高考数学二轮复习：函数与导数

专题二函数与导数(练基础)——高考数学二轮复习全程专题训练

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.函数y=、2x-3+'的定义域为()

x-3

A.T，+s]B.(—S,3)U(3,+8)C.|,3]U(3,+S)D.(3,+S)

1.答案：C

解析：由题意知-"―3,0，解得且x/3.

x—3w0,2

03

2.设a=log2().3,&=logl0.4,c=0.4,则a,b,c的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

2.答案：D

解析：因为a=log2().3<log21=0,6=log]0.4>log]工=1,0<c=0.4°3<0.4°=1,所

252

以a<c<b.

3.设函数/COnFrX'XV。'若/(/(a))<2,则实数。的取值范围是()

-x,x>0,

A.[-2,+oo)B.(-oo,-2]C.(-oo,V2]D.(V2,+oo)

3.答案：C

解析：函数/(x)的大致图象如图所示，因为/(/(a))<2,所以/(a)2-2.当xNO时，

4.已知募函数/(x)=(疝-3m+3)x""i为偶函数，若函数8(%)=/(%)-2晨在［2,4］上单

调，则实数。的取值范围为()

A.(2,+co)B.(-OO,2]U[3,+CO)

C.(9l)U(2,y)D.(l,3)

4.答案：B

解析：依题意有“-3机+3=1,解得m=1或m=2.又函数/(%)为偶函数，故加+1为

偶数，则m=1,所以/(%)=必，g(x)=x2_*x,若单调递增，则日三2,若单调递

减，则故2"<4或2"28,解得aW2或。23.

2

故选：B.

5.[2023春•高一•湖北孝感•开学考试]已知定义在R上的奇函数/(x),当％之0

10gl(x+l),xe[0,1),

时，/(%)=J5则函数/⑺=/(x)-a(0<a<l)的所有零点之和为()

1-1x-3|,xe[1,+oo),

A.2"-1B.Ta-lC.l-2flD.l-2a

5.答案：D

解析：画出函数y=/(x)和y=a(0<a<l)的大致图象，如图所示.由图可知两函数的图

X

象共有5个交点.设其交点的横坐标从左至右分别为国，*3，4>尤5，则

号=一3,^^=3,所以药+々+%+毛=0・又”TO)，fe(0」)，且/⑴

是奇函数,所以/(毛)=-/(-与)=-logi(-演+1)=。，所以％3=1-2",所以

2

为+*2+*3+*4+%5=1—2"，故选D.

%

为W惇i基薄)

6.已知/(x)=d-3x,过点A(l,〃z)(〃zw-2)可作曲线y=/(x)的三条切线，则实数机

的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-2,3)C.(-1,2)D.(-3,-2)

6.答案：D

解析：设切点为(b-3/).>(尤)=3]一3,则切线方程为y=(3/—3/3/,整

理得y=（3r—3）x—2r.把A（l,M代入整理，得2/—3/+〃?+3=0①.因为过点A可作三

条切线，所以①有三个解.记g⑺=2/一3/+根+3,则g，⑺=6产—6/=6^—1）.当

0</<1时,g'⑺<0,g⑺单调递减；当/<0或/>1时,g'⑺>0,g⑺单调递增.所

以g⑺在f=0处取得极大值g（0）=m+3,在/=1处取得极小值g⑴=m+2.要使g⑺有

三个零点，只需加+3〉。且帆+2<0,BP-3<m<-2.

7.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企

业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减

少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放

的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3,第附次改良工艺后排放的废水中含有的污染

物数量/满足函数模型/="+亿—其中4为改良工艺前所排

放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数

量，〃为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水

排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数

据：1g2ao.30,1g3ao.48）

A.15次B.16次C.17次D.18次

7.答案：B

解析：由题意知石=2.25g/n?在=2.21g/n?,

25

当〃=1时，4=“+在―/卜？。”,故30-25+「=1,/=—0.25,

故12.25-0.04X3°25（"T）,

由/<0.25得3°-25（n-1）>50,即0.25（〃一1）>詈，

则“2~^^-+1«15.17,而“eN*,故〃216,

坨3

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，

故选：B.

8.已知函数/（%）=2x+sinx,若+20对xe（0,2］恒成立，则实数a

的取值范围为（）

A.[l,+8)B.[2,+00)C.[l,2]D.(1,+OO)

8.答案：A

解析：由题意，函数/00=2%+5m》的定义域为区，且满足/(-x)=-/(x),所以函数

/(%)为奇函数，且/'(x)=2+cosx>0,所以函数/(x)为R上的增函数.

若/[lnx+£|+/(—1)20对xe(0,2]恒成立，则f^lnx+1^>/⑴对xe(0,2]恒成立，

即lnx+q21对xe(0,2]恒成立，即对xe(0,2]恒成立.

设〃(x)=x-xlnx,xe(0,2],可得〃(x)=-lnx,当0<%<1时，h'(x)>0；当1<XW2

时，〃(x)<0,所以力(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减，所以

“(X)max=3)=1，所以a21,即实数a的取值范围为工内).故选A.

二、多项选择题

9.将正数x用科学记数法表示为x=axlCT,ae[1,10),meZ,则lgx=〃z+lga,我

们把如Iga分别称为Igx的首数和尾数.若将Igx的首数记为S(x),尾数记为W(x),

则下列说法正确的是()

A.W)e[0,l)B.W(x)(x>0)是周期函数

C.若x,y>0,贝US(移)2S(x)+S(y)D.若x>y>0,贝—=W(x)-W(y)

9.答案：AC

解析：对于A,因为ae[l/。)，所以W(x)=lgae[0,l),故A正确.

对于B,若y〉0且W(y)=W(x),必有y=x40气左eZ),不可能存在非零常数T,使

得x+T=x40*恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误.设x=axl(F,y=bxlOn

(a,be[1,10),m,zieZ).

对于C,有S(x)=根，S(y)=〃，xy-abx10m+,!1<aZ?<10,则S(孙)=wi+”；若

/1K)

10<«/?<100,则肛=号10"1,此时S(孙)=m+〃+1,所以S3)2s(x)+S(y),故

C正确.

对于D,有W(x)=lga,W(y)=lg有-=-xlOm-"；^1<-<10,则

ybb

W(^]=lg-=lga-\gb；若工<@<1,则二=物义10，"-1,止匕时

⑴h10byb

10a

W二=lg——=\ga-\gb+l,所以W->W(x)-W(y),故D错误.

⑴bUJ

10.已知函数/(x)=e'-ax2(。为常数)，则下列说法正确的是()

2

e

A.若/(x)有3个零点，则a〉]

B.当a=|时，]=1是/(x)的极值点

C.当a=1■时，/(x)有唯一零点飞,且-l<x0<-g

D.当a=l时，/(x)20恒成立

10.答案：AC

解析：令/(x)=e*-⑪？=0,贝U==a(xw0).记g(x)=^,则g'(x)=^~,所以

XXX

g(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且

2「e?、，

g(2)=—e，所以当xe(—oo,0)时，g(x)G(0,-H»),当xe(0,+oo)时，g(x)e一,+oo.若

4[4J

2e

/(x)有3个零点，则a〉一e，故A正确.当a=—时，/'(x)=e*-ex,令

42

h(x)-ex-ex,则〃(x)=e*-e,所以力(x),即尸(x)在(l,+oo)上单调递增,在(-8,1)上

单调递减，所以当x=l时，r(x)取得最小值0,即r(x)20,所以/(x)在R上单调

递增，无极值点，故B错误.当a=1■时，/(x)=ex-^x2,f\x)=cx-x,令

m(x)-ex-x,则加(x)=e"-1,所以m(x),即/'(x)在(0,+oo)上单调递增，在(-8,0)

上单调递减，所以当x=0时，/'(x)取得最小值1,即广⑴>0,所以/⑴在R上单

调递增，又/(—1)=。—!==<0,且在>0,所以由零点存在

22eI2)8

定理可知C正确.当a=l时，/(x)=e-Y,y(_i)=e-i_i=lz£<0,故D错误.

e

三、填空题

11.已知定义在R上的函数/(X)在上单调递增，若函数/(X+1)为偶函数，且

/(3)=0,则不等式犷'(x)>0的解集为.

11.答案：(7,-1)U(O,3)

解析：由函数/(X+1)为偶函数，知函数/(X)的图象关于直线X=1对称.又函数/(X)在

(Y0』］上单调递增,知函数/(x)在(1,4W)上单调递减,由/⑶=0,知/(-1)=0,作

x>0,_p,fx<0,

出函数的大致图象如图所示.因为对'(x)>0o所以结合图象可知

/(%)>0〜l/(x)<0,

#(%)>0的解集为(f),-1)u(0,3)•

12.若关于x的不等式a(x-有且只有3个正整数解，则实数。的取值范围

解析：由a(x-l)e=/<0,不等式可化为—.设/(x)=：,则

ee

r(x)=x(2-X),当0<%<2时，/(幻>0,/(x)单调递增，当x<0或x>2时，

ex

f'(x)<0,/(%)单调递减，当xf+oo时，/(x)-0,xf—s时，

/(x)f+8.y=a(x-l)为过定点(1,0)的动直线，在同一平面直角坐标系内作出函数的

大致图象，如图.

不等式a(x-1)<乂有且只有3个正整数解，结合图像可知，只需满足［"">"©-I)，

ex［/(4)<a(4-l),

解得/即当白时,

«(x-l)el-x2<0有且只有3个正整数解

1,2,3.

13.已知集合”是具有以下性质的函数/(x)的全体：对于任意s,r〉0都有

f(s)>0,/⑺>0,且f(s)+于3</(s+/).给出下列四个结论：

①函数g(x)=k>g2(x+l)属于M；

②函数丸0)=2-1属于M；

③若于(X)eM,则/(x)在区间(0,+oo)上单调递增；

④若/(x)eAf,则对任意给定的正数s,一定存在某个正数/,使得当xe(0j］时，恒

有/(x)<s.其中所有正确结论的序号是.

13.答案：②③④

解析:对于①，g(x)=log2(x+l),则

g(S)+g⑺=log2(5+l)+log2(r+l)=log2(5+l)(r+l)

=log2(s/+s+t+l)>log2(s+/+l)=g(s+t),所以g(x)=log2(x+l)不属于M,所以①错

误，

对于②,h(x)=2x-l,则当s>0,/>0时,丸(s)=2,—1〉0,帕)=2'—1〉0,

h(s)+h(t)一/z(s+。=2、—1+2’—1—2s+,+1=(2、—1)(1—2’)，

因为s>0,t>0,所以2、—1>0,1—2'<0,

所以丸⑸+h(t)—h(s+/)<0,所以f(s)+f(f)<f(s+1),

所以/2(x)=2*-l属于M,所以②正确，

对于③，因为/(x)eAf,所以对于任意s,f>0都有/(s)>0,/⑺>0,且

所以/(s+t)-/(”/(s)>。，

因为s+/>/>0,所以/(x)在区间(0,+8)上单调递增，所以③正确，

对于④，对给定的正数s,若/⑴<s,贝I取，=1,使得当xe(0用时，由③单调性恒有

f(x)</(I)<s.^/(I)>s,因为对于任意s,『>0都有/(5)>0,f(t)>0,且

/(6)+/«)</(6+。.所以2/(；)<〃1),/(；)<与，同理可得/(*)<手，

/(《)〈与，…，/(：)<与D，所以存在4eN+，曙<s,则取"小，使得当

乙乙乙乙乙乙

xe(Oj］时，由③单调性恒有/(%)</«)<s.综上可得④正确，

故答案为：②③④

四、解答题

14.已知函数/(x)=(2-a)lnx+L+2ax.

X

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)当ae(-8,-2)时，若存在不当e口2］,使得

|/(^)-/(^2)|>(m+In2)a-2In2+ln(-a)成立,求实数m的取值范围.

14.答案：⑴若。之0,则/(x)在上单调递减，在，,+s］上单调递增；

若a=-2,则/(x)在(0,+8)上单调递减；

若-2<a<0,则/(%)在上单调递减，在上单调递增，在:+oo］上单

调递减；

若2,则/(幻在,,-£|上单调递减，在上单调递增，在、,+s］上单调

递减

⑵&2收］

解析：(1)函数/(X)的定义域为(0,+8).

广(X)=+2a=Qx-iy+l).

XXX

若「20,贝I依+1>0,令/'(x)=0,得x=g，

当时，f'(x)<0,/(x)单调递减；

当xe［g,+oo)时，f\x)>0,/(x)单调递增.

若a<0,令/(x)=0,得％=工或犬=-工，

2a

若a=-2,则/(©WO对xe(O,+s)恒成立，且仅有广出=0,

所以/(%)在(0,+8)上单调递减；

若-2<a<0,则一<—,

2a

所以当xe,,；,寸，/'(x)<0,/(幻单调递减,

尸(x)>0,/(x)单调递增,

当时，/'(x)<0,/(x)单调递减；

若a<—2,则,〉—L所以当xe(0,-工］时，尸(x)<0,/(x)单调递减，

2a<a)

当时'/'(幻>°，/CO单调递增，

当xe［g,+oo］时，f\x)<0,/(x)单调递减.

综上，若。》0,则/(x)在上单调递减，在上单调递增；

若a=-2,则/(x)在(0,+8)上单调递减；

若-2<a<0,则/(x)在上单调递减，在上单调递增，在+00上单

调递减；

若a<-2,则/⑴在/,-£|上单调递减，在上单调递增，在心,+s

上单调

递减.

(2)因为ae(-8,-2),所以-工/!」］,即/(%)在［1,2］上单调递减，

a\82;

所以当xe[l,2]时，/(x)1mx="1)=1+2a，/(%焉=/⑵=(2—a)ln2+g+4a

所以|/(%)-/(々)|,皿=/⑴—八2)=g+(”2)ln2—2a,

所以L+(a-2)In2-2a>m(2+^ln2—21n2+—ln(—4z),

即m>I"-。)—2对ae(—8,—2)恒成立.

2a

设9(a)JTn(_a)_2,ae(-8,-2),

2a

则(p\a)=1"2_2,令=0,得a=-e2,

2。

当a£(-8,-匕2)时，0(a)>0,0(a)单调递增,

当aw(-e2,-2)时，(p\a)<0,9(a)单调递减,

所以。⑷皿=9(-e?)=，-2,

所以实数机的取值范围为

e

15.已知函数/(x)=---Vax+x-a.

x

(1)若/(x)20,求a的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点七，4，则%％<1.

15.答案：(1)(-oo,e+l]

(2)证明见解析

解析：(1)由题意知函数/(幻的定义域为(0,+8).

由广⑴«(xT)1门e*(x-l)r+f(e'+x)(x-1)

X2XX2X2

可得函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(L+oo)上单调递增,

所以/(x)mm=〃l)=e+l—a-

又/(x)20,所以e+1—a»0,解得aWe+1,

所以a的取值范围为(-oo,e+l].

(2)方法一：不妨设石<々，则由(1)知0<%<1<々，—>1.

令F(x)=f(x)—f

—J—l]

贝IJF\x