第4章水弹性力学-流体与刚体、弹性体相互耦合运动理论

(4-SEQ4-\*ARABIC23)自由表面条件，在上 (4-SEQ4-\*ARABIC24) [推导时注意到：，令，则］引入定常速度势以描述船体无摇荡，只作定常运动的兴波速度势。具体定解条件为：(4-SEQ4-\*ARABIC25)若船舶还作摇荡，可令，为非定常部分，包括入射，绕射，辐射三个部分。定解条件为：，流场内。上： (4-SEQ4-\*ARABIC26) (4-SEQ4-\*ARABIC27)关于物面条件需作单独讨论。物面条件 平均位置 瞬时位置 固结坐标系 参考坐标系 辅助坐标系点在中位置为，另引入表示角位移以点作为研究对象，其在及中位置见图。时刻，在参考坐标系中，在动系中。初始位置（平衡位置），显然有： (4-SEQ4-\*ARABIC28)几何关系： (4-SEQ4-\*ARABIC29)在原点与重合，而三轴与平行的参考系中： (4-SEQ4-\*ARABIC30)在动坐标系中： (4-SEQ4-\*ARABIC31)由4.1.1知识式中(4-SEQ4-\*ARABIC32) (4-SEQ4-\*ARABIC33)利用上面关系式，可将转至中表达，即绝对速度势在动坐标系中表达： (4-SEQ4-\*ARABIC34)式中，和类似表达，，为中相应元素。第一项表示在静止物面(平均湿表面上)的值，法向导数： (4-SEQ4-\*ARABIC35)［注释：在什么坐标系中表达，也应在相应这个坐标系中表达，由于在中表示所以也应在中表示，而，同时，故有］式中为在参考系中投影。 (4-SEQ4-\*ARABIC36)(注：)(都用表示分量，理由是对应点上(),相对于各自坐标轴上分量不会在运动中改变，亦即刚体在旋转过程中，连体上是不随改变的，但相对于参考坐标系来讲是随变的)又(同矢量在不同坐标系中表达) (4-SEQ4-\*ARABIC37)式中为的元素，取到二阶量，则 (4-SEQ4-\*ARABIC38)由(4-36)t和(4-38)得到 (4-SEQ4-\*ARABIC39)瞬时物面上点速度(先考虑无航速)，则 (4-SEQ4-\*ARABIC40)由前面知识知： (4-SEQ4-\*ARABIC41) (4-SEQ4-\*ARABIC42) (4-SEQ4-\*ARABIC43)因为所以由(4-39)和(4-43)两者相等，注意到 (4-SEQ4-\*ARABIC44) (4-SEQ4-\*ARABIC45)引入。式中为物面平均位置上法线矢量和位置坐标在参考系坐标轴上投影。［注意到：］从而 (4-SEQ4-\*ARABIC46)现考虑有航速情况，沿以移动。物面条件精确提法为： (4-SEQ4-\*ARABIC47) (4-SEQ4-\*ARABIC48) (4-SEQ4-\*ARABIC49) (4-SEQ4-\*ARABIC50)若，只有定常兴波，设此时湿表面为，即在上迭加定常移动兴波引起的湿表面变化，此时物面条件： (4-SEQ4-\*ARABIC51)上式与(4-25)中自由表面条件构成精确边界条件。现引入非定常运动是微幅的假定，即和均为小量，记作，相应地与差别也是同级小量。先求一任意函数：取，则而 (4-SEQ4-\*ARABIC52)其中另外注意©(d)异同；表达方式相同，但具体值不同，©中无摇荡，故；(d)中存在摇摆，令 (4-SEQ4-\*ARABIC53)物理意义：定常绕流速度场，即流体力学中提到的相对速度势诱导的速度场。则代入(4-50)得 (4-SEQ4-\*ARABIC54)若设 (4-SEQ4-\*ARABIC55)上式称为Timman&Newmman条件。讨论：若还引入船体等移动的定常兴波较小，即(对应于细长体一类结构)，则 (4-SEQ4-\*ARABIC56)Timman&Newmman条件其它形式： (4-SEQ4-\*ARABIC57)推导如下：则 令代入(4-50)(4-57)式。具体推导参见《船舶在波浪上运动理论》。下面从Price-Wu方法推导：设总速度势物面条件：而 (4-SEQ4-\*ARABIC58)令，则。考虑到小幅摇荡，即量，则与之间差异亦是同级小量。从而，其中， (4-SEQ4-\*ARABIC59)式中为结构角位移，即，而 (4-SEQ4-\*ARABIC60) (4-SEQ4-\*ARABIC61)代入(4-58)式 (4-SEQ4-\*ARABIC62)可证明，所以(4-62)式可改写为(4-57)式。4.2弹性体与外流场相互耦合4.1.1坐标系选取及运动量描述坐标系选取与4.1节中相同，为坐标系，为随结构物以航速沿作匀速前进的参考系，以表示结构物摇荡姿态，为随体坐标系。为平动参考系，以描述结构旋转运动，具体见图4.2.1图4.2-1坐标系选取位移矢量定义：结构上任意一点经摇荡及变形后总位移（相对）为其可以分解为刚体平动位移、转动引起位移及弹性变形引起的位移，分别表示如下：刚体位移：刚体平动位移，在水弹性力学中一般表示为： (4-SEQ4-\*ARABIC63)其中 分量物理意义分别代表纵荡，垂荡（升沉）和横荡引起的位移2）刚体转动引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC64)式中(4-SEQ4-\*ARABIC65)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC66)当只考虑到一阶量时，（4.64）可改写为若令，则 (4-SEQ4-\*ARABIC67)在水弹性力学中将改写成 (4-SEQ4-\*ARABIC68)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC69)各项物理意义是分别由横摇，艏摇，纵摇引起的位移从(4.69)可以推出：（此式只有在线性化条件下才成立） (4-SEQ4-\*ARABIC70)所以，因刚体转动引起的一阶位移量为： (4-SEQ4-\*ARABIC71)3）结构弹性变形引起的位移： (4-SEQ4-\*ARABIC72)式中表示第r阶主振动（模态）下引起的变形位移。转至中表达时，只考虑一阶量时，。从而结构上任一点p处总位移（在中）表达式为： (4-SEQ4-\*ARABIC73)若引入主模态，主坐标的概念，则结构上任意点处位移可表达为另一种形式： (4-SEQ4-\*ARABIC74)式中为结构第r阶干模态，其前6阶为刚体模态，分别对纵荡，垂荡（升沉），横荡，横摇，艏摇和纵摇，具体表达式为： (4-SEQ4-\*ARABIC75)另外式(4.74)中表示第r阶主坐标，对应刚体运动的前6阶模态分别为： (4-SEQ4-\*ARABIC76)4.1.2结构在流体作用下运动方程经有限元离散后总体运动方程为 (4-SEQ4-\*ARABIC77)式中，，分别为广义质量，阻尼和刚度矩阵，和分别为广义流体力、广义集中力和体积力列向量将代入并注意到干模态正交性，则(4.77)可以改写为，水弹性力学方程 (4-SEQ4-\*ARABIC78)式中，，分别为干结构广义质量，阻尼和刚度阵。（具体推导见4.2.5）式(4.78)就是同时考虑了刚体运动和弹性变形的水弹性力学方程。4.1.3流体力及广义水动力流体压力在固定坐标系中，表达式为： (4-SEQ4-\*ARABIC79)式中，即绝对速度势在固定系中表达。设在中速度势表达式为与关系：，，故(4-79)式改写为： (4-SEQ4-\*ARABIC80)又可分解为即定常，非定常部分，代入上式，式中令（——参考坐标系坐标轴单位矢量；——动坐标系坐标轴单位矢量）则上式可改写为： (4-SEQ4-\*ARABIC81)又，因为 (4-SEQ4-\*ARABIC82)将上两式代入p表达式得 (4-SEQ4-\*ARABIC83)上式就是在参考系（平衡系）中在瞬时上计算p的公式。下面将其摄动到平均湿表面上。转换之前首先说明一下与的区别：表示无航速时，摇荡平均湿表面，而表示有航速时定常速度势诱导出的定常速度场（相对而言）引起的平均湿表面位置，两者仅当定常速度为小量时，误差才是小量。根据摄动理论，有： (4-SEQ4-\*ARABIC84)若取，则将(4-83)代入并注意到，可得到 (4-SEQ4-\*ARABIC85)式中若考虑二阶量，则(4-SEQ4-\*ARABIC86)广义水动力 (4-SEQ4-\*ARABIC87)4.2.4物面条件只需将刚体运动中物面条件，即(4-62)式中改写成：式中，及改写成，即就可以得到水弹性力学中物面条件： (4-SEQ4-\*ARABIC88)引入主坐标后， (4-SEQ4-\*ARABIC89)式中——入射速度势，为绕射势，为辐射势可以证明（Haskin关系）代入（4-88）得： (4-SEQ4-\*ARABIC90)下面就总速度势中各项速度势定解条件作一总结：定常速度势：绕流速度势：4.2.5水弹性力学主坐标方程为了克服切片理论或二维水弹性理论无法解决诸如多体、半潜体等非梁、弹性结构等动力问题的局限，必须建立一个适合处理任意形状的航行于海上的浮体结构的力学模型。本节将讨论此方面问题。4.2.5.1弹性结构的离散化结构的离散化有多种形式，其基本目的就是把一个具有无限多自由度的连续体简化为一个只有有限个自由度的多自由度系统。对于静力学问题，这个离散化的系统与初始系统的等效性是基于哈密尔顿原理，也有不少方法是基于相应的广义变分原理。当然，也可直接从微分方程出发，在对划了的结构引入某些近似假设后，建设离散化的数学模型(如迁移矩阵法)。积分形式的能量原理或广义变分原理，可以作为微分形式的平衡方程或运动方程的替代形式。然而，这两种形式的描述方法并非具有同等的内涵。前者反映了作为整体性原理的力学原理，它们要求有关力学场局部可积性，而后者则反映微元的规律，它们要求有关力学场局部可微。局部可微性并非物理现象中一定成立的条件。严格来说，连续物理场中有关规律的变分或积分的形式或许是考察这些规律的唯一自然的严密正确的形式。在此仅讨论有限元法这种离散形式，有关方程的形式带有普遍性，可将结论用于其它离散化方法。一个动力学系统中任一点的位移是位置和时间函数，即，若我们将该连续体系统划分成若干个尺度有限元，在每个元的局部坐标中，元上任一点位移(表示局部坐标中表达)，可用该元有限节点上的位移列阵展开为： (4-SEQ4-\*ARABIC91)上式中为开关函数，它是函数。严格讲，此表达式只适合静力学系统，因为动力学系统中，单元在慢性力作用下出现了变形。因而也应是函数。但当单元数足够多，单元划分较小，而又是由系统的动力学方程求得时，这种方法能够给出较好近似。利用相应结构的物理议程，可以用(4-91)式相对于的微分形式表示结构的内力(例如对板、壳、梁元)或借助于几何关系及物理关系表示结构的应力(三维元、平面联元)等。代入应变能表达式，可求得单元刚度阵表达式，代入动能表达式可以从质量分布求得单元质量阵表达式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC92)推导如下：式中分别为几何关系与物理关系的系数阵。即其中－泊松系数，－弹性模量。假如以表示结构中分布粘性阻尼系数阵，亦即阻尼力为，则单元阻尼阵可通过虚功原理推导为： (4-SEQ4-\*ARABIC93)()由它定义作用在单元节点上的阻尼力。作用在单元节点上的集中力及分布作用面力可以通过虚功原理转换为等效节点力： (4-SEQ4-\*ARABIC94)其中为单元表面的内法线向量。当然公是结构受外载面的一部分。4.2.5.2运动总体方程局部坐标可通过与总体坐标系转换关系阵转至总体坐标系中，表达式为： (4-SEQ4-\*ARABIC95)从而在中任意矢量可在中表达：(4-SEQ4-\*ARABIC96)单元上节点位移列阵在表达式为： (4-SEQ4-\*ARABIC97)其中 (4-SEQ4-\*ARABIC98)上面式子中不带的量为在总体坐标系中表达的相应量。显然和均为正交阵，即 (4-SEQ4-\*ARABIC99)因此在中表达的广义质量、刚度、阻尼阵及广义体积力等力可分别表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC100)若体积力中只有变力作用，且在总体坐标系中沿轴向下，则 (4-SEQ4-\*ARABIC101)(注：表达在不同总体坐标下，应作变化！)其中［已知，而，从而］利用哈密尔顿原理 (4-SEQ4-\*ARABIC102)又 (4-SEQ4-\*ARABIC103)并将有关式代入得到总体坐标系中单元运动方程： (4-SEQ4-\*ARABIC104)若将各单元相加，则需将(4－102)中改成，并注意到，则整个结构离散后总体坐标系中运动方程： (4-SEQ4-\*ARABIC105)式中分别称为系统质量阵，系统刚度阵和阻尼阵。4.2.5.3结构运动方程的简化结构固有频率及主振型自由振动时，令 (4-SEQ4-\*ARABIC106)代入(4-105)，得 (4-SEQ4-\*ARABIC107)若为正定，则上式给出正的特征值，称之为固有频率。对于任何一个特征值存在一个特征向量，又称为阶主振型，其几个元素，每个元素相应于一个节点的六个自由度的振型位移，即而 (4-SEQ4-\*ARABIC108)将每个单元各个组合对应的子阵用表示，则单元节点位移可表示为： (4-SEQ4-\*ARABIC109)利用插值函数及局部坐标转至总体坐标系中转换关系阵及，则单元中任一点的阶振型位移表示成： (4-SEQ4-\*ARABIC110)刚体振型结构物完全自由，如自由浮体，则是半正定的，且，频率方程(4-107)变为：从而导致六个零根，即此时需利用刚体运动理论定出其振型。假定旋转中心在质心C处(原点不一定在C处)，且处于平衡位置时，与参考系重合，并用表示质心处位移和角位移，且假定这些位移是一阶小量，则可发现6阶刚体位移振型在第点处的六个分量可以用矩阵形式表示成如下一般形式： (4-SEQ4-\*ARABIC111)注：上式可以从导出，其中其中与r阶振型相应的质心线位移与角位移为任意选取的常数，不同取法对应于刚体不同的定义方式。情况A：因为刚体振型的特征向量可以按任意比例常数定性幅值，也可按所需形式归一化(正比例)，譬如将其表达为纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇等六个熟悉的形式，即 (4-SEQ4-\*ARABIC112)代入(4-111)可得到对应各阶振型： (4-SEQ4-\*ARABIC113)刚体上任一点处位移振型可表达为： (4-SEQ4-\*ARABIC114)情况B：刚体振型的另一个取法是水弹性力学中常用的方法，即将结构上某一参照点的位移取为一个单位，按此振型归一化。这样的目的是使主坐标具有更直接的物理含义，也即表示第r阶振型的响应分量在点给定方向的位移中的贡献。(对应r阶点最好取在r阶位移振型最大处，如船舶尾部垂向位移往往最大，故取) (4-SEQ4-\*ARABIC115)此时刚体上任一点位移振型为： (4-SEQ4-\*ARABIC116)情况C：旋转中心直接选在动坐标系原点(通常坐标原点选在C处)，则只需将第一种情况中改为零便可得到六阶刚体振型及结构上任一点处位移振型，即 (4-SEQ4-\*ARABIC117)正交条件设与为两个主振型，显然有 (a) (b)前乘，(b)式转置后乘，然后两式相减得到这意味着 (4-SEQ4-\*ARABIC118)式