高三数学一轮复习：空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系

【必备知识•逐点夯实】

【知识梳理・归纳】

1.四个基本事实

基本事实1:过不在二线上的三个点，有且只有一个平面.

符号:A,2,C三点丕共线n存在唯一的a使A,B,C^a.

基本事实2:如果一条直线上的两谨在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

符号:AGl,BG/,且AGa,Bea=>/cg.

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们直旦只食透过该点的公共直线.

符号:PGa,且PG日PG1.

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线强.

符号:a〃6,6〃c=a〃c.

2.基本事实的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线处一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条福交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平疝直线,有且只有一个平面.

3.空间点、直线、平面之间的位置关系

项目直线与直线直线与平面平面与平面

关系符号

a//ba//aa〃夕

语言

图形

相交语言

关系符号

aHb=AaC\a=AaC£=l

语言

图形

-

其他语言

关系符号a,b是

qua-

语言异面直线

【微点拨】＞

⑴直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.

⑵两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.

4.等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应题，那么这两个角相等或孰.

5.异面直线所成的角

⑴定义:已知两条异面直线6,经过空间任意一点0分别作直线屋〃〃上把a与，所成的角叫做异面直

线a与b所成的角（或夹角）.

⑵范围：（0琲

【基础小题・自测】

类型辨析改编易错高考

题号1423

1.（多维辨析）（多选题）下列结论错误的是（）

A.如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合

B.经过两条相交直线，有且只有一个平面

C.两两相交的三条直线共面

D.若a,b是两条直线,a/是两个平面，且aua,6u£厕a,b是异面直线

【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直

线可能是平行直线.

2.（易错题）若直线I不平行于平面a,且/仁氏则（）

A.a内的所有直线与/异面

B.a内不存在与I平行的直线

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.a内的直线与/都相交

【解析】选B.由题意知，直线I与平面a相交,则直线I与平面a内的直线只有相交和异面两种位置关系.因

而只有选项B是正确的.

3.（多选题）（2022・新高考/卷）已知正方体48"）/18<1。1,则（）

A.直线BCi与DAi所成的角为90°

B.直线BCi与CAi所成的角为90°

C.直线BCi与平面BBiDi。所成的角为45°

D.直线BCi与平面ABCD所成的角为45°

【解析】选ABD.如图，连接AOi,在正方形AiAOOi中,Ad_LD4i,因为Ad〃BG.所以8GLD41,所以直线

BCi与所成的角为90。,故A正确.在正方体ABCD-A向中,CO平面8CC向，又BQu平面BCCiBi,

所以CDLBCi,连接&C,则BiCLBCi,因为Cr>nSC=C,CZ）,BiCu平面DC81A1,所以平面OCBH,又

CAiU平面所以8C」CAi,所以直线BQ与C4所成的角为90。,故B正确.连接4G,交BD于点

O,则易得oc」平面881。。,连接。区因为08U平面8囱。1。所以OC」OB,/O8C1为直线与平面

BBDD所成的角.设正方体的棱长为则易得8G=&a,0C产啜所以在RtABOCi中。^争酊所以

/。8。=30。,故C错误.因为CC平面ABCD所以/CBG为直线BC,与平面ABCD所成的角,易得/

CBG=45。.故D正确.

4.(必修二P134例1变形式)如图，在三棱锥A-BCD中££G,”分别是棱A8,BC,CD,ZM的中点，则

(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形；

⑵当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.

【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形，

所以EF=EH,因为EF=^AC,EH=lBD,^AC=BD.

(2)因为四边形EFGH为正方形，

所以EF=EH且EFLEH.

因为EF//AC,EH//BD,

且EF=^AC,EH=^BD,

所以AC=BD且AC±BD.

答案:(1)AC=B。(2)AC^BDSAC1BD

【核心考点•分类突破】

考点一空间位置关系的判断

［例1］（1）（多选题）下列选项正确的是（）

A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内

B.过空间中任意三点有且仅有一个平面

C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

D.若直线/u平面a,直线机_L平面a,则ml.1

【解析】选AD.对于选项A,可设Zi与h相交，这两条直线确定的平面为a；若h与人相交于8,则交点B在平

面a内，同理/3与h的交点A也在平面a内，所以ABua,即^ua,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这

三个点的平面有无数个.选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面，选项C错误.对于

选项D,若直线加，平面a,则唐垂直于平面a内所有直线.因为直线仁平面区所以直线机，直线/,选项D正

确.

（2）如图,分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与

MN是异面直线的图形有.（填序号）

①②③④

【解析】题图①中，直线GH〃MN;题图②中,G,”,N三点共面，但平面GHN,因此直线GH与MN异面题

图③中，连接MG,则〃//N,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面，但平面GMN,因此GH与MN

异面.所以题图②④中GH与MN异面.

答案:②④

【解题技法】

1.点、线共面的判断方法

⑴纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个

平面内.

(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面a.再证明其余元素确定平面£,最后证明平面a,p重合.

(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决.

2.两直线位置关系的判断

(

空

间

中可构造

两

几何模

直

线型(长

位方体或

置正方体)

关

系

)

【微提醒】＞平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.

【对点训练】

1.已知异面直线a,b分别在平面a/内，且an/?=c,那么直线c一定()

A.与a力都相交

B.只能与a,b中的一条相交

C.至少与a,b中的一条相交

D.与a,b都平行

【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交，也可只与其中一条相交，故A,B均错误;若c与a,b都不相交，则

c与a,b都平行，根据基本事实4,知a〃仇与a,b为异面直线矛盾,D错误.

2.设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a//b,b//c,^]a//c;

②若aJ_b,bJ_c，则a//c;

③若。与b相交乃与C相交，则〃与C相交;

④若au平面a,bu平面£,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序

号).

【解析】由基本事实4知①正确;当a±b,bLc时,°与c可以相交、平行或异面.故②错误;当a与"目交力

与c相交时,。与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误;aua,6u/?,并不能说明a与b不同在任何一个平面

内，故④错误.

答案:②③④

考点二基本事实及其应用

［例2］如图，在长方体ABCD-A向CQi中,£尸分别是81G和QDi的中点.求证：

(1)E,F,D,B四点共面；

(2)BE,DF,CCi三线共点.

【证明】⑴如图.连接EFIOBDi,

因为EF是ABiCiDi的中位线，所以EF〃BD,

因为BBi与DDi平行且相等，

所以四边形BDDiBi是平行四边形，

所以8。〃以。1,所以EF//BD,

所以E,F,D,B四点共面；

(2)因为EF//BD,S.EF丰BD,

所以直线和。尸相交，

延长8瓦。£设它们相交于点P,

因为PG直线8E,直线8Eu平面BBiCiC,

所以pe平面BBCC,

因为Pe直线直线u平面CDDiCi,

所以PG平面CDOiG,

因为平面BBCCn平面C")iG=CCi,所以PGCG,所以BE,DF,CCX三线共点.

DiF,

【解题技法】

L证明空间点共线问题的方法

⑴一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.

⑵选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

2.共面、共点问题

⑴先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；

(2)利用确定平面的定理如由点构造平行直线、构造相交直线等.

【对点训练】

1.如图,arV=/ABGa,CG£,且从仇”/,直线三点的平面记作人则y与£的交线必经过()

A.点A

B.点8

C.点C但不过点M

D.点C和点M

【解析】选D.因为R所以MG/

又aC0=l,Me/,所以MG0.

根据基本事实3可知,M在y与£的交线上.

同理可知，点C也在y与/?的交线上.

所以y与6的交线必经过点C和点M.

2.已知空间四边形A8CQ(如图所示)，瓦尸分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点，且

CGWBC,C”=[OC.求证：

F/”

(1)E,F,G,H四点共面；

(2)三直线FH.EGAC共点.

【证明】⑴连接EF,GH,因为E,F分别是ABAD的中点，所以EF//BD.

又因为CG=LBC,CH』DC,

所以GH〃BD所以EF//GH,

所以E,F,G,H四点共面.

⑵易知FH与直线AC不平行，但共面,

所以设FH^AC=M,

所以MG平面EFHG,ME平面ABC.

又因为平面EFHGCl平面ABC=EG,

所以MeEG,所以FH,EGAC共点

考点三异面直线所成的角

[例3]⑴如图所示，圆柱。。2的底面半径为1.高为2,48是一条母线,8。是圆。1的直径，。是上底面圆周上一

点,/C8O=30。,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）

3V35

A.------

35B等

c噂吟

【解析】选C.连接AO2,设A02的延长线交下底面圆周上的点为及连接CE,易知/CAE（或其补角）即为异面

直线AC与8。所成的角，连接CD（图略），在RtABCD中,/8。=90。,8。=2,/。8。=30。得BC=V3,CD=1.

又AB=DE=AE=BD=2,AC=y/AB2+FC2=V7,CE=VDC2+DE2=V5.^J^^CAE中,cosZ

222

CAE=AC+AE-CE7+4-5377

2ACAE~2Xy[7x2~14'

即异面直线AC与BD所成角的余弦值为等

14

（2）（2023・武汉模拟）在直三棱柱ABC-AiBjCi中,A8_L8C,AB=BC=AAi,O,E分别为AC,BC的中点，则异面直线

CiD与BiE所成角的余弦值为（）

A.f

c零D弯

【解析】选D.设42=2,取AiBi的中点£连接CiF,DF,DE,则①4/出,

因为D,E分别为AC,BC的中点，

所以DE//AB,DE=^AB,

因为48i〃AB,AiBi=AB,

所以DE〃BiF,BiF=DE,

所以四边形DEBiF为平行四边形，所以DF//B.E,

所以/GOE为异面直线GO与BiE所成的角或补角.

22

因为分别为AC,BC的中点，所以DF=BlE=>Jl+2=V5,

CiF=Vl2+22=V5,GD=J(V2)2+22=V6,

所以cosZCi£)F-^---^=—.

DFV510

【解题技法】

求异面直线所成角的方法

⑴求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用

特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.

(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.

①一作:根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;

③三求:解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角厕它就是要求的角;如果求出的角是钝角厕它

的补角才是要求的角.

【对点训练】

1.在正方体ABCDA/iCiOj中，尸为Bid的中点，则直线与ADi所成的角为（）

MC=D=

【解析】选D.如图，连接因为〃BG,所以NPBG为直线PB与AD\所成的角.

设正方体的棱长为2,贝尸8=乃/口=四,8（71=2&,贝！