多边形的面积几何模型篇之一半模型-2024-2025学年苏教版五年级数学上册典型例题（解析版）

2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列

第二单元多边形的面积•几何模型篇•一半模型【六大考点】

函【第一篇】专题解读篇

目专题名称第二单元多边形的面积几何模型篇•一半模型

邕专题内容本专题以一半模型为主，其中包括六种常见问题。

回总体评价★★★★★

京讲解建议几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，

其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，

因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解

部分考点考题。

品考点数量六个考点。

匿【第二篇】目录导航篇

30【考点一】一半模型问题一：犬齿模型.........................................3

v，0【考点二】一半模型问题二：锯齿模型.........................................5

30【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型..........................7

【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型...........................io

30【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型...........................13

【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖.................................16

a【第三篇】典型例题篇

30【考点一】一半模型问题一：犬齿模型。

■【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然,

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。(犬齿三角形和锯齿三角形)

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

如图，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：50+2=25

【对应练习11

如图，在长方形ABCD中，试比较三角形BCE和三角形CDF的面积的大小。

解析：两个三角形都等于长方形ABCD面积的一半。

【对应练习2]

如图，这个平行四边形的底是8厘米，面积是40平方厘米，它的高是

（）厘米，阴影部分的面积是（）平方厘米。

【答案】520

【分析】根据“平行四边形的面积=底义高”，可得平行四边形的高=面积+底，

代入数值即可求出平行四边形的高；阴影部分是一个三角形且与平行四边形同

底等高，根据“三角形的面积=底乂高+2”，代入数值即可求出阴影部分的面积。

【详解】40+8=5（厘米）

8x5+2

=40+2

=20（平方厘米）

所以这个平行四边形的底是8厘米，面积是40平方厘米，它的高是5厘米，阴

影部分的面积是20平方厘米。

【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式和三角形的面积公式的应用。

【对应练习31

2

如图所示：平行四边形的面积是24cm2,阴影部分的面积是（）cmo

ZX7

【答案】12

【分析】因为阴影部分与平行四边形等底等高，所以阴影部分的面积是平行四

边形面积的一半，用平行四边形的面积除以2即可。

【详解】24+2=12（cm2）

阴影部分的面积是12cm2。

【点睛】此题解答关键是明确：等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的

2倍。

3°【考点二】一半模型问题二：锯齿模型。

，【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然,

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。(犬齿三角形和锯齿三角形)

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

如图，四边形ABFE和四边形CDEF都是长方形，AB的长是8厘米，BC的长

是5厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

解析：8X54-2=20（平方厘米）

【对应练习1】

如图，ABCD是平行四边形，EF与AD平行，BC长16厘米，阴影部分面积是

80平方厘米，那么BC上的高是（）厘米。

【分析】根据图示，在平行四边形ADFE中，3个阴影三角形面积与平行四边

形ADFE等底等高，则3个阴影三角形面积和是平行四边形ADFE面积的一

半。在平行四边形EFCB中，阴影部分三角形面积与平行四边形EFBC等底等

高，则三角形阴影面积是平行四边形EFCB面积的一半。综上所述，阴影部分

面积是平行四边形ABCD的面积的一半，平行四边形ABCD的面积就是160平

方厘米，平行四边形底BC=16厘米，根据平行四边形的高=面积+底，求出

BC上的高。

【详解】80x2=160（平方厘米）

160-16=10（厘米）

BC上的高是10厘米。

【对应练习2]

如下图，已知长方形N2C。的面积是180cm2,阴影部分的面积是

2

（）cmo

【答案】90

【分析】根据题意可知，长方形ABCD中的阴影部分是四个三角形的面积，四

个三角形的底的和与长方形的长相等，四个三角形的高与长方形的宽相等，所

以长方形ABCD中阴影部分的面积是长方形面积的一半，据此解答。

【详解】180+2=90（cm2）

如下图，已知长方形ABCD的面积是180cm2,阴影部分的面积是90cm2。

【点睛】明确等底等高的三角形面积与长方形面积之间的关系是解答本题的关

键。

【对应练习3]

如图，四边形AEFD和EFCB都是长方形，AD的长是10分米，AB的长是6分

米，那么图中阴影部分的面积是多少平方分米？

解析：

10x6+2=30（平方分米）

答：图中阴影部分的面积是30平方分米。

30【考点三】一半模型问题三：添加辅助线构建一半模型。

，【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然,

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形）

1=>

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

如图，正方形ABCD的边长为12厘米，长方形EFGD的长DG为16厘米，那

么长方形的宽DE为多少厘米？

E

解析：

连结AG,AADG是正方形ABCD和长方形EFGD的共同部分，4ADG既是正

方形ABCD面积的一半，也是长方形EFGD面积的一半，所以长方形EFGD的

面积等于正方形ABCD的面积。

正方形面积：12x12=144(平方厘米)

长方形的宽：DE=144-16=9(厘米)。

【对应练习11

如图，已知四边形ABCD是一个长方形，四边形AEFG是梯形，B是GF的中

点，已知长方形ABCD的面积是40,求梯形AEFG的面积。

G

【答案】40

【分析】如图，连接BE,三角形ABE的底等于长方形的长，三角形ABE的高

等于长方形的长，根据三角形面积公式：三角形的面积=底义高+2=长义宽+2,

因此可得三角形ABE的面积是长方形ABCD面积的一半；根据在梯形存在的

性质：由梯形的一个腰和另外一个腰的中点组成的三角形的面积是梯形面积的

一半。可得三角形ABE的面积是梯形AEFG的面积的一半，即梯形AEFG的

面积是三角形ABE的面积2倍，据此解答。

【详解】40+2x2=40

答：梯形AEFG的面积是40o

【对应练习2]

长方形ABCD的面积是70平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰

EG的中点，试求梯形AFGE的面积。

【答案】70平方厘米

【分析】根据题意可连接DF,三角形ADF和长方形ABCD是同底等高的，因

此可知三角形ADF的面积是长方形ABCD面积的一半，因为点D是EG的中

点，AE平行与FG,所以三角形ADF也是梯形AFGE面积的一半，因为点D

是线段EG的中点，所以三角形ADE和三角形DGF的面积和就为梯形AFGE

面积的一半，即梯形的面积等于长方形的面积，据此解答即可。

【详解】三角形ADF=70+2=35（平方厘米）

因为点D为EG的中点，所以三角形AED十三角形DFG=35（平方厘米）

梯形AFGE的面积：35+35=70（平方厘米）

答：梯形AFGE的面积是70平方厘米。

【点睛】解答此题的主要依据是三角形的面积是与其等底等高的平行四边形的

面积的一半。

【对应练习31

如图，平行四边形ABCD的面积是24平方厘米，E、F、G、H分别是AB、

BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE,那么四边形EFGH的面积是多

少平方厘米？

解析：连结EG,则三角形HEG的面积是平行四边形AEGD的一半，三角形FEG

的面积是平行四边形BCGE的一半，所以四边形EFGH的面积是平行四边形

ABCD面积的一半。

24+2=12（平方厘米）

答：四边形EFGH的面积是12平方厘米。

3°【考点四】一半模型问题四：结合中点构建一半模型。

■【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然，

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形）

1=>

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF,BE。四边形

BEDF的面积为6平方分米，则四边形ABCD的面积为多少？

解析：

连结BD,则三角形ABE和三角形BDE相等，三角形BDF和三角形CDF相等,

三角形BDE的面积和三角形BDF的面积加在一起等于四边形BEDF的面积，

即6平方分米，三角形ABD的面积和三角形BCD的面积加在一起等于四边形

ABCD的面积，也就是四边形BEDF面积的2倍，所以四边形ABCD的面积为

12平方分米。

【对应练习11

如图，四边形ABCD的面积是80平方厘米，其中E、F分别是AD和BC的中

点。已知三角形ABE的面积是15平方厘米，那么三角形CDF的面积是多少平

方厘米？

D

E

A

【答案】25平方厘米

【分析】

三角形面积=底义高+2,等底等高的三角形面积相等，如图

连接BD,三角形ABD的面积是三角形ABE面积的2倍，用四边形ABCD的面

积减去三角形ABD的面积，得到三角形BCD的面积，再除以2,求出三角形

CDF的面积。

【详解】15x2=30（平方厘米）

(80-30)+2

=50+2

=25（平方厘米）

答：三角形CDF的面积是25平方厘米。

【对应练习21

如图所示，已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF、

BEo四边形ABCD的面积为10,则四边形EDFB的面积是多少？

【答案】5

【分析】如图，连接BD

△BED是AABD面积的一半，ABDF是ABDC面积的一半，那么

S+$\BFD=5^\BAD+],^ABCD,可推出EDFB=]ABCD,据此解答即可。

【详解】10+2=5

答：四边形EDFB的面积是5。

【对应练习31

如图，正方形ABCD的边长是10厘米，P是正方形内的任意一点，E、F、G、H

分别是正方形四条边上的中点，连接PE、PF、PG、PH,那么图中阴影部分的面

积是多少平方厘米?

Aa

E

B1-----1c

解析：连结PA、PB、PC、PD,因为E、F\G\H分别是正方形四条边上的中

点，可构造出三角形的一半模型。从而得到阴影部分的面积等于正方形面积的一

半。

10x10-2=50（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积是50平方厘米。

【考点五】一半模型问题五：在梯形中构建一半模型。

■【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然,

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。（犬齿三角形和锯齿三角形）

1=>

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

如图，在梯形ABCD中，E是AB的中点，阴影三角形的面积是16平方厘米,

则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

解析：如下图所示，再画出一个与题中图形相同的图形，最终得到一个平行四边

形，由一半模型可以得到阴影部分图形的面积是平行四边形面积的一半，那么梯

形面积就是阴影三角形面积的2倍，所以梯形的面积是16x2=32(平方厘米)。

【对应练习11

如图所示，四边形ABCD是直角梯形，面积是400,E是DC的中点，求阴影

部分的面积。

【答案】200

【分析】取AB的中点F,连接E、F作辅助线，如图所示:

假设梯形的上底为a,下底为d,高为h,根据三角形和梯形面积公式：三角形

面积=底、高+2,梯形面积=(上底+下底)x高一2,求出空白部分、阴影部分

与梯形的面积关系，即可解答。

【详解】取AB的中点F,连接E、F作辅助线，如图所示：

假设梯形的上底为a,下底为d,高为鼠

空白部分面积=三角形ADE面积十三角形BCE面积

a*(h+2)+2+dx(h+2)-2

=ah+2+2+dh+2-2

=(ah+dh)+2+2

=(a+d)h+2+2

梯形的面积=(a+d)h+2

所以，空白部分的面积是梯形面积的一半，则阴影部分的面积也是梯形面积的

一半。

400-2=200

答：阴影部分的面积是200。

【对应练习21

如图，在梯形ABCD中，E是AD的中点，F是BC的中点。Si和S2的面积分

别是15和35,求梯形ABCD的面积。

DC

【答案】200

【分析】观察图形可知，三角形Si和S3等底等高，则它们的面积相等。同理

S?和S4面积相等。S1+S2=S3+S4=15+35=50,所有空白部分面积与阴影部

分面积相等，梯形ABCD的面积是50*2x2=200。

【详解】15+35=50

50x2x2

=100x2

=200

答：梯形ABCD的面积是200。

【对应练习31

如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，S1和S2的面积分别

是5和15,求梯形ABCD的面积。（单位：厘米）

提示：过点0作垂线MN。

解析：

过点O做如图辅助线，则梯形ABCD被分成梯形ABNM和CDMN,根据这两

个梯形的一半模型可求得。

5x2x2+15x2x2=80（平方厘米）

答：梯形ABCD的面积是80平方厘米。

30【考点六】一半模型问题六：重叠等于未覆盖。

A【方法点拨】

1.一半模型。

对于长方形或平行四边形来说，最简单的一半就是连接对角线，可以得到两个面

积相等的三角形，而这两个三角形分别是长方形或平行四边形面积的一半。当然,

通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样

子的三角形，如图，常见的一半模型。(犬齿三角形和锯齿三角形)

2.解题方法。

(1)三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。

(2)锯齿三角形的底之和等于长方形的长，高相等且都等于长方形的宽，则它

们的面积之和等于长方形面积的一半。

(3)作辅助线构造长方形、正方形的一半模型解决问题。

(4)辅助线构造任意四边形的一半模型。

【典型例题】

如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是()。

A.10B.llC.12D.13

解析：

通过观察图形发现，已知三角形的面积和阴影部分图形的面积没有直接的联

系，那不妨换个角度，在这个长方形中有两个长方形一半的三角形，那么这两

个三角形的面积相加应该等于长方形面积，但是由于有重叠部分，两个三角形

没有占满整个长方形，那么空出来的部分其实就和重叠部分面积相同，即重叠

等于未覆盖。阴影面积=5+3+4=12,选C。

【对应练习11

如图，四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点，三角形ABG的面积

是15,三角形DHC的面积是21,求阴影部分的面积。

【分析】因为E,F分别是AD和BC的中点，那么四边形AECF的面积是四边

形ABCD的面积的一半，四边形DEBF的面积是四边形ABCD面积的一半。

设四边形ABCD面积为S,各部分面积如图，e+5+其=5+2,

S2+S6+S3=S^2,即岳+56+8+邑+5+号=5=岳+8+号+54+&+$6+57,所以

答：阴影部分的面积是36。

【点睛】解决本题时