2025年中考数学难点突破与训练：全等三角形与矩形翻折模型（解析版）

专题05全等三角形与矩形翻折模型

【模型展示】

【模型变换】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，矩形纸片48CD中，48=4,BC=6,将△/8C沿/C折叠，使点2落在点£处，CE交AD于点、F,

则。歹的长等于()

【答案】B

【分析】根据折叠的性质得到/NE=/B=9Q。,易证A4EF2ACDF,即可得到结论易得

FC=FA,设E4=x,则/C=x,FD=6-x,在必△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程/=4?+(6-x)2,解方

程求出X.

【详解】解：：矩形沿对角线/C对折，使△48C落在的位置，

：.AE=AB,/E=NB=ND=90°,

又•••四边形/BCD为矩形，

：.AB=CD,

：.AE=DC,

而NAFE=NDFC,

'：在AAEF与△CDF中，

ZAFE=ZCFD

<ZE=ZD

4E=CD

:.△AEF乌ACDF(AAS),

：.EF=DF；

,••四边形/BCD为矩形，

J.AD=BC=6fCD=AB=4,

△AEFmACDF,

：.FC=FA,

^FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在用△CD尸中，CF2=CD2+DF2,

13

即N=42+(6-X)2,解得x=

贝I]FD=6-X=g.

故选：B.

【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等.也考查了矩形的性

质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理.

2.如图，将矩形纸片折叠(AD>AB),使ZB落在ND上，月E为折痕，然后将矩形纸片展开铺在

一个平面上，E点不动，将8E边折起，使点B落在ZE上的点G处，连接DE,若DE=EF,CE=\,则4。

的长为()

A.1+72B.2+V2C.2&D.4

【答案】B

【分析】证明RtAEBFmRtAEB'D(HL),推出8尸=。夕，再证明DH=EC=3尸=1,由直角三角形的性质

求出/Q，则可得结论.

【详解】解:由翻折的性质可知，EB=EB',AB=ZAB'E=ZEB'D=90°,

在Rt/\EBF和Rt^EB'D中,

[EB^EB'

[EF=ED'

；.RtAEBF"RtAEB，D(HL),

:.BF=DB',

•.•四边形/8CZ)是矩形，

NC=NCDB'=ZEB'D=90°,

四边形£CD夕是矩形，

：.DB'=EC=l,

：.BF=EC=\,

由翻折的性质可知，BF=FG=1,NK4G=45。，NAGF=NB=NAGF=90。,

：.AG=FG=],

.'.AF=V2.

.".AB=AB'=1+42，

：.AD=AB'+DB'=2+0，

故选B.

【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是证明四边形EC。夕是矩形.

3.如图，矩形CU8C中，CM=4,AB=3,点。在边3C上，且点£是边CU上一点，连接

DE,将四边形AB0E沿DE折叠，若点/的对称点4恰好落在边OC上，则的长为（）

【答案】B

【分析】连接@0、/。，根据矩形的性质得到8c=。/=4,OC=AB=3,/C=/8=/O=90。，即可求得C。、

2D,根据折叠的性质得到HD=40,根据全等三角形的性质可到HC=2D=1,再根据勾股定理即可求解.

【详解】连接4。、AD,如图，

•.•四边形。43c是矩形,

：.BC=OA=4,OC=AB=3>,ZC=Z5=Z0=90°,

\'CD=3BD,

：.CD=3,BD=],

：.CD=AB,

根据翻折的性质有：A'D=AD,A'E=AE,

：.在ACD和Rt/\DBA中，CD=AB,A'D=AD,

：.Rt/\^CD^Rt^DBA（.HL）,

：.A'C=BD=l,

：.A'0=2,

在RtdHOE中，A'O2+OE2=A'E2,

22+OE2=（4-OE）2,

3

OE=—,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的

关键.

4.如图，在矩形纸片4BCD中，AB=5,BC=3,将△3CZ）沿AD折叠到ABED位置，DE交4B于点F,

则cosNN。尸的值为（）

E

,87—158

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明得出/F=DF=BF,设

AF=EF=x,贝尸=5-x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的

定义求出结果即可.

【详解】解：：四边形N8CD为矩形，

：.CD=AB=5,AB=BC=3,ZA=ZC=90°,

根据折叠可知，BE=BC=3,DE=DE=5,NE=NC=90°,

ZA=ZE=90°

...在△/和△EF3中，ZAFD=ZEFB,

AD=BE=3

：.NAFD^\EFB（AAS）,

AF=EF,DF=BF,

设/b=£F=x,则8尸=5—x,

在RtA5斯中，BF?=EF?+BE?，

即（5—尤J=—+32,

OQ17

解得：X=则。尸=5尸=5—y=

…厂AD315

..DF1717，故C正确.

T

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据

题意证明A4FD&AEF8,是解题的关键.

5.如图，48CD是一张矩形纸片，4B=20,BC=4,将纸片沿"N折叠，点3',C'分别是3,。的对应点,

MB与DC交于K,若的面积为10,则DN的最大值是（）

I

'B

A.7.5B.12.5C.15D.17

【答案】D

【分析】作于£,NF1BM于F,由折叠得N1=N2,根据角平分线的性质得NE=NF,可得四

边形2CNF是矩形，则NF=3C=4,根据区的面积为10得NK=MK=5,根据勾股定理得在=3,则

MF=ME=MK-KE=5-3=2,设DN=x,则CN=20-x,BM=BF+MF=20-x+2=22-x,由折叠可得

BM>KM,即22-於5.可得烂17,即可得ZWW17,则。N的最大值是17.

【详解】解：如图所示，过点"作％£_1夕M于E,NFLBM于F,

由折叠得/1=/2,

：.NE=NF,

•.•四边形/BCD是矩形，

：.ZB=ZC=ZBFN=90°,AB//CD,

，四边形2cNF是矩形，/DNM=/2,

:.NE=NF=BC=4,Z1=ZDNM,

:.NK=MK,

•.•△四区的面积为10,

/.yKM>NE=yKN-NF=10,

:.NK=MK=5,

:.KE=飞KN。-NE。=3,

在AMEN和4MFN中,

'Z1=Z2

<ZMEN=ZMFN,

ME=NF

，丛MEN空丛MFN(AAS),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

设DN=x,则CN=BF=20-x,

:.BM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折叠得BM>KM,即22-x>5.

：.x<17,即DN<11,

.•.ON的最大值是17.

故选：D.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形

的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题

6.如图，在矩形纸片/BCD中，4B=6,BC=9,M是2c上的点，且CW=3,将矩形纸片/BCD沿过点

M的直线折叠，使点。落在4s上的点尸处，点C落在点。处，折痕为则线段NN的长是_.

【答案】4

【分析】连接尸“，推出8M=3C-CM=9-3=6,由折叠性质得，CD=PC=6,/C=/PCM=NPBM

=90°,C'M=CM=?>,由Rt△尸2M也RtZXAfCP（从），得出尸B=CM=3,所以刃-尸8=6-3=3.设

AN=x,则ND=9-x=PN,在RtA4PN中，AN2+AP2=PN2,即N+3?=（9-x）2,求出x的值即可得出答

案.

【详解】解：连接如图：

C

:48=6,BC=9,CM=3,

：.BM=BC-CM=9-3=6,

由折叠性质得，CD=PC'=6,NC=NPCM=NPBM=90°,C'W=CM=3,

在RtAPW和RtZXMC'P中，

[PM=PM

[BM=PC''

：.(HL),

：.PB=C'M=3,

:.PA=AB-PB=6-3=3.

设,AN=x,贝！|ND=9-x=PN,

在RtZ\4PN中，AN2+AP2^PN2,

即x2+32=C9-x)2,

解得x=4,

二/N的长是4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行

计算是解决本题的关键.

7.如图，在矩形/BCD中，点E是边CD的中点，沿/E所在的直线折叠△/£>£,落在矩形内部得到△/FE,

延长/F交3c边于点G,若穿=；，则当的值为_________.

CB/AB

【分析】连接GE,证明AEFG会AECG(HL),得CG=FG,设AD=BC=7a,表示出/尸，CG,GF,BG,

NG的长度，再由勾股定理得48的长度，即可得出比值.

【详解】如图，连接GE,

•.,在矩形/BCD中，

/.AD=BC,AB=CD,NB=NC=ND=90。，

，由折叠的性质可知：AD=AF,DE=EF,ZAFE=ND=NC=90。,

•.,点E是边CO的中点，

:.DE=CE=LCD,

2

...CE=EF,

又•：EG=EG(公共边)，

AEFGAECG〈HL),

，CG=FG,

..CG2

.CB-〒

：.设AD=BC=1a,

则/尸=7。，CG=FG=2a,BG=BC-CG=5a,

AG—AF+FG=7〃+2Q=9Q,

:在比△48G中，由勾股定理得：AB2+BG2^AG2,

，AB=ylAG2-BG2=J（9a）2-（5a『=2V14a,

.AD7aV14

【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理，折叠前后的图形对应边、对应角分

别相等是解题的关键.

8.如图，在矩形/BCD中，AB=6,AD=8,将此矩形折叠，使点。与点/重合，点。落在点。'处，折痕

为EF,则。。的长为.

14

【答案】y

【分析】根据折叠的性质即可求得NO'=CZ>6；连接NC,根据勾股定理求得/C=10,证得△A4E/△O4F

(445),根据全等的性质得：D'F=BE,根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得的长，即

D'F7

可求得卞=/，然后通过证尸s^C4E,利用相似三角形的性质即可求得DZK

AE25

【详解】解：：四边形N3CD是矩形,

：・AB=CD=6,

■:AD・CD,

：.ADf=6；

连接4C,

U：AB=6,BC=AD=8,ZABC=90°,

由勾股定理得：AC=4AB1=A/62+82=10，

ZBAF=ZDfAE=90o,

：.ZBAE=ZDfAF,

在△A4E和△/)/尸中

NBAE=/DAF

<NB=NADF=9QP,

AB=AD'

；・ABAE9ADAF(ASA)f

f

；・DF=BE,ZAEB=ZAFDf

：.NAEC=NDFD,

由题意知：AE=EC；

设,BE=x,则4E=£C=8・x,

在RtA4BE中,Z5=90°,由勾股定理得:

(8-x)2=62+x2,

7

解得：x=j

4

.7725

：.BE=-,/E=8--=——，

444

.W,则："J,

AE25AE25

ZAD,F=ZD,AE=90°,

D'FHAE,

DF//EC,

・・・ADD'Fs^CAE,

.DP'_D'F_7

，，14C~14E~25,

714

・・.QQ'=—xlO=——，

255

14

故答案为二.

【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、

相似二角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题.

9.如图，矩形45co中，AB=3®BC=12,£为4。中点.尸为48上一点，将△%£尸沿Eb折叠后，

点A恰好落到W上的点G处，则EG=,EF=.

【答案】62V15

【分析】根据折叠的性质，即可求EG；连接EC,证RtMCG合RtAECD(H”,由勾股定理即可求跖；

【详解】解：连接C£,

・/E为/。中点

JEG=ED=AE=6

在Rt\ECG和Rt\ECD中

•:EG=ED,EC=EC

：.Rt\ECG=Rt\ECD｛叫

：.CG=CD

设/尸=X,则。尸2=5/2+5。2

即（3#+二卜«7『+122

解得：x=2y[6

22

EF=^AF2+AE2=^（2A/6）+6=2A/15

故答案为：6；2V15.

【点睛】本题主要考查矩形得性质，三角形的全等，勾股定理，正确做出辅助线是解题的关键.

三、解答题

10.如图，矩形48CD中，AB>AD,把矩形沿对角线NC所在直线折叠，使点2落在点£处，4E交CD

于点凡连接DE.

(1)求证："DE咨4CED；

(2)求证：△£>£下是等腰三角形.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)根据矩形的性质可知/O=3C、AB=CD,再由折叠的性质，可得8C=CE,AB=AE,进而可

推导=4E=CD,然后由“SSS'证明即可；

(2)由(1)可知△NDE名△CED,根据全等三角形的性质可知4DEN=NEDC,即NDEF=NEDF,即可

证明△。跖是等腰三角形.

(1)

证明：(1)•四边形/BCD是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

由折叠的性质，可得8C=CE,AB=AE,

：.AD=CE,AE=CD,

在A4DE和△CED中,

AD=CE

<AE=CD,

DE=ED

:.AADE沿ACED(SSS)；

(2)

由（1）得也△CEO,

ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF,

:.EF=DF,

...△DE尸是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识,

熟练掌握相关知识是解题关键.

11.如图，将矩形48。沿对角线NC折叠，点8的对应点为E,AE与CD交于点、F.

（1）求证：ADAF咨AECF；

⑵若NFCE=40°,求的度数.

【答案】（1）见解析

(2)ZCAB=25°

【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得4。=BC=EC,ND=NB=NE=90。,从而可得结论；

（2）先证明/D4F=/ECF=40。，再求解/"B=ND4B-/D1尸=90。-40。=50。，结合对折的性质可得

答案.

(1)

证明：将矩形/BCD沿对角线NC折叠，

则AD=BC=EC,ZD=ZB=ZE=90°.

在△£)/尸和△£1(?尸中,

ZDFA=NEFC,

<ND=ZE,

DA=EC,

：.ADAF^AECF.

(2)

解：,:ADAF这AECF,

：.ZDAF=ZECF=40°.

•四边形/BCD是矩形，

ZDAB=90°.

ZEAB=ZDAB-ZDAF=90°-40°=50°,

NFAC=NCAB,

ACAB=25°.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质

证明边与角的相等是解本题的关键.

12.将矩形A5CD对折，使/。与3c重合，得到折痕EF,展开后再一次折叠，使点4落在跖上的点4处,

并使得折痕经过点团得到折痕BG,连接如图1,问题解决：

(1)试判断图1中△/诩'是什么特殊的三角形？并说明理由；

(2)如图2,在图1的基础上，W4,与2G相交于点N,点尸是3N的中点，连接4P并延长交54于点。,求

霭的值•

【答案】(口△/3H是等边三角形，理由见解析

BQ

⑵BA'~3

【分析】(1)等边三角形，解法一利用垂直平分线性质得出利用折叠得出84=氏4即可，解法二:

1

1DE1

根据折叠得出8£=彳24,BA'=BA,4'仍=90。然后利用锐角三角函数定义得出cosN，BE=­=彳，

2BA'2

求出庞=60。即可；

(2)解法一：过点、N作NH〃A'B交AP于H,先证△尸印V丝△尸。(AAS),再证△/HNSA/QH,得

出黑=；即可解法二：由折叠可知/N=MV，由点尸是BN的中点，得出BP=PN,利用平行线等分

性质得出国=A而N=1,前BOr而BP=1，证出哈即可.

(1)

解：是等边三角形.

解法一：理由是：由折叠可知跖垂直平分48；

：.AA'=BA',

,/△4BG折叠得△4BG,

BA'=BA,

AA'-BA'-BA；

•,*/\ABA'是等边三角形；

解法二：理由是：由折叠可知3£=工氏1,BA'=BA,ZA'EB=90°,

2

BF1

：・3SNA'BE=——=—,

BA'2

・・・AABE=60°,

・・・是等边三角形;

解法一:

过点、N作NH〃A'B交AP于H,

：.ZHNP-ZQBP,NNHP=NBOP,

又：点尸是BN的中点，

BP=NP,

在APHN和APQB中，

ZHNP^ZQBP

-ANHP=NBQP,

PN=PB

：.APHN^APQB(AAS),

：.HN=BQ,

又,：NH〃从B,

：.ZANH=ZAA'Q,ZAHN=ZAQA',

：./\AHN^/\AQA',

由折叠可知A'N=AN=-AA',

2

.HNAN

二五=17=5，

.殁」

"QA'2'

.S£_l.

"BA'~1,"

解法二：由折叠可知/N=/N，

又：点尸是5N的中点,

：.BP=PN,

过点N作MW〃/0交于

.A'MA'N_tBQBP}

QM~^4N~'QM~^N~'

：.BQ=QM=A'M,

.BQ__1

"BA'~3

【点睛】本题考查一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直平分线性质，平行线等分线段定理,

三角形相似判定与性质，锐角三角函数值求角，掌握一题多解，等边三角形的判定，折叠性质，线段垂直

平分线性质，平行线等分线段定理，三角形相似判定与性质是解题关键.

13.如图，在矩形/BCD中，M,N是对角线/C上的两点，将矩形折叠分别使点2与点M重合，点。与

点N重合，折痕分别为CF.连接即，交/C于点O.

D

C

(1)求证：4ABE义ACDF.

(2)求证：四边形EC/弘是平行四边形.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】(1)根据矩形的性质结合折叠证明即可；

(2)由(1)中全等可得再证明即可.

(1)

:四边形是矩形，

：.AB=CD,ZB=ZD=90°,AB//CD,

ABAC=ADCA.

:将矩形折叠分别使点8与点加重合，点。与点N重合，折痕分别为ZE,CF,

NBAE=-NBAC,ZDCF^-ZDCA,

22

NBAE=ZDCF,

AABE空△CD尸(ASA).

(2)

；ZxABE且八CDF,

：.AE=CF.

:NBAE=NCAE,NDCF=ZACF,NBAE=NDCF,

：./CAE=ZACF,

：.AE//CF,

...四边形ECE4是平行四边形

【点睛】本题考查矩形与折叠、平行四边形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键.

14.实践与探究

如图①，在矩形A8CD中，AB=12,AD=16.将矩形4BCD沿过点/的直线折叠，使点。落在矩形48CD

的内部，点。的对应点为点。C,折痕为再将矩形沿过点/的直线折叠，使点3落在边4D，上，

折痕为/尸，点2的对应点为点8'.延长尸9交/£于点G,过点G作直线交/。于点交BC

于点N.

图①

(1)求证：AAMG迫AAB'G.

(2)求证：四边形48MW是正方形.

(3)若DE=4,求线段3尸的长.

(4)如图②，将矩形沿即'所在直线继续折叠，点C的对应点为点C'.我们发现，点£的位置不同，点C'的

位置也不同.当点C'恰好与点夕重合时，线段£>£的长为

【答案】(1)见解析;

(2)见解析;

(3)7.2；

【分析】(1)利用折叠性质和全等三角形的判定证明即可；

(2)利用全等三角形的性质和正方形的判定证明即可；

(3)利用正方形的性质得出MN=AB=BN=AM=12,再根据相似三角形的判定与性质证明△/必;6人〃定求

得MG=3,设BF=BT=x,可求得GN=9,FG=3+x,FN=12-x,在△GNF中利用勾股定理求得x即可求解；

(4)设。则CE=12-y,根据折叠性质得。切=y,B'E=U-y,再由勾股定理求得y值即可求解.

(1)

证明：•・,四边形/BCD是矩形，

：.AB=CD=12,AD=BC=16,ZB=ZD=ZBAD=ZC=90°,

由折叠性质得：ZMAG=ZB'AG,ZAB'F=ZAB'G=ZS=90°,AB=AB',

■:MNLAD,

NAMN=90°,则AAMG=AAB'G=90°

在和△/"G中，

ZMAG=ZB1AG

<ZAMG=ZAB'G

AG=AG

：.Z\AMG^/\AB'GCAAS)；

(2)

证明：ZB=ZBAD=ZAMN=90°,

二四边形/BMW是矩形，

；AAMG公AAB'G,

:.AM=AB',贝

.••四边形是正方形；

(3)

解：：四边形是/aw正方形，

MN=AM=BN=AB=\2,

VZAMN=ZD=90°,NDAE=NDAE,

：.dAMGs^ADE,

,AMMG

・•AD-DE'

\UAM=\2,DE=4,4)=16,

.12MG

：.MG=3f

:/\AMG四△/5'G,

:・MG=B'G=3,

设BF=B，F=x,贝l」G212・3=9,FG=x+3,FN=12-x,

在△GNF中，NGNF=90。，

・••由勾股定理得：G^+FN^FG2,

92+(12-x)2=(x+3)2,

解得：x=7.2,

：.BF=7,2；

(4)

解：由折叠性质得：AD^=AD=\6,AB=AB'=12,B'E=CE,DE=〃E,/D=/B'D'E=90。,

：.B'Z)a16・12=4,

设DE=y,则CE=12-yf

在中，/B'D'E=90。,D'E=y,B'E=12・y,

・,•由勾股定理得：B'D'2+D'E2=B'E2,

则42+产(12少)2,解得:y=y,

・16

：.DE=—.

3

故答案为：g.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾

股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

15.在矩形45CD中，点E,产分别是边40,2C上的动点，且DE=BF,连接EE将矩形45c。沿所

折叠，点/落在点G处，点5落在点H处.

(1)如图①，当线段EG与线段3c交于点尸时，求证：PE=PF；

(2)如图②，当线段EG的延长线与线段3c的延长线交于点尸时.G"交线段C£＞交于点

①求证：MCM%APGM；

②E,尸在运动过程中，点M是否在线段即的垂直平分线上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②当点E,尸在运动过程中，点“一直在线段跖的垂直平分线上.证明见解析

【分析】(1)由折叠的性质可知：ZAEF=ZGEF,根据矩形的性质可得//£产=NEFP,即可得到NGEF

=/EFP,根据等角对等边即可得证；

(2)①根据HL证明Rt△尸CM0RtZ\PGN,即可得证；

②当点£,产在运动过程中，点”一直在线段既的垂直平分线上.

如图：连接3D交E厂于点。，连接。P,证明△OOE也△BO尸(ASA),由①可得尸E=P尸，0尸是线段所

的垂直平分线，O尸也是/近叶的角平分线(三线合一).

由①△PCAfg△尸GM,得NCPM=NGPM,即：是/CPG的角平分线，可得当点E、尸在移动过程中，

点M一直在线段EF的垂直平分线上.

(1)

由折叠的性质可知：NAEF=NGEF,

:矩形A8CD中，AD//BC,

：.NAEF=ZEFP,

：.ZGEF=ZEFP,

:.PE=PF；

(2)

①由折叠的性质可知：AE=EG,

:矩形/BCD中，AD=BC,DE=BF,

：.AD~DE=BC-BF,即：

AE=FC,

：.EG=FC,

又,?ZPEF=ZAEF=NPFE,

:.PE=PF,

：.PE-EG=PF-CF,即：PG=PC；

又,：DCIBC,HGLEG,

：./MCP=NMGP=90°；

又,：PM=PM,

:.RtAPCM乌RtdPGM(HL)；

即：APCM"dPGM；

②当点£,尸在运动过程中，点M一直在线段昉的垂直平分线上.

如图：连接2。交斯于点。，连接。尸，

'CAD//BC,

：.NEDO=ZFBO,ZDEO=ZBFO,

又，：DE=BF,

：.ADOE^ABOF(ASA),

：.OE=OF；

由①可得PE=PR是线段EF的垂直平分线，

二。尸也是/EPE的角平分线(三线合一).

由①△PCM四△尸GM得：NCPM=NGPM,即：是NCPG的角平分线,

•:/EPF与/CPG是同一个角，

.•.儿。与0P重合,

即：当点E、尸在移动过程中，点M一直在线段斯的垂直平分线上.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂

直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键.

16.如图，四边形/BCD是矩形，把矩形NC沿折叠，点2落在点E处，/£与。C的交点为。，连接。E.

(1)求证：/\ADE^△CED.

(2)求证：DE//AC.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得8C=CE=/D,48=4B=CD,根据SSS可证丝△CEO(SSS)；

(2)根据全等三角形的性质可得由于△NCE与关于NC所在直线对称，可得

NOAC=NCAB,根据等量代换可得NQ4C=/DE4,再根据平行线的判定即可求解.

(1)

证明：••,四边形/BCD是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,

是折痕，

：.BC=CE=AD,AB=AE=CD,

在AADE与4CED中，

CE=AD

<AE=CD

DE=ED

：.LADE冬△CED(SSS),

(2)

证明：:AADE出ACED,

：.ZEDC=ZDEA,

又•・,LACE与△4C5关于4C所在直线对称，

：.ZOAC=ZCAB,

•：NOCA=/CAB,

：.ZOAC=ZOCA9

在△。。£和44。。中，NDOE=NAOC,

,/2ZOAC=180°-AAOC,2NQ£4=180。一/DOE,

：.2ZOAC=2ZDEAf

：・/OAC=NDEA,

：.DE//AC.

【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全

等是解题的关键.

17.如图，在矩形中，£是4。的中点，将沿折叠后得到△G5£,且G点在矩形/5CD的

内部，延长5G交。。于点尸，连接斯.

(1)求证：ADEF咨公GEF；

Ar)2

(2)若DC:。尸=3:2,求卷的值.

【答案】(1)见解析

⑵।

【分析】(1)由折叠的性质可得N-EGWE,由“//L”可证必△。斯也必△GER

(2)设。C=3x,DF=2x,由线段的和差关系可求/8=3x,BF=5x,由勾股定理可求解.

(1)

:四边形/BCD是矩形，

AB=CD,AD=BC,ZA=ZD=ZC=90°,

是/。的中点,

・•・AE=DE,

•・•将4ABE沿BE折叠后得到AGBE,

:・AE=EG,AB=BG,ZA=ZBGE=90°9

：.ZD=ZEGF=90°,ED=EG,

[EG=ED

：.在Rt^DEF和RbGEF中，〈

[EF=EF

：.RtADEF当RtAGEF(HL)；

⑵

；Z\DEF沿AGEF,

DF=GF,

■:DC:DF=3:2,

设DC=3尤，DF=lx,

：.GF=2x,AB=BG=3x,

：.BF=BG+GF=5x,

二在RtABCF中，BC1=BF2-CF2=25x2-x2=24x2,

/.AD2=BC2=24x2，

.AD?_24无2_8

Is7-9x2-3,

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用这些性质

解决问题是解题的关键.

18.折叠矩形N5CD,使点。落在3c边上的点尸处，折痕为

(1)求证△NAFsAFCE；

(2)若CF=4,EC=3,求矩形/BCD的面积.

【答案】(1)见解析

(2)矩形/BCD的面积为80

【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可证明尸

RFAR

(2)由(1)得LABFsAFCE,所以=="三，进而可以解决问题.

ECCr

(1)

证明：由矩形N3CD可得，ZB=ZC=ZD=90°.

：.ZBAF+ZAFB^90°.

由折叠得N。=90。.

ZAFB+ZEFC=90°.

：.NBAF=/EFC.

：.△ABFs^FCE；

(2)

解：VCF=4,EC=3,ZC=90°

：.EF=DE=5,

：.AB=CD=8.

由(1)得△4BFs△尸CE,

.BFAB

"£C-CF

:.BF=6.

：.BC=IO.

.•.S=/3・C2=10x8=80.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到

△ABFs^FCE.

19.如图，在矩形48CD中，点£是工。的中点，连接BE,将1沿BE折叠后得到△GAE,

延长8G交DC于点尸，连接昉.

(1)求证：△EGF"AEDF；

(2)若点/是C〃的中点，5C=8,求C£＞的长.

【答案】(1)见解析

(2)4V2

【分析】(1)由翻折和矩形的性质可知N£GP=/D=90。，EG=ED,可通过//£证明RtzXEG尸ZRt/XEDF；

(2)根据点尸是CD的中点知：CF=；CD,BF=^CD,在RtZ\8C/中，利用勾股定理即可列出方程.

(1)

证明：：将△42E沿BE折叠后得到△G8E,

:.NBGE=NA,AE=GE,

:四边形/BCD是矩形，

ZA=ZD=90°,

：.ZEGF=ZD=90°,

:点£是4D的中点，

：.EA=ED,

：.EG=ED,

fEF=EF

在RtAEGF与RtAEDF中，｛广八一八

[EG=ED

.♦.RtzXEG尸名Rt/XED尸(HL).

⑵

由(1)知RtZSEG尸乌RtZXE。尸，

GF=DF,

:点尸是CD的中点，

:.GF=DF=CF==CD,

2

在矩形45cD中，ZC=90°,AB=CD,又由折叠可知/2=G2,

：.GB=CD,

3

：.BF=GB+GF=-CD,

2

在RtZ\3CF中，由勾股定理得：

(|cz))2=82+(1c£>)2,

\'CD>Q,

**-CD=4V2•

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应边

相等是解题的关键.

20.如图，在正方形48co中，48=6,E为BC中点,连接NE,将A/BE沿4E折叠，点3的对应点为

G,连接EG并延长交于点凡连接/尸，CG.

(1)判断CG与/E的位置关系，并说明理由;

(2)求。厂的长.

【答案】(1)平行，理由见解析

(2)2

【分析】(1)由折叠知"3E9”GE,可得/AEB=ZAEG,根据£为8C的中点，可得£C=E8=EG=3,

进而可得/£CG=/EGC,根据/CGE=//EG,即可得证；

(2)证明丝母△/Gb,得DF=FG,设。尸=x,则跖=3+x,FC=6-x.勾股定理列出方程,

解方程求解即可.

(1)

解：CG//AE.

理由如下：

由折叠知之ANGE,

：.BE=EG,NAEB=ZAEG.

又E为3C的中点，

/.EC=EB=EG=3.

：.ZECG=NEGC.

,：ZBEG=ZECG+ZEGC=2ZAEG,

：.ZCGE=ZAEG.

：.CG//AE.

(2)

•.•四边形48CD是正方形，

AD=AB=AG.

又N4DF=NAGF=90°,ZADF=ZAGF=90°,AG=AG,

：.RtAAD户也RtZUG尸.

?.DF=FG.

设。尸=尤，

贝l|EF=3+无，FC=6-x.

.'­EF2^EC2+CF2.

即(3+X)2=32+(6-X)2.

解得X=2.

即。尸=2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全等三角形的性质，综

合运用以上知识是解题的关键.

21.如图，长方形/BCD中，把长方形沿对角线/C所在直线折叠，使点8落在点E处，AE交

CD于点、F,连接OE.

(1)图中有个等腰三角形；(请直接填空，不需要证明)

(2)求证：4ADE出ACED；

(3)请证明点尸在线段/C的垂直平分线上.

【答案】(1)2

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)由题意知CE=8C=/DZEAC=ZBAC=ZDCA,有△/CF为等腰三角形；在"DE和ACED中,

AD=CE

<AE=CD,知AADEq公CED,有NDE4=NEDC,有△/)所为等腰三角形；

DE=ED

AD=CE

(2)在△/£)石和△CEO中，\AE=CD,可得四△CEO；

DE=ED

(3)由于△4OE也△CEQ,ZDEA=ZEDC,ZDEF=ZEDF,有EF=DF,AE=CD,故

AE-EF=CD-DF,E4=下。进而可得出结果.

(1)

解：有和△。斯共2个等腰三角形

证明如下：由折叠的性质可知C£=8C=/Q,/EAC=/BAC

・.・AB\\CD

：.ZEAC=ZDCA

•••△4CF为等腰三角形；

在“DE和中

AD=CE

*/\AE=CD

DE=ED

.・・Z^ADE丝△CED(SSS)

・•・ZDEA=ZEDC

・・・Z\。即为等腰三角形；

故答案为：2.

⑵

证明：•・•四边形/5CQ是长方形

:・AD=CE,AE=CD

由折叠的性质可得：BC=CE,AB=AE

：.AD=CE,AE=CD

AD=CE

在和△CEO中，\AE=CD

DE=ED

△4DE^ACED(SSS).

⑶

证明：由(1)得丝△CED

ZDEA=ZEDC,即ZDEF=ZEDF

：.EF=DF

又AE=CD

：.AE-EF=CD-DF

FA=FC

...点F在线段AC的垂直平分线上.

【点睛】本题考查了几何图形折叠的性质，矩形，等腰三角形的判定与性质，三角形全等，垂直平分线等

知识.解题的关键在于灵活运用知识.

22.如图，在A/BC中，AB=AC,点。为边8C上一点，以4S,为邻边作Y/瓦乃，连接/£＞、EC.

(2)若m=CD,求证：四边形/DCE是矩形.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析

【分析】(1)根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得

△ADC咨AECD；

(2)利用等腰三角形的“三合一”性质推知即N/DC=90。；由平行四边形的判定定理(对边平行

且相等是四边形是平行四边形)证得四边形/OCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩

形.

(1)

证明：•..四边形48OE是平行四边形，

：.AB//DE,AB=DE；

，NB=NEDC；

又：，AB=AC,

：.AC=DE,ZB=ZACB,

：.ZEDC=ZACD；

•.,在△/DC和中，

'AC=ED

<ZACD=ZEDC,

DC=CD

;*△ADC/AECD(SAS)；

(2)

,/四边形ABDE是平行四边形,

C.BD//AE,BD=AE,

：.AE//CD；

又,：BD=CD,

：.AE=CD,

，四边形/DCE是平行四边形；

在△4BC中，AB=AC,BD=CD,

：.ADLBC,

：.ZADC=9Q°,

，四边形/OCE是矩形.

【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定.注意：矩形的判

定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形'是矩形"，而不是“有一个角是直角的‘四边形'是矩形”.

23.如图1,为了探究某种类型矩形N8CD的性质，数学项目学习小组在3C边上取一点£,连接。E.经

探究发现：当。£平分/40c时，将△/BE沿折叠至点/恰好落在上.据此解决下列问题:

图1图2

(1)求证：AAFD咨4DCE；

(2)如图2,延长C尸交NE于点G,交AB于点H.

①求证：AHAF=AG-CF；

②求GH：DF的值.

【答案】(1)见解析

⑵①见解析；②3百—4

【分析】(1)根据ED平分/4DC,有NADE=NEDC=45。,即ZDEC=45°,根据翻折的性质，有AABE=LAFE,

BPAB=AF,ZAFD=ZB=90°,贝ij有'/F=N3=OC,ZE4D=ZADE=45°,即可得A4FD=ADCE；

(2)①根据△/FD丝△OCE,得出AF=DF=DC=CE,证明/ECF=/7£4G,ZEFC=ZAHG,

即可证明△/"GS^CFE,即可证明结论；

②过点尸作WL2C于点“，EC=CD=AF=DF=AB=a,根据条件求出Z"=力0一。，也二瓦，

利用△/■"△CFE,求出GW=(3亚-4)“，即可求出答案.

(1)

证明：•.•四边形/5CD为矩形，

AZB=ZBCD=ZCDA=ZBAD=90°,4B=CD,AD=BC,

'：ED平分N/OC,

ZADE=ZEDC=45°,

：.ZDEC=9Q°-ZEDC=45°,

根据翻折的性质，有AABE=/XAFE,

：.AB=AF,ZAFD=ZB=90°,

：.AF=AB=DC,ZFAD=ZADE=45°,

：./\AFD三ADCE.

(2)

证明：①也△”?£,

:.AD=DE,AF=DF=DC=CE,

1800-45°

：./DCF=NDFC=67.5°,

2

ZECF=22.5°,

*：AD=DE,

1800-45°

/.ZDAE=/DEA=------------=67.5°,

2

・・・ZHAG=22.5°,

：.ZECF=/HAG,

*/Z£,FC=180°-67.5°=112.5°,ZAHG=900+22.5°=112.5°,

・•・ZEFC=ZAHG,

：.△AHGsACFE,

.AHAG

'~CF~~EC'

AHEC=AGCF,

EC=CD=AF=DF=AB,

；・AHAF=A