等比数列性质归类（14题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题15等比数列性质归类

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目录

题型一：等比数列定义............................................................................1

题型二：等比数列通项公式........................................................................2

题型三：等比数列In与Sn的关系................................................................3

题型四：构造等比数列求通项公式..................................................................4

题型五：等差等比“纠缠数列”....................................................................5

题型六：等比数列“指数型中点”特性..............................................................6

题型七：等比数列单调性.........................................................................7

题型八：不定方程型计算.........................................................................8

题型九：等比数列不等关系“平衡点”..............................................................9

题型十：前n项和的“等距”性...................................................................10

题型十一：等比数列最值型.......................................................................10

题型十二：性质求范围型........................................................................11

题型十三：数列与导数...........................................................................12

题型十四：等比数列综合.........................................................................13

^突围・檐;住蝗分

题型一：等比数列定义

指I点I迷I津

等比数列判定方法

(1)定义法："欲证等比，直接作比"，即证白卫=式4^0的常数)。数列｛斯｝是等比数歹U；

(2)等比中项法：即证忌+1=斯•斯+2(斯。"+1斯+2彳0,"GN*)Q数列｛斯｝是等比数列.

1.(23-24高三上•山东•阶段练习)记非常数数列｛%｝的前"项和为5“，设甲：｛%｝是等比数列；乙：s“=网,+C

(BwO,1,且CwO),贝U()

A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分不必要条件

C.甲是乙的必要不充分条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

2.（22-23高二下•辽宁鞍山•阶段练习）数列｛4｝的前w项和S"=3"+1,则｛%｝（）

A.是等差数列B.是等差数列也是等比数列

C.是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列

3.（2023•河南郑州•二模）已知正项数列｛%｝的前凡项和为S“，且4=2,S„+1（S"+「3"）=（邑+3”）,则S2023=

（）

&2023.1Q2022I

A.32O23-1B.32023+lC.-——D.-——

22

4.（2023•新疆喀什•模拟预测）已知等比数列｛〃"｝的前"项和为S〃，且S“=33"-l,则%=（）

A.54B.93C.153D.162

5.（21-22高三下•北京•开学考试）若数列｛4｝满足4=-1,贝〃\/机，“eN*,4“+“=44"是"｛%｝为等比

数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：等比数列通项公式

;指I点I迷I津

;等比数列公式

（1）通项公式：斯=2应二1；

nay9q=1,

（2）前"项和公式：S„=-〃i（l一"a\~aq

[Lql-qn

1.（24-25高三上•广东•阶段练习）已知数列｛4｝满足q=1,前”项和为S”，a”+「a“=2"（weN*）,贝等

于（）

A.22024-1B.3x21012-1C.3X21012-2D.3X21012-3

2.（23-24高二下•内蒙古呼和浩特•阶段练习）数列｛5｝满足％=1,a„=3a„_1+l,n>2,则%=（）

+1

3"1n3"1°3"T1c3"1

22222222

3.（23-24高三•辽宁辽阳・模拟）若等比数列｛即｝满足4口角=左'（左＞1）,则其公比为（）

A.kB.-s]kc.&D.+4k

4.（24-25高三•全国•模拟）在公比4为整数的等比数列｛%｝中，S“是数列｛%｝的前〃项和.若％%=32,

%+%=12,则下列说法不正确的是（）

A.q=2B.数列｛5〃+2｝是等比数列

C.58=510D.数列｛母为｝是公差为2的等差数列

5.(23-24高二下•山东青岛•阶段练习)已知数列｛风｝满足4=2,a2=-l,数列｛3%+%+J是公比为2的等

比数列，则4=()

A.3"-1+(-2)"-1B.3"+(-2)"C.2"-123+(-3)"-1D.2"+(-3)"

题型三：等比数列与Sn的关系

T旨I点I迷I津

涉及到an与sn组合型递推，一般情况下，可以借助通项an与前n项和Sn的关系再写一个做差，消去

；sn再递推求解。

:通项an与前n项和Sn的关系是：

[SLn=l,

!an=1

[Sn—Sn—1,n22.

：等比数列前n项和

S=.（＞,"）=三——生八r-rq”„

（2）数列｛an｝是等比数列，Sn=】一。1一“，Sn为「一国型线性指数函数。

1.（2024,全国•模拟预测）记S“为数列也,｝的前〃项和，贝〃｛4｝为等比数歹！J"是"（S”+「Sj2=S“（S“+2-Sj”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（21-22高三重庆沙坪坝•模拟）设等比数列｛《，｝的前〃项和为S“，5“=。一（_；],若不等式KWS.WN

对任意的“eN*恒成立，则N-K的最小值为（）

317

A.1B.-C.2D.—

412

3.（22-23高三・浙江绍兴•模拟）已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，则点歹在同一坐标平面

内不可能的是（）

4.（21-22高三•黑龙江绥化•模拟）已知数列｛q｝的前"项和为S“，q为常数，贝V数列｛%｝是等比数歹!J"为

“5用=恭”+%"的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

5.（21-22高三河南•阶段练习）设数列｛4｝的前〃项和为S“，若S”=2a“-2〃+1,贝监产（）

A.2"-23B.210-19C.3x210-23D.3x29-19

题型四：构造等比数列求通项公式

指I点I迷I津

等比数列求通项公式：

1.如果sn有，则Sn为r—rq”型线性指数函数。

2.an+^Aa„+B（A,8为常数）型递推式可构造为形如%+彳=4（4+4）的等比数列.

3.倒数变换法，适用于纥+1=口1（A,B,C为常数）可以取倒数，构造新的递推公式，CD

8a+c1\yD

n---=——+—

a〃+iA

即▲=c—+P型,解法回归到构造等比数列技巧中

a〃+lan

4.如果是前n项积

可以类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：

（1）.n=l,得at

忆，（n=l）

⑵.n22时，a'=’所以a"=<£小〉力

1.（21-22高三•浙江台州・模拟）已知数列｛%｝满足：at=a,a„+1=^~,,则下列说法正确的是（）

A.｛%｝一定为无穷数列B.｛%｝不可能为常数列

n-1

C.若"=g，则为可能小于1

D.若〃=2,贝+

2.(24-25高三全国•模拟)已知数列｛氏｝满足递推公式%=3〃3，且％=1，贝!jQiX/x/x…*。99*%00=)

3.(23-24高三•云南大理•阶段练习)已知数列｛%｝满足：an+leR,«eN*),且则下列说

法错误的是()

A.存在aeR,使得数列为等差数列B.当。=-1时，a200=3

C.当a=2时，％<%<%<…<%<0D.当a=4时，数列［""+；］是等比数列

4.(2024•全国•模拟预测)已知数歹U｛。“｝满足4=1,%=La“+i=2a,,+3an_,(n>2),数列｛凡｝的前〃项和为S“,

则/23=()

5.(20-21高三•海南海口•阶段练习)已知函数y=/(x)的定义域为(0,+8),当x>l时，fW>0;对任意

的x,ye(0,+s),f(x)+f(y)=/(x.y)成立.若数列｛《｝满足％=〃1)，且f(%)=f(2a.+l)(〃eN*),则劭加

的值为()

1009101020192020

A.fl-lB.a-lC.2-1D.2-1

题型五：等差等比“纠缠数列”

;指I点I迷I津

'等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。

1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。

2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。

1.(2023•四川南充•模拟预测)若sin2x,sinx分别是sin。与cos。的等差中项和等比中项，则cos2x的值为

A1+后R1-733_1±733「［-逝

8884

2.（21-22高三•黑龙江齐齐哈尔,模拟）S“是公比不为1的等比数列｛%｝的前"项和，Sg是S3和$6的等差中

项，S⑵是%,和几九“的等比中项，则力的最大值为（）

3.（14-15二•广东东莞・模拟）已知a=sin60。，b=cos60°,A是a、6的等差中项，正数G是。、b

的等比中项，那么“、b、A、G的从小到大的顺序关系是（）

A.b<A<G<aB.b<a<G<A

C.b<a<A<GD.b<G<A<a

4.（10-11高三•福建三明•阶段练习）国ABC中，角A,民C成等差，边a1,c成等比，贝峋A3C一定是

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.（21-22高三宁夏银川•阶段练习）若四个正数Gd成等差数列，x是。和d的等差中项，V是6和c的

等比中项，则x和丫的大小关系为（）

A.B.无2yc.D.%<y

题型六：等比数列“指数型中点”特性

；指I点I迷I津

:等比数列“指数型中点”性质：

（1）”指数型中点”技巧：若p+q=«j+",则踊•%=加•斯,特别地，若p+q=2A,则a。•♦=加；

（2）“跳项”等比：数列斯，a,l+k,an+2k,斯+3%，…为等比数歹U，公比为/

（3）“和项”等比：数列S”S2n-Sn,S3”一S2"仍成等比数列，其公比为q".

1.（23-24高三•北京•模拟）等比数列｛4｝的公比为％%>0,贝>%"是"4>1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

2.（22-23高三・江苏苏州•模拟圮知等差数列｛%｝公差dH0,数列也｝为正项等比数列，已知4=%%=%，

则下列结论中正确的是（）

A.a2>b2B.a6cb6

C.ag>b8D.Oj2>bn

3.（21-22高三•全国,模拟）已知等比数列｛即｝中，公比q=2,若%gy..%o=2%则,佝...%）等

于（）

A.210B.220C.216D.215

4.（2021•浙江杭州•模拟预测）已知等差数列｛叫公差不为0,正项等比数列｛〃,｝,a2=b2,al0=bt0,则以

下命题中正确的是（）

A.>b[B.a5>b5C.a6Vb$D.«17>b„

5.（20-21高按•浙江•模拟）已知数列｛%｝是公差不为零的等差数列，例｝是正项等比数歹U，若％=仿，%=%

则（）

A.%=&B.as<bsC.g>"D.a9<b9

题型七：等比数列单调性

指I点I迷I津

等比数列与函数的关系

⑴数列｛斯｝是等比数列，斯=研已通项斯为指数函数：即斯

sn=^£l=^i——生矿=.可“

（2）数列｛an｝是等比数列，Sn=………,Sn为「一国型线性指数函数。

（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型

1.（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列｛%｝满足4>。，公比4>1,且log,q+log,%+…+log,a2O24<0,

n

log2tZ]+log2a2+.••+log2a2025>0,则当q4…4最小时，=（）

A.1012B.1013C.2022D.2023

2.（23-24高三•北京顺义模拟）数列｛%｝是等比数列，则对于"对于任意的7〃EN*,4+2>4"是"他“｝是递增

数歹『’的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分也不必要

3.（23-24高三湖北•开学考试）已知数列｛%｝是等比数列，则"存在正整数左，对于VfeN*,恒成立”

是："｛〃"｝为递减数列"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（23-24高三下•山东•开学考试）已知数列｛g｝是以4为首项，4为公比的等比数列，则"q（1-q）>。"是"｛%｝

是单调递减数列"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（23-24高三上•安徽合肥•阶段练习）已知数列｛叫是无穷项等比数列，公比为4,则"4>i是"数列｛%｝单

调递增"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

题型八：不定方程型计算

指I点I迷I津

设首项与公比，作为变量列方程，构造比例转化关系。

求解时，涉及到前n项和时，要注意讨论公比是否为1特殊情况

————————.———―«—————————————————————.——————————————————―——————————«———J

1.（23-24高三•广东揭阳•阶段练习）已知数列｛厮｝为等比数列，3为数列的前"项和.若3%，。，5%成等

差数列，则10-（)

〃5十。6

1211131211

A.----B.—C.—D.——

94436

2.（23-24高三•吉林松原•模拟）设等比数列｛%｝的前”项和为S”,且鼻=3邑+S-则｛4｝的公比q为

（）

A.1或一3B.1或3C.—1或-3D.-1或3

3.（23-24高三•河南省直辖县级单位•阶段练习）等比数列｛。,｝的前”项和为S“，且率=4,则［=（）

（高三上•河南三门峡•阶段练习）已知正项等比数列｛｝的前"项和为若一岳。成等差

4.23-244S"，3,S5,

数列，则几的最小值为（）

A.8B.9C.10D.12

5.（23-24高三上•四川成者卜阶段练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且数列｛%-｝*=1,2,3）是等差数

41414

A.1或7B.1或彳C.2或7D.彳或彳

33333

题型九：等比数列不等关系“平衡点”

"旨I点I迷I津

:等比数列“平衡点”型不等式

;等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考：

1.若p+q=m+〃，则dp•%=而・an,特别地，若p+q=2k,贝U0V・%=〃/

2.如果等比数列是正项递增数列，则若p+q>m+〃，则&•%>丽•斯.

।__________________________________________________________________________________________________

1.（21-22高三•湖北•阶段练习）设等比数列｛〃.｝的公比为小其前〃项和为前几项积为7；,并满足条件

%>1,%021%022>1，%<0,下列结论不正确的是（）

“2022T

A.*^2021<§2022B.%020%022—1<。

C.或21是数列区｝中的最大值D.数歹|J｛TJ无最小值

2.（22-23高三广东深圳•模拟）设等比数列也,｝的公比为4,其前〃项和为S“，前”项之积为1,且满足%>1,

出020・%）21>°，（%）20—则下列结论中正确的是（）

A.B.。厂。4041-1>。

C.心切是数列｛瑁中的最大值D.S2020>S2021

3.（22-23高三•辽宁•模拟）设等比数列｛4｝的公比为4,其前〃项和为S“，前〃项积为T.，且满足条件%>1,

“2022'a2023>1，（^2022—0'（^2023—,则下列选项不正确的是（）

A.｛4｝为递减数列B.S2022+l<52023

C.弓22是数列｛1｝中的最大项D.7；045<1

4.（20-21高三河南郑州•模拟）设等比数列5｝的公比为模其前〃项和为s”,前〃项积为胃,并且满足条

件4>1,a6a7>1,忙!<。，则下列结论正确的是（）

%一I

A.a6as>1B.0<q<lC.S”的最大值为S?D.的最大值为刀

5.（2021高三•全国•专题练习）设等比数列｛%｝的公比为分前w项和为S.，前〃项积为空，并满足条件

a；>l,a2021.a2022>1,（火回T>（%）22T）<°，则下列结论中不正确的有（）

A.q>l

B.S2022>S2021

C.%021，%023<l

D.乙21是数列｛瑁中的最大项

题型十：前n项和的“等距”性

指I点I迷I津

“等距”等比：数列S”S2LSn，S3”一S2”仍成等比数列，其公比为等.

1.（20-21高三嘿龙江哈尔滨•开学考试）设等比数列｛q｝的前"项和为%若芟=4,则於（）

%d6

2.（21-22高三・河北唐山・模拟）设S,是等比数列｛%｝的前〃项和，若柒=3,贝!]*=（）

73

A.2B.-C.—D.1或2

310

3.（23-24高三河南•开学考试）已知等比数列｛叫的前〃项和为%若$5=12,兀=48,则S?。=（）

A.324B.420C.480D.768

4.（21-22高三下•江西・开学考试）设等比数列｛g｝的前〃项和为S,，若兀：§5=1:2,则几：工等于（）

A.3:4B.2:3C.1:2D.1:3

5.（2023•云南昆明•模拟预测）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和为S〃，若S4=4,则S2+56的最小值为（）

A.8B.8^-4C.8应D.10

题型十一：等比数列最值型

:指I点I迷I津

判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法：

（1）作差比较法：当%+「为>0时，｛%｝递增；当%+「4<0时，｛4｝递减.

（2）作商比较法：若%>0,则当—>1时，｛q,｝递增；当―<1时，｛%｝递减.

anan

（3）函数图象法：设a”"“），则可用函数y=的图象来研究数列｛〃“｝的单调性

_—————————_—_——______————————————————————————_—__

1.（2023•江西赣州•一模）若等比数列｛4｝的公比为4,其前〃项和为S“，前〃项积为并且0<佝<1<%，

则下列正确的是（）

A.q>iB.0<%<1

C.S”的最大值为&D.1的最大值为n

2.（21-22高三四川成都•阶段练习）在各项都为正数的等比数列｛““｝中，已知%=512,其前“项积为1，

且G=",则1取得最大值时，〃的值是（）

A.9B.8或9C.10或11D.9或10

3.（2023高三•全国・专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列｛q｝的公比为4（q<0）,前〃项和为S.，

若>0，贝U（）

A.数列电｝无最大项B.数列6｝有最小项为S?

C.数列电｝是递增数列，D.数列电｝最大值为言

4.（23-24高三•福建漳州•模拟）已知正项等比数列｛斯｝的前〃项积为且％>1,则下列结论正确的是（）

A.若北=黑，则几>1B.若丁6="，则（《北

C.若”<[,则”<〈D.若《<4，则

5.（22-23高三江西萍乡•阶段练习）已知数列｛%｝为等比数列，函数

/⑺二耳左一%乂%-%）。-%）…（尤一/97）（无一佝8）的导函数为/'lx），/'（。）=1，若4>0>｛«„｝的公比”1,

则当｛q｝的前〃项乘积最小时，〃的值为（）

A.499B.500C.498或499D.499或500

题型十二：性质求范围型

指I点I迷I津

等比数列与函数的关系

（1）数列｛斯｝是等比数列，斯=〃吗叫通项斯为指数函数：即斯=〃1/；

S=%（1-心=扫——生q"=r-rq"„

（2）数列｛an｝是等比数列，Sn=………,Sn为「一国型线性指数函数。

（3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型

1.（24-25高三上•湖南长沙•阶段练习）已知等比数列｛4｝的公比为Q,前”项积为Tn,若q=256,

且VnGN*,几w8,均有Tn<Ts,则q的取值范围是（）

_4、

A.2327B.-?-27u27,-

I77\2J

「/1、4A

C.23,-D.3

27->27\2J

2.（2023•全国•模拟预测）已知等比数列㈤｝的前5项积为32,1<q<2,则q+乎全的取值范围为（）

A.卜[JB.（3,+s）C.[3,+4口.卜总

3.（22-23高三•河南南阳・模拟）已知正项数列｛。,｝是公比为;的等比数列，数列｛〃｝的通项公式为£=|.若

满足%>bn的正整数n恰有3个，则卬的取值范围为.

4.（2023上海嘉定•三模）已知｛4｝是递增的等比数列，且％+a3=T，那么首项的取值范围是.

cd

5.（21-22•河南•模拟）己知x>。，y>0,x,a,b,成等差数列，x,c,d,'成等比数列，则7一币"

的最大值是（）

A.0B.1C.2D.-

4

题型十三：数列与导数

1.(22-23高三下•河北石家庄•阶段练习)已知函数“尤)是定义在(F,O)U(O,y)上的奇函数，且当x>0时,

/(x)=e'-依+d.若存在等差数列X],x2,%，x4(xl<x2<x｝<x4),且占+%=0,使得数列

｛/(招)｝("=1,2,3,4)为等比数列，则。的最小值为()

13331

A.-e+-eB.-e3J+-e

4444

3

_e+e231

C.----D.-eJ