD上的动点，则两•PC+

阮2的最小值是2V3..

【解题思路】根据向量的数量积运算律，可得丽・同+阮2=92+：品2,进而根据基本不等式即可求解

最值.

【解答过程】取BC的中点Q,连接PQ,

因为平行四边形4BCD,面积为2,所以|用||阮|22,PC+PB=2PQ,PB-PC[(PC+PB)2-(PC-

两)],

.■.PB-PC+BC2=[(PC+PB)2-(PC-PB)2]+BC2=PQ2+^BC2>2^PQ2-BC2>2V3,止匕时而_L

BC,且园=争园，

故答案为:2g.

四、解答题

15.(23-24高一下•甘肃白银•阶段练习)如图，在平行四边形ZBCD中，4c与8D相交于点。.E是线段。£»

的中点，AE的延长线与CD交于点F.

(1)用前，前方表示荏；

⑵若而=4南+〃而，求4+〃的值.

【解题思路】(1)根据平面向量的线性运算即可得解;

(2)由三角形相似得说=(荏，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解.

【解答过程】(1)由题意得，ED=：BD,

4

TTfT-*TTTTT

所以4E=AD+DE^AD+-DB^AD+-(AB-AD)=-AB+-AD；

44',44

(2)如图，因为DC〃4B,

所以DF〃/IB,

所以△DEF与△BEA相似，

所以火="=工

“^ABBE3'

所以方=1万，

所以而=AD+DF=AD+^AB,

因为而=XAB+liAD,

所以2=：,〃=1,

27

16.(23-24高一下•江苏苏州•期中)阅读一下一段文字：值+万)=a2+2a-b+b2,(a-b)=a2-2a-b+

b2,两式相减得①+万>一g_5)2=4五石nH石=：［(a+b)2-(a-b)2］我们把这个等式称作“极化恒等

式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下

问题：如图，在△45C中，。是8C的中点，E,尸是上的两个三等分点.

(1)若/。=6,BC=4,求都•衣的值；

⑵若费•就=4,FB-FC=-1,求丽•品的值.

【解题思路】(1)根据“极化恒等式”列出式子计算即可

(2)设力。-3m,BC=2n(m>0,n>0),根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于的方程组,

解出,再根据“极化恒等式”计算出丽•前的值

【解答过程】(1)AB-AC=i[(AB+AC)2-(AB-AC)2]-AD2-^CB2=36-4=32

(2)设AD=3m,BC—2n(m>0,n>0)

■■■AB-AC=4,由(1)知而2一工,2=4,即97n2一"=4①

4

•.•厢•定=—1,同理可得防2—工商2=_1,即1n2_层=_1②

4

由①②解得巾2

OO

EB-EC=ED2--BC2=4m2一层=空一身=乙

4888

17.(23-24高一上•辽宁大连•期末)在三角形4BC中，AB=a,AC=b,~BE=2EC,。为线段AC上任意一

点，BD交4E于0.

①用1表示荏；

②若前=4荏，求4的值；

(2)若前^xBA+yBC,求真+士的最小值.

【解题思路】(1)①利用向量的几何运算求解；②设团=t丽(o<t<i),然后用四，芯表示而，然通

过而=4荏，将而也用荏，而表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；

(2)设而=巾荏(0<m<1),将初用瓦?，就表示，然后利用系数对应相等将x,y用小表示，然后利用基

本不等式求最值.

【解答过程】(1)①因为配=2前，所以布=：前，

故在△力BE中，AE^AB+^E^AB+-BC^AB+-(AC-AB^^AB--AB+-AC=-AB+-AC^-a+

33、733333

沙2—

②因为B,0,。三点共线，设丽=用5(0<1<1),

所以同=AB+BO=AB+tBD=AB+t(AD-荏)=(1-t)AB+tAD,

因为而=2万]，所以而=(前，所以而=(l—t)南+：前

3

又由①及已知，而=4族=5说+?而，所以|「7,1

33£_:

、3-3

解