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文档简介
广东省清远市2025届高三上学期教学质量检测(一)数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.若集合/=,S=p|x-l<|j,则/口2=()
a
-卜如噂b-{xlo<x4}c-[KD.0
-5+i
2.已知i是虚数单位,若i-2=上二,则复数z的虚部为()
i
A.4B.2C.-2D.-4
3.已知向量2=(2,3)3=化—4),且万1B,则左的值为()
8
A.—6B.6C.—
3
4.函数/(X)=X+/y在区间(1,+OO)上的最小值为()
X—1
A.2B.3C.4D.5
5.下列函数中,是偶函数且在(0,+")上单调递增的是()
A./(X)=-X2+3B./(x)=lg|x|C./(x)=sinxD.f(x)=x3
6.设函数/(叼="+,在区间(2,3)上单调递减,则正数。的取值范围为()
ax
C.(2,3)D.[2,3]
兀3兀71
7.记函数/(x)=Jl+sinx+Jl-sinx,设ac,甲:,?r乙:/(tz)=2siny,
25Tae2
则甲是乙的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不
充分也不必要条件
8.已知a=2e-b=阴,0=普|,则(
Igelg8
A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a
二、多选题
试卷第1页,共4页
9.已知函数〃x)=3sin[2x+]J,下列说法正确的是()
A.函数/("的最小正周期是兀
B.把函数[(X)的图象向右平移1个单位长度可得到函数g(x)=3sin2x的图象
C.函数/(x)的图象关于点,己,0)中心对称
D.函数/(x)的图象在区间需)上单调递增
10.现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据网,超,项,…户39,尤40,下列说法正确的是()
A.Xi,%,马,…,》39,*40的下四分位数为X]o
55s
B.Xj,x25-^3",*^19*^205,^21的中位数为
C.X1/2,X3,…,X19,%20的平均数小于尤21,*22'*23,…>-^39>-^40的平均数
D.2X1+3,2%+3,2X]+3,•••,2x40+3的方差是否,乙,%…,,广皿的方差的4倍.
11.设/(X)与其导函数/'(X)的定义域均为R,g(x)=/'(x),若〃3x)=〃2—3x),g(x-2)
的图象关于x=l对称,g(x)在上单调递减,且g⑺=3,则()
A.g(x-l)为偶函数B.g(x+l)的图象关于原点对称
C.g(2041)=3D.g(x)的极小值为3
三、填空题
12.林市高三年级1万名男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,5),则身
高超过180cm的男生约有人.(参考数据:尸(〃-b4X4〃+b)a0.682,
P[/j-2a<X<〃+2cr)a0.954,尸(〃一3crWXW〃+3tz)q0.997)
13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,当xNO时,f(x)=x(l+x),则
/(-3)=;当x<0时,f(x)=.
14.已知函数/'(力=2$皿0》+?)(①>0,£<。<0)相邻两条对称轴之间的距离为三,且
试卷第2页,共4页
(胃=夜,则/⑺在[0,2K]上的零点个数为.
四、解答题
3
15.在V48C中,角48,C所对的边分别为a,6,c.EL知cos/=—,a=4,6sin8=5sinC.
4
⑴求6的值;
(2)求V/BC的面积.
16.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5,现有〃门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当〃=5时,求给好击中目标2次的概率(精确到0.01);
⑵如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要多少门大炮?(lg2«0.301)
17.如图,在直四棱柱中,底面4BCQ为矩形,=6,48=4,/。=2.点
9
E,RG分别在棱44,耳G,耳8上,=3,8G=5.
(1)若用尸=g,证明:平面NCR〃平面EFG;
⑵若用尸=1,求直线/尸与平面NCR所成角的正弦值.
18.己知函数/卜)=》3+岳:2-》+。图象的对称中心为(0,1).
(1)求。和6的值;
⑵若对于任意的x>0,都有/(力+62,-2蛆》尤3_苫+2恒成立.求实数机的取值范围.
22/T
19.已知椭圆C:二+4-l(a>6>())的离心率为",短轴长为2,过圆心在原点,半径为
aa2
石的圆。上一动点P作椭圆C的两条切线尸4P5,切点分别为A,B,延长尸N与圆交于另
一点、M,延长心与圆交于另一点N.
⑴求椭圆C的标准方程;
(2)假设向量部的夹角为9,定义:依同=同卡「出火
试卷第3页,共4页
⑴证明:|而X而卜0;
(ii)求|03x砺|的取值范围.
试卷第4页,共4页
参考答案:
题号12345678910
答案CDBDBAACACDBCD
题号11
答案AB
1.C
【分析】通过解含绝对值的不等式得出集合5,再由集合交集的定义得出结果.
【详解】因为3==1六1T31,又八x0<x<;
X
故选:C.
2.D
【分析】由复数的四则运算及虚部概念即可求解
【详解】由题得j_z=(5+)(T)=]+5i,z=_]_4i.
-1
所以复数Z的虚部为-4.
故选:D.
3.B
【分析】由向量垂直坐标公式可得答案
【详解】由5得5=0=2左一12=0=左=6.
故选:B.
4.D
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由于x〉l,所以%—
44I4―
故/(X)=XH------=x-l-\--------F1>2J(x-l)-------+1=5'
X1X1yX1
4
当且仅当=—,即x=3时取等号,故函数的最小值为5.
X-1
故选:D.
5.B
【分析】先根据奇函数排除C,D,再根据二次函数得出单调性判断A,最后应用偶函数定义及
对数函数单调性判断B.
【详解】由题可知C、D是奇函数,故排除;
答案第1页,共13页
对于选项A,图像是开口向下的抛物线,在(0,+8)上单调递减,故排除;
对于选项B,/(-x)=lg|-Jr|=lg|x|=/(x),所以函数/(x)=lg国在定义域内是偶函数,
当x>0时,/(力=回闻=1改,/卜)在(0,+8)上单调递增,
故选:B.
6.A
【分析】利用导数求出函数的单调区间,结合题意即可求.
【详解】由/(x)=ax+,得/(x)=a-3(<7X+l)(t7X-l)
axaxaxax'
因为%>0,。>0,所以QX〉0,tzx+1>0,
由/'(x)>0解得箸>工,
a
由/'(无)<o解得O<X<L
a
所以/'(X)在(0,£|上单调递减,在B,+:|上单调递增,
因为函数/口)="+,在区间(2,3)上单调递减,
ax
故3VL解得
a3
故选:A
7.A
【分析】利用三角恒等变换公式化简/(c),判断甲乙命题之间的逻辑推理关系,即可得答
案.
【详解】由题得,乙:
.a2a.aa\-2a->a.aa
f(cz)=Jl+sine+Jl-sine=./sin2—Fcos—F2sin—cos—F/sin—cos2sin—cos—
V2222V42222
.aci\.a&
sin—+cos—+sin--cos--
24I2i
s,兀,,a7i7i.aa.aa„
因m为甲m:aG—,7i,故一£—,所以sm—+cos—>0,sm-----cos—>0,
_2」2|_42」2222
所以f(a)=sin—+cos—+sin--cos—=2sin—,故甲是乙的充分条件;
v722222
答案第2页,共13页
,,..7兀.71兀V6+V2a7兀兀71A/2—y/b
故sin—=sin——=sm—+—cos—=cos——=cos—+—
212344212344
品.aa5/2c.aa员>0,
改sm——Feos-=---->0,sin—cos—=
222222
L(
,R\.cccc.acc_.a‘L,7K71
故/(a=sin—+cos—+sm-----cos—=2sm—,-,
')22222612」
因此甲不是乙的必要条件,因此甲是乙的充分不必要条件,
故选:A.
8.C
0Irip91Tl4ITIY
【分析】根据题意,化简得到。=",6=手,构造函数/'a)=V>xNe,利用导数求
e4x
得/(X)在[e,+8)上单调递减,得到a>b,再由log3Jln64-ln29
>0,得到,即可
121n2
求解.
22Inelg21c21n221n4
【详解】由指数幕与对数的运算法则,可得。=一=——,b==ln2=------=-----
eeIge24
my1-lux
构造函数/(x)=「px2e,则/''(x)=«0在[e,+8)上恒成立,
x2
所以〃x)=7在[e,+⑹上单调递减,所以故书>誓,即a>b,
lg63ln6341n6-91n2In64-ln29
又由。=--=log6,而log6—
lg88&8431n24121n2121n2
其中64=1296且29=512,所以皿64-ln293
一〉0,即log86>“
121n2
因为M弋>1,所以消,所以…,所以—
故选:C.
9.ACD
【分析】对于A,由周期公式即可判断,对于B,由平移可判断,对于C,代入验证即可,对
于D,求得单调区间即可判断.
2兀
【详解】函数/(x)=3sin2x+1的最小正周期是T-f所以A正确;
71
函数/(%)=3sin2x+fj的图象向右平移]个单位长度可得到
5
7171(的图像,所以错误;
g(x)=3sin2x+—=3sin2xgB
55
0,所以C正确;
答案第3页,共13页
jrjrjr/jrSjr
由2E<2x+—<2左兀+—,kGZ,解得ku---<x<kn-\----,keZ,
2522020
所以函数"x)=3sin(2x+:|的增区间是也一畀而+为卜eZ,
.T4口Rl、一.「33兀43兀1_s,(9TI21兀)「33兀4371n
令人=2,倚到增区间WPWT,因为歹记臼犷三r卜所以D正确,
乙U4U\JLUJI/U4UI
故选:ACD.
10.BCD
【分析】对于A:根据百分位数的定义分析判断;对于B:根据中位数的定义分析判断;对
于C:根据平均数的定义分析判断;对于D:根据方差的性质分析判断.
【详解】对于选项A:下四分位数为第25百分位数,且40x25%=10,
所以七/2,打…Eg,%的下四分位数为汽^故A错误;
对于选项B:演,%2,%3,…,*19,%20,%21共有21个数据,
所以中位数是这组数据的第11项为%,故B正确;
对于选项C:因为数据是从小到大排列,则为+々?+%。<.21+%2:L+\。,
2020
所以匹户2,七,…,匹9,/0的平均数小于孙,工22,冬,…,%9,尤40的平均数,故C正确;
对于选项D:因为叫+6,ax2+b,ax3+b,---,axw+b的方差是和孙孙…,七①/皿的方差的力
倍,
所以2%+3,2工2+3,2匹+3,-、2乙0+3的方差是尤1,工2户3,-一/39,%的方差的4倍,故D正确.
故选:BCD.
11.AB
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性,从而问题得解.
【详解】因为g(x-2)的图象关于x=l对称,所以g(x-2)=g(2-x-2)=g(-x),
即g(x-l)=g(-x-l),则g(x-l)为偶函数,故A正确;
由/(3x)=/(2-3x)得,f(x)=f(2-x),两边取导数得,f'(x)=-f'(2-x),
即g(x)=-g(2-x),所以g(x+l)=-g(-x+l),则g(x+l)是奇函数,
所以g(尤+1)图象关于点原点对称,故B正确;
答案第4页,共13页
由上可知,g(x-2)=g(-x),又由g(x)=-g(2-x)得g(-尤)=-g(2+尤),
所以g(x-2)=-g(2+x),贝!jg(x+4)=-g(x),
所以有g(x+8)=-g(4+x)=g(x),即函数g(x)是一个周期函数且周期为8;
又由g(x+l)=_g(-x+l),令x=0得,g(l)=O,
则g(2041)=g(255x8+l)=g⑴=0,故C错误;
由g(x)在[-U]上单调递减,又g(x)的图象关于点。⑼对称可知,
g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)在『1,3]上单调递减,
又g(x)的图象关于x=-1对称,所以g(x)在[-5,-1]上单调递增,
由周期性可知,g(x)在[3,7]上单调递增,
所以当x=3时,g(x)取得极小值,即8⑶:-8㈠卜-8⑺=-3,故D错误,
故选:AB.
【点睛】结论点睛:函数的对称性与周期性:
(1)若〃x+a)+〃-x+b)=c,则函数/⑺关于[+,2中心对称;
(2)若〃x+a)=/(-x+b),则函数/(x)关于》=审对称;
(3)若/(x+a)=〃x-a),则函数/(x)的周期为2a;
(4)若/(x+a)=-/(x),则函数/(x)的周期为2a.
12.230
【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
【详解】X~N(170,52),贝iJ"=170,b=5,
/、/、l-P(it-2o-<X<u+2(y}1-0,954
P(X>180)=P[X>〃+2cr)=----------------------1—--=0.023,
身高超过180cm的男生的人数约为0.023x10000=230.
故答案为:230.
13.-12x-x2
【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可.
答案第5页,共13页
【详解】因为函数/(X)是定义在R上的奇函数,当xNO时,/(x)=x(l+x),
所以/(一3)=-/(3)=-[3x(l+3)]=-12;
当x<0,贝lJ-x>0,所以/(x)=-/(-x)=-[-x(l-x)]=x-x2.
故答案为:-12;x—x2.
14.6
【详解】由函数〃x)相邻两条对称轴之间的距离为不得?=与,故。=半=3.
又因为血,即/1)=2sin3+T=西,
TTTTTTSITTV
所以一+夕=—+2E,左wZ或一+°=一+2左兀,kEZ,所以夕=——+2左兀,左6Z或
24244
71
(P=—+2左兀,左EZ,
4
因为_g<夕<0,所以夕=一二,
24
故"x)=2sin(3x-B,
冗jr23冗
因为石[0,2兀],故3x-,结合正弦函数的图象可知,
L」444
函数在[0,2可上的零点个数为6.
故答案为:6.
15.(1)5
⑵1^1
4
【分析】(1)由6sin5=5sinC,得6=当,代入/=〃+,一2bccosZ,解得c=6,6=5;
(2)由cos/求出sin/,面积公式国四0=;6csim4求V/5c的面积.
【详解】(1)6sin5=5sinC,由正弦定理得66=5c,「力=
答案第6页,共13页
222
由余弦定理/=b+c-2bccosA,得16=■!!■,+c-2x-^xcx^-,
3664
c2=36.,.c=6(负值舍去),
:.b='x6=5.
6
(2)•:0<A<n,sitk4=Jl-cos。=
164
••.S“8c=;6csiiL4=
244
16.(1)0.31
(2)3
【分析】(1)由题意得到X~3(5,0,5),从而利用二项分布的求概率公式进行求解;
(2)先求出击中0次的概率为(1-0.5)"=0.5",则至少击中一次的概率为1-0.5",从而得
到不等式,求出答案.
【详解】(1)5门大炮同时对某一目标各射击一次,
设击中目标的次数为X,
则X~8(5,0,5),
故恰好击中目标2次的概率为C;X0.52X(1-0.5)3«0.31.
(2)由题意,〃门大炮同时对某一目标各射击一次,
击中0次的概率为(1-0.5)"=0.5",
则至少击中一次的概率为1-0.5",
贝打一0.5”>80%,
即nlg0.5<lg0.2,
lg0.2_lg2-1_1-lg2〜1-0.301〜
解得">
lg0.5-lg2lg20.301
因为〃eN*,所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要3门大炮.
17.(1)证明见解析
。、18屈
---
371
【分析】(1)利用线面平行与面面平行的判定定理即可得证;
(2)通过建立空间直角坐标系,先求出平面的法向量亢,进而求出直线NF与平面
答案第7页,共13页
NCR所成角的正弦值.
【详解】(1)由题得,在直四棱柱44GA中,
91
AA]=6,AB=4,AD=2,4E=3,BG=于B1F=3,
所以=*=1再Ff©=^,Bfi=*=|,
所以EF//4]C],GF//BCi,
又因为ZC//4G,/2//BG,故EFUAC,GF//AD1,
因为近7a平面ZCQ],ZCu平面ZCA,所以£F//平面4CZ>],
同理G尸//平面/cn,又因为£FIGb=尸,£尸,6尸<2平面跖6,
所以平面4C0"/平面斯G.
(2)以。为坐标原点,〃所在直线分别为%,%z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,6),/(2,0,0),C(0,4,0),尸(1,4,6),
则刃=(2,0,-6),玩=(0,4,-6),
n-D,A=2x-6z=0
设平面ACD}的法向量元=(x,y,z),则—
n-DIC=4y-6z=0
令z=l,得x=3,y=|>二万=[3,|>1
又尸=(-1,4,6),
\n-AF918753
gs瓦/尸|=
同同371'
答案第8页,共13页
故直线AF与平面ACDX所成角的正弦值为呸H.
371
18.⑴。=1,6=0
⑵加£(一8,1]
【分析】(1)由题意可得出/(x)+/(-x)=2,代入化简即可得出答案.
(2)将题意转化为对于任意的x>0,6-2加工21恒成立.令〃(x)=e2,-2s,分类讨论加,
求出h(x)的最小值即可得出答案.
【详解】(1)由/(尤)=x,+加-x+a,
因为函数/3=%3+成-苫+。图象的对称中心为(0,1),
所以/■(x)+/(-x)=2,
以+bx^—x+。—X,+bx~+x+。=2,
化简可得:2bxi+2a=2,即/+a=1,
6=0
因此
d—\
(2)由(1)可知/(无)=x'-x+l,对于任意的x>0,都有/(x)+e?*12gNx&-x+2恒
成立,即e2x-2mx>1恒成立.
令访(x)=e?,-2mx,可得=2e"—,
令访'(x)=0,BP2e2'—2m=0,e2v=m,
①当%VO时,/i'O)>0,则h(x)在(0,+8)上单调递增,〃3>〃(0)=1,符合题意;
②当0<加41时,e2x=m,贝!!x=』ln〃zWO,
2
则〃(x)>0,〃(x)在(0,+8)上单调递增,A(x)>A(O)=l,符合题意;
③当机>1时,e2A=m,则xInm>0,
2
当xe]o,gln机j时,/i'(x)<0,则八(x)在上单调递减,
当xe];出机,+8)时,%'(X)>0,则h(x)在[g1"%+e)上单调递增,
所以〃(力士力仁历加卜金丽
-2m—Inm=m-nAnrr),
2
答案第9页,共13页
令g(加)=加一加Inm,加>1,贝Ug'(7n)=-In加<0,
所以g(加)在(L+8)上单调递减,所以g(M<g⑴=1,不合题意;
综上所述,me(-00,1].
【点睛】方法点睛:对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:
(1)通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范
围;
(2)利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,
就要考虑利用分类讨论法和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.
19.(1)£-+/=1
-O-
⑵(i)证明见解析;(ii)不2
【分析】(1)利用椭圆的基本性质,以及恒等式〃=/-c2,即可求得椭圆方程;
(2)(i)利用直线与椭圆联立方程组,由相切可得判别式等于0,得到左/2=-1,从而利用
几何意义证明"N经过原点,即可求得口必x而卜0;
(ii)由|方x砺|可转化几何意义是|ax砺|=2S.〃B,从而利用弦长公式和距离公式来求
面积,最后求出取值范围即可.
22
【详解】(1)椭圆C:=+4=l(a>6>0),短轴长为2,所以6=1,
ab
离心率e=g=@,yLb2=a2-c2=l,解得。=2,
a2
椭圆C的标准方程为《+/=1.
4
(2)
答案第10页,共13页
\Nx
(i)证明:设P(%o,yo),
①当直线尸4田的斜率都存在时,设过尸与椭圆相切的直线方程为>=%)+%,
y=k(x-x0)+y0
联立直线与椭圆的方程
x2+4y2-4=0,
整理可得(1+4左2)_8左—京+4(%-kx。)—4=0,
A=64k2(%-左飞)2_4(]+4,2)[4(%—左飞丫_彳],
由题意可得△=0,整理可得(4-片)左之+2xQyQk+1->;=0,
设直线尸4尸2的斜率分别为左,月,所以w=^4
4一天
1-(5-x;)
又x;+y;=5所以kk
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