2025届江苏省常州市戚墅堰高级中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2025届江苏省常州市戚墅堰高级中学高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则等于（）A． B．C． D．2．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．3．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．44．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（）A． B． C． D．5．函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．6．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（）A． B． C．3 D．7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A． B．2 C．3 D．8．已知集合，，则等于()A． B． C． D．9．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值：先用计算机产生个数对，其中，都是区间上的均匀随机数，再统计，能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若，则的估计值为（）A． B． C． D．10．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．36011．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（）A． B．C． D．12．函数的部分图像大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线C：（）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为______.14．双曲线的左焦点为，点，点P为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.15．中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．16．已知向量，，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱中，平面ABC.（1）证明：平面平面（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知的图象在处的切线方程为.（1）求常数的值；（2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.21．（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求证：平面；（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.（1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；（2）记每日生产平均成本求证：；（3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.2、B【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3、C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．4、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．【详解】如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，故选：D．【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．5、D【解析】

利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为，由，解得，即函数的增区间为，所以当时，增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.6、A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面积.故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.7、A【解析】

由奇函数定义求出和．【详解】因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．8、B【解析】

解不等式确定集合，然后由补集、并集定义求解．【详解】由题意或，∴，．故选：B.【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．9、B【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出，能与构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到，能与构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出.【详解】因为，都是区间上的均匀随机数，所以有，，若，能与构成锐角三角形三边长，则，由几何概型的概率计算公式知，所以.故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题.10、A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.11、B【解析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数，.当时，，，为奇函数，，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.12、A【解析】

根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案.【详解】解：因为，所以的定义域为，则，∴为偶函数，图象关于轴对称，排除选项，且当时，，排除选项，所以正确.故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，根据抛物线定义和求得，从而求得直线l的倾斜角.【详解】分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义知，，，因为，所以，所以，即直线的倾斜角为，又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为，.故答案为：【点睛】此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.14、22【解析】

设双曲线的右焦点为，根据周长为，计算得到答案.【详解】设双曲线的右焦点为.周长为：.当共线时等号成立，故，即实轴长为，.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.15、.【解析】

由A，B，C成等差数列得出B＝60°，利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出．【详解】∵A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．16、1【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为平面ABC，所以因为.所以.即又.所以平面因为平面.所以平面平面（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以设平面的一个法向量为，由.得令，得又平面，所以平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．【详解】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.（2）设的前n项和为Sn，由（1）知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考点：等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．19、（1）；（2）或.【解析】

（1）求出，由，建立方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在的图象，即可求解.【详解】（1），由题意知，解得（舍去）或.（2）当时，故方程有根，根为或，+0-0+极大值极小值由表可见，当时，有极小值0.由上表可知的减函数区间为，递增区间为，.因为，.由数形结合可得或.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.20、（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）【解析】

（1）根据三角函数恒等变换可得，，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；【详解】（1），，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为，令，得曲线的极坐标方程为；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，则，，，异号，，，；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，则，，，异号，，.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【解析