高考数学专项复习：不等式与复数（练习）（解析版）

专题02不等式与复数

目录

01基本不等式二元式................................................................1

02和式与积式......................................................................3

03柯西不等式二元式.................................................................7

04齐次化与不等式最值.............................................................10

题型05复数的四则运算..................................................................13

06复数的几何意义..................................................................14

一题型01基本不等式二元式

.._41

1.（2023•山东青岛•图一青岛大学附属中学校考阶段练习）若无>0,y>0且x+y=l,则一+一的最小值

为（）

A.7B.8C.9D.16

【答案】C

【解析】由题设，-+-=f-+l|j+y)=5+^+->5+2

xy\xy)xy

当且仅当-^=一,即元=彳,丁二彳时等号成立.

Xy33

故选：c

2.（2023•江苏盐城•高三统考期中）若x>0,y>l,则空+J的最小值为（）

xy-1

A.1B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】设曳+二=乙贝Ij4y2—（4+枕）、+7+打=0,

Xy-1

由△»（），得（4+比丫—16（/+比）之0,即（比—4『216/,

则比一424/，r>4x+—>2=8,当且仅当4无=3,即元=1时，等号成立，

x\xx

故选：C.

3.（2023•江苏镇江•高三统考期中）已知正实数X、y满足工-y+5二孙，则工+y的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

x+5

【解析】因为正实数X、y满足~+5=孙，则孙+尸川,可得W一

所以XIV-XI%+5―兀|(%+1)+4=(x+l)+，­之+4

//1KAf%十y—%十—%十=4,

x+1x+1(7x+1Vx+1

4

当且仅当1+1=——a>o)时，即当元=1时，等号成立，此时，y=3,

X+1

故工+y的最小值为4.

故选:B.

0A

4.(2023•浙江金华•校联考模拟预测)已知。>0力>0,2。+6=。"则上+——的最小值为(

a-1b-2

A.4B.6C.472D.3+20

【答案】D

u

【解析】由。>0,Z?>0,2a+/?=ab,a=--—>o即方>2,易知〃>1,

b—2f

所以2-+〃-=乌-+a=3+:-+0-123+2、/二-<a-1)=3+2&,

ci—1b—2a—1a—1yci—1

当且仅当。=&+l时等号成立，此时6=2+0,

所以-+-―-的最小值为3+20.

a-1b-2

故选：D

5.（2023•广东广州•统考模拟预测）已知正实数x,y满足2x+y=孙，贝1|2盯-2x-y的最小值为

A.2B.4C.8D.9

【答案】C

12

【解析】因为正实数x,y满足2兄+〉=孙，所以一+一=1,

%y

贝U2孙一21一》=2x+y=（2x+y）—+—=4+—+—>4+2I---=8,

y）y'%y

当且仅当y=2元且L+2=i,即％=2,y=4时取等号.

%y

故选：C.

6.（2023•广西玉林•高三博白县中学校考开学考试）若正数x,y满足,+工=1,贝口+2〉的最小值是

xy

A.6B.2+3应C.3+20D.2+2石

【答案】C

【解析】由题意，x+2y=（x+2y）3n=3+0+33+2,匡2=3+2也，

vy）xy\xy

当且仅当殳=土，即工=夜+1,>=出2时取等号.

兀y2

故选：c

题型02和式与积式

7.（多选题）（2023•山东潍坊•高三统考期中）已知。，b为方程舐?-x^tn=0^>的两个实根，则

)

A.4Z2+/?2>8B.ab>4

113+272

C.yfa+yfb<2^2D.--------------1---------之-----------

a+22b12

【答案】ACD

【解析】由题意得：a+》=4,ab^-,a>0,b>0；

2

22

对于A项：a+b=(a+b^-lab-lab，

27、2

a+ba+b].

因为：ab<I,所以：—ab>—----二-4,

22

所以得：/+〃=16—2^216-8=8,当且仅当〃二人=2时取等号，故A项正确;

对于3项：由。+人=43所以得：ab<4,故3项错误;

对于C项：+=a+b+2y[ab=4+2yfab<4+(tz+Z?)=8,

所以得：4a+4b<2y/2,故。项正确;

对于。项:

111111ba+2b〃+23+2立

---------1-----=—H---J----3+2.x-----

a+22b6a+22b62。+22b62〃+22b)12

当小r.时取等号’故0项正确.

故选：ACD.

8.（多选题）（2023•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知〃>0力>0,〃4，且a+b=2,则

11「11

A.-+->2B.>2

ab/+庐

C.2〃+2)>2D.log2^+log2Z?>2

【答案】ABC

【解析】-+7=^-|-+y+=2+—+y2+2J-y=2,当且仅当“=g即a二8时取等号,

ab21ab)2(ab)2(\ab)ab

由于a】b,所以—1-->2,A正确，

ab

由于旌d=l,'+*2旧京=六2,当且仅当,二,且〃“时，即〃4时取等号，由于

U1b,所以w+yy>2,3正确，

ab

由〃+/?-2以及a>0力>0,〃wZ?可得2"+2。之2：2“2,=2-20+"=4，

当且仅当2"=2"，即〃二方时取等号，由于b,所以2"+2'〉4>2，故C正确,

log^z+logZ?=logab<log1=0,当且仅当幺=£即〃二方时取等号，由于相b,1(^2。+log?)<。所以

2222ab

。错误,

故选：ABC

9.（多选题）（2023•云南迪庆•高一统考期末）设正实数%,〉满足x+2y=3,则下列说法正确的是

9

A.,的最小值为4B.孙的最大值为z

人y8

C.6+必的最大值为2D./+4y2的最小值为，

【答案】ABD

【解析】对于A,•.•x>0，y>0,x+2y=3,.•.1+』=』+^^=』+2+2»2匣+2=4,

xyxyxyyxy

vx

当且仅当2=一,即％=y=i时等号成立，故A正确；

%y

,___Q33

对于5,3=x+2y>2y]2xy,/.xy<-,当且仅当x=2y,即％=—,y=—时等号成立，

824

9

所以孙的最大值为二，故3正确；

8

对于C,因为+=x+2y+2y/2xy=3+2^j2xy<3+2^2=6,

所以«+后的最大值为新，故C错误；

QQ

对于因为/+4/=（1+2丁）9-4xy=9-4xy>9-4x—=—,故£）正确.

82

故选：ABD.

10.（多选题）（2023•全国•高三校联考阶段练习）若。>0,b>0,且2〃+b=l,则下列说法正确的是

（）

A.而有最大值:B.疡+加有最大值2

C.工+：有最小值4D.4/+片有最小值正

ab2

【答案】AC

【解析】对于A,ab=-^ab<-^a+b^

2248

当且仅当2a=b=工时取等号，

2

所以就有最大值:，故A正确；

0

又寸B,因为｝2a+Z?之2T2ab,^fr以2（2a+0）22a+Z?+2j2aZ?=（JZa+,

所以缶+限J2（2a+b）=0,

当且仅当2〃二8=，时取等号，

2

所以病+"有最大值拉，故8错误；

TT-la2a+babalba

对于C,-+-=------+-=2+-+->2+2J------=4A,

ababab\ab

当且仅当2=即a=b=g时取等号，

ab3

所以工+f有最小值4,故C正确；

ab

对于。，因为4/+〃22x2ab，所以2（4a?+/）24/+/+2x2a匕=（2。+/?）?,

所以4a2+〃。+"）-=J_,当且仅当2a=b=工时取等号，

—222

所以4后+廿有最小值;，故。错误.

故选：AC.

13

11.（多选题）（2023•江苏无锡•高三统考期中）已知a>0,b>Q,一+丁=1，则下列说法正确的是

ab

（）

A.曲的最小值为12

B.〃+/?的最小值为48

C./+/的最小值为24

13

D.—-+-~^的最小值为2

a-1b-3

【答案】AD

【解析】A选项：-+1>2./4，即2启Ml,解得次?》12,当且仅当工=g,即4=2,8=6时等号成

立，A选项正确；

3选项：a+b-（a+b）（-+^-\=\+^-+—+3>4+=4+2\/3,当且仅当细=2,gpa=~~,b=-~—

\ab）ba\baba22

时等号成立，2选项错误；

C选项：由工+3=1,得°=上，.1>3,贝|/+廿=（占］+/，

abb-3

令八上I」他解得彳=3+竽，

所以函数/■（*）在（3,3+3］上单调递减，在［3+3：,+/上单调递增,

所以〃虫"=/13+3"N24,C选项错误；

_L+J_-_^+J_-^2+J_>2b-33

〃选项：a-1b-3-b.b-3-3b-3~，当且仅当k=：,即8=6,。=2时等号成

…3人3

立，。选项正确；

故选：AD.

一题型03柯西不等式二元式

12.（2023•浙江湖州•高三统考期末）已知心yeR,且x+y=3,则&7I+23rz的最小值

是.

【答案】3垂

【解析】凑配口+2次百二底Q+.亚亚=亚牙g+尸w7百

,进而根据

有V5

柯西不等式结合已知求解即可.根据柯西不等式得：（22+12）卜2+1）“2%+1）2,

（y2+22）（22+42）>（2y+8）2,

当且仅当x=2,y=l时，上述两不等式取等号，

所以7?77777132工+1,也2+42厅+22.2y+8

因为x+V=3,

所以内+2户=回五笆四

_也2+12+打+42Q『+2?〉2x+l+2y+8_2（x+y）+9_

—A/5一小一小一

当且仅当x=2,y=l时，等号成立.

故答案为：375.

13.（2023•浙江温州•统考二模）已知实数九,丁满足（2%-））2+今2=1,则2彳+）；的最大值为

【答案】亚

【解析】直接利用柯西不等式得到答案.根据柯西不等式：⑶—4+中玲叱：+2才,故

2x+y<V2,

当2x—y=2y,即I=述，,=正时等号成立.

84

故答案为：也.

14.（2023•湖北武汉•统考一模）已知M=xjl-y2+八/1-炉,则M的最大值为

【答案】L

【解析】利用柯西不等式求解.由柯西不等式得：

卜J]_y2+yVl-^2|4X2+^J1-X2j）+y2=1,

当且仅当业二d即Y+y2=i取等号.

X

故M的最大值为1

故答案为：1

is.（2023•浙江金华•高三校联考期末）已知实数％,y满足ja+iy+y.一ly+y=4,则产十产的

取值范围为.

【答案】[3,5]

【解析】由柯西不等式可得，

『1）+y*而方7.而干7=44心31^±£,

所以44+1）2+q（1）"、/+9+1,即3CW5

所以Y+y2e[3,5].

故答案为：[3,5]

16.（2023•浙江•高三校联考阶段练习）己知实数。力满足：2b—,则|。-2闿的最小值为.

【答案】2

【解析】方法一：距离问题

问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点（。花）到直线"2。=0的距离的6倍”问题

若相切，贝IJ2/—（2方+z『二4有唯一解

2b2+4zb+z2+4=0,△=16z之-8(z?+4)=0=z?=4=忖=2

两平彳亍线a-2b=0与a-26-z=0的星巨离d且=2

A/5V5

所以-2耳=A/5x—j==2

方法二：柯西不等式法

补充知识：二元柯西不等式

已知两组数。力;则（/+/）卜2+力2（狈+加2

+b1^（x2+y~^>^ax+by^<^a2x2+a2y2+&2x2+b2y2>a2x2+b2y~+2abxy

ocry1+Z?2x2>2abxyo（ay->0

已知两组数a』；％，y,则（/一句⑺一力《（办一办）2

（/-匕2）（%2-y2）4（欧-0y）2o/f-a2y2-廿彳2+^2y2«+/卜2一？"孙

oa2y+加工2>2abxy台（ay-ferf>0

所以4=（2/-/）（2-1）久4-292,所以|0—羽W2.

方法三：判别式法

设a-2b=tna=2b+t,将其代入2/_/=4,下面仿照方法一即可.

方法四：整体换元

根据对称性，不妨设岳-a>0,>/2b+a>0

x=42b-a、

设《L,则◎=4（x>0,y>0）,且

y=yJ2b+a

方法五：三角换元

Z?=A/2sec0

由对称性，不妨设<（。为锐角）

。=2tan。

所以卜-2耳=历2110-2&$6（:0|=2任纪旦=2叵*^225^=2

11cos0cos3cos0

所以|。-2闿的最小值为2

17.（2023•河北衡水•高三河北安平中学校考期末）已知2x+3y+z=8,则＞+于+z?取得最小值时,

%,y,z形成的点(%,y,z)=.

【-答3案】(匕81,2川4、

【解析】由于(22+32+俨)卜2+y2+z2)“2x+3y+z)2=64,ax2+y2+z2=y.当且仅当

812…、「8124、

x==3，z=,时等节成乂，故(x,y,z)=Iy,—I.

故答案为［于7,亍J

04齐次化与不等式最值

18.（2023•山东日照•高一校考期中）已知5xT+y4=l（x,yeR）,则无?+2y2的最小值是.

【答案】g

【解析】根据题设条件可得可得/+2丁=口+2y2=白+”，利用基本不等式即可求解.；

5y5y5y5

5x2y2+y4=1

6

-

5-

当且仅当上=号，即y=微,产=；时取等号.

5y5153

二f+J的最小值为，

故答案为：y.

19.（2023•浙江•高二校联考阶段练习）若实数。，方满足/一4廿=4,则/+他的最小值

为.

【答案】V3+2/2+V3

2

【解析】因02_止=4,则幺-〃=1,

4

即加"=1,

令@+b=x(xwO),贝,

2v72x

所以〃=x+Lb=g

X,

所以/+而=[3+，

14X

-X2+-^V+2>2.3，/+2=员2,

22x222x2

当且仅当3犬2=工，即彳2=逅时，等号成立.

2lx13

故/+疑的最小值为6+2.

故答案为：V3+2

20.（2023•宁夏银川•高二宁夏育才中学校考期中）若N-孙+尸=l（x,yeR）,则炉+2y的最小值

为.

【答案]2友

3

,2_x2+2y2

【解析】设％二rCOS。，y=—rsinO,所以炉+2丁2=/，所以—+2y

2X1—xy+y2

,2

1

r2cos2x-r2sin0cos0+—r2sin20cos2x-sin0cos6,+—sin20

2222

11

；(I+c°s2e)/sinec°se+；(lY°s2e)：+*2"fsin2。

1

3石3in（28犷其中。满足tan0=血，所以—lWsin（2<9—0）K1,所以

41

士卫立sin（2j）〈方卫-----<------

，所以3+后3_71

444v74sin(2。-0)"S.

44

即晨3Vx?+2/三六^，所以Y+2出^1=2（3J）=6不,所以Y+2/的最小值为

6-2百

3*

故答案为："8

3

21.（2023•天津滨海新•校联考模拟预测）已知x>0,y>0,则3表/+不会的最大值

是.

【答案】芈

2।1x3Q+2)2

【解析】先化简原式为二上空再换元设"一。>。)得原式——%,再换元设"二1+—("0)得

I'V254/

yxyxt+5+3

32xyxy_21

原式可化为一r,再利用函数单调性得到函数的最大值.X2+4/+X2+/=X4J+777,设

u+——+——+—

uyXyX

x

r=-(r>0),

y

2

j212tt3(f+203Q+])

所以原式=-v+一f=芸一T+——7=7—乙一7二------T

彳+^t+-'+4r+1r+5r+4产+5+巧

2

令〃=r+—Q>0),〃22A/2.

t

3〃_3/33_2A/2

所以原式=k=7-亳。=际=丁•

u2V24

(函数y=W+—it[2A/2,+OO)上单调递增)

U

故答案为：还

3

22.(2023•全国•高一专题练习)已知正数名"。满足"=廿+，，且/—3//—4/=0,求工的值.

a

【解析】•••a4-3aV-4^=0，

二两边同时除以"得1一3(£|14(£|4=0,

设x=得4了2+3%一1=0,解得x=；或％=—1(舍去)，

Va2=b2+c2，

a2

・题型05复数的四则运算

23.（2023•上海•高三上海市宜川中学校考期中）已知复数z满足z2=Z，则复数z的个数为（）

【答案】D

【解析】设z=a+bi（4力eR）,

•・,复数z满足z2=J

，（〃+折『=a-bi,

化为a2-b1+2abi=a-bi,

6Z2—Z?2=a.fb=O

/J,7解得।_八十［，

2ab=—b-0或1

.,.2=0,或1,或」土立i.

故选：D.

24.（2023•江西•高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足z（3+4i）=|2#-i|,贝氏=（）

【答案】A

J（2«y+（-_5（3-4i）

【解析】由z（3+4i）=|2#-i|,得2=

------1,

（3+4i）（3-4i）5

所以-z3=4+.i,

故选：A.

25.（2023•广西南宁•统考模拟预测）已知复数z满足（4+3i）z=-i,贝卜的虚部为（）

【答案】A

-i-i（4-3i）34

［解析］因为（4+3i）z=—i,所以z=------=-~7=-----------i,

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虚部为-二.

故选：A.

26.（2023•四川成都•校联考一模）已知i为复数单位，过9=2+i,贝|z=l+tri的模为（）

1-1

A.6B.1C.2D.4

【答案】A

【解析】由苧%=2+i可得3+〃i=（2+i）（l—i）=3-i,所以q=-l,

1-1

所以Z=l—i，则上|=J12+（_1）2=叵.

故选：A.

27.（2023•湖南郴州•统考一模）已知复数-3+2i是方程2/+12x+4=0的一个根，则实数Q的值是

（）

A.0B.8C.24D.26

【答案】D

【解析】由复数-3+2i是方程2/+12x+g=0的一个根，

得2（-3+2i『+12（-3+2i）+q=0,

解得=26,

故选：D.

・题型06复数的几何意义

28.（2023•江西赣州•统考二模）已知复数z满足|z+i|=l（i为虚数单位），则|z-i|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】设复数Z在复平面中对应的点为Z，

由题意可得：|z+i|=|z-（-i）|=l,表示复平面中点z到定点c（o，T）的距离为1,

所以点Z的轨迹为以c(o，-0为圆心，半径r=l的圆，

因为|z-i|表示表示复平面中点Z到定点8(0,1)的距离，

所以伊Cj+r=2+l=3,即|z—i|的最大值为3.

故选：C.

29.(2023•湖南郴州•统考模拟预测)设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且目=2,卜+目=2,

则］的值为()

A.1-亚B.1+疯

C.V2-V2iD.V2+V2i

【答案】A

【解析】由题意设z=a+bi(a>0,3>0),

由|z+三|=|2。|=2,

得a=1,

因为忖=2,

所以J/+〃=6+k=2O>o),

解得b=>13,

所以z=1+A/3?,

所以三=1一行.

故选：A.

•2023

30.(2023•江苏常州•常州市第三中学校考模拟预测)已知复数2=2泮2+=，,为虚数单位，则复数z

1+i

在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】因为复数z=2i?022+土=-2--—=-2-z=-2-—=

kg"，一々军以i+il+i(l+i)(l-i)222

所以复数z在复平面内所对应的点为(-*-：,该点位于第三象限.

故选：C.

31.(2023•内蒙古赤峰•统考二模)棣莫弗公式［r(cos9+isin初"=r〃(cos〃仇isii)M,(i是虚数单